% %以下の文をコメント文としたいのですが，現時点ではまだできません。
% 問題のタイトル
[Title]
等式の証明(条件別出題可)

% 問題文
% 何も書かなければ，[Level1]等に書いたものがそのまま問題文となる。
[Problem]
次の等式を証明せよ。

% フォントの大きさ。1〜10，またはTeXのコマンドを指定する。
% デフォルトは，5（\normalsize）
% 1は\tiny， 2は\scriptsize，3は\footnotesize，4は\small， 5は\normalsize
% 6は\large，7は\Large，     8は\LARGE，       9は\huge， 10は\Huge
[FontSize]
5

% プリアンブルに追加したいパッケージファイルを指定する。
[usepackage]
\usepackage{amssymb}

% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付ける場合は，　ON または1
% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付けない場合は，OFFまたは0
% 「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の下にある設定を
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　無視する場合に指定してください。
% 何も記述しなければ，「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　下にある設定が優先されます。
[displaystyle]
OFF


% Level1の問題を書く。以下Level7まで同様。
% 1行目には詳細設定のタイトルを書く。
% 2行目以降に問題とその解答を書く。
% 問題と解答，解答と問題は１行ずつあけて書く。
% 計算過程がある場合は，問題と解答の間に１行ずつ間隔をあけ，
% 最初にprocessという行を作り，その次の行から計算過程を書いていく。
[Level1]
等式の最大次数が2【条件無し】

$(a^2+1)(b^2+1)=(ab+1)^2+(a-b)^2$

\hfill　\begin{flushleft}
$左辺=a^2 b^2 +a^2 +b^2 +1$\\
$右辺=(ab)^2 +2ab+1+a^2 -2ab +b^2$\\
$　　=a^2 b^2 +a^2 +b^2 +1$\\
左辺と右辺が同じ式になるから\\
$(a^2+1)(b^2+1)=(ab+1)^2+(a-b)^2$\\
\end{flushleft}


$(a^2+4)(b^2+1)=(ab+2)^2+(a-2b)^2$

\hfill　\begin{flushleft}
$左辺=a^2 b^2 +a^2 +4b^2 +4$\\
$右辺=(ab)^2 +4ab +4 +a^2 -4ab +4b^2$\\
$　　=a^2 b^2 +a^2 +4b^2 +4$\\
左辺と右辺が同じ式になるから\\
$(a^2+4)(b^2+1)=(ab+2)^2+(a-2b)^2$\\
\end{flushleft}


$(x^2-1)(y^2-1)=(xy+1)^2 -(x+y)^2$

\hfill　\begin{flushleft}
$左辺=x^2 y^2 -x^2 -y^2 +1$\\
$右辺=(xy)^2 +2xy+1 -(x^2 +2xy +y^2)$\\
$　　=x^2 y^2 -x^2 -y^2 +1$\\
左辺と右辺が同じ式になるから\\
$(x^2-1)(y^2-1)=(xy+1)^2 -(x+y)^2$\\
\end{flushleft}


$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2$

\hfill　\begin{flushleft}
$左辺=a^2 x^2 + a^2 y^2 + b^2 x^2 + b^2 y^2$\\
$右辺=(a^2x^2 +2abxy +b^2 y^2)+(a^2 y^2 -2abxy +b^2 x^2)$\\
$　　=a^2 x^2 + a^2 y^2 + b^2 x^2 + b^2 y^2$\\
左辺と右辺が同じ式になるから\\
$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2$\\
\end{flushleft}


$a^2-ab+b^2=\left( a- \nfrac{b}{2} \right)^2 +\nfrac{3}{4}b^2$

\hfill　\begin{flushleft}
$右辺=\left( a^2 -ab +\nfrac{b^2}{4} \right) +\nfrac{3}{4}b^2$\\
$　　=a^2 -ab+b^2=左辺$\\
よって$a^2-ab+b^2=\left( a- \nfrac{b}{2} \right)^2 +\nfrac{3}{4}b^2$\\
\end{flushleft}


$(a-b)^2 +4ab=(a+b)^2$

\hfill　\begin{flushleft}
$左辺=a^2 -2ab +b^2 +4ab$\\
$　　=a^2 +2ab +b^2$\\
$右辺=a^2 +2ab +b^2$\\
左辺と右辺が同じ式になるから\\
$(a-b)^2 +4ab=(a+b)^2$
\end{flushleft}


$(a+b)^2 -(a-b)^2 =4ab$

\hfill　\begin{flushleft}
$左辺=(a^2 +2ab +b^2) -(a^2 -2ab +b^2)$\\
$　　=4ab=右辺$\\
よって$(a+b)^2 -(a-b)^2 =4ab$\\
\end{flushleft}



[Level2]
等式の最大次数3【条件無し】

$a^3 +b^3=(a+b)^3 -3ab(a+b)$

\hfill　\begin{flushleft}
$右辺=(a^3 +3a^2b +3ab^2 +b^3) -3a^2 b -3ab^2$\\
$　　=a^3 +b^3=左辺$\\
よって$a^3 +b^3=(a+b)^3 -3ab(a+b)$\\
\end{flushleft}


$a^3 +1=(a+1)^3 -3a(a+1)$

\hfill　\begin{flushleft}
$右辺=(a^3 +3a^2 +3a +1) -3a^2 -3a$\\
$　　=a^3 +1=左辺$\\
よって$a^3 +1=(a+1)^3 -3a(a+1)$\\
\end{flushleft}


$a^3 -b^3=(a-b)^3 +3ab(a-b)$

\hfill　\begin{flushleft}
$右辺=(a^3 -3a^2b +3ab^2 -b^3) -3a^2 b +3ab^2$\\
$　　=a^3 -b^3=左辺$\\
よって$a^3 -b^3=(a-b)^3 +3ab(a-b)$\\
\end{flushleft}


$(1+x)^3=1+x+x(1+x)+x(1+x)^2$

\hfill　\begin{flushleft}
$左辺=1+3x+3x^2+x^3$\\
$右辺=1 +x +x +x^2 +x(1+2x+x^2)$\\
$　　=1+2x +x^2 +x +2x^2 +x^3$\\
$　　=1+3x +3x^2 +x^3$\\
左辺と右辺が同じ式になるから\\
$(1+x)^3=1+x+x(1+x)+x(1+x)^2$
\end{flushleft}


$a^3 +8=(a+2)^3 -6a(a+2)$

\hfill　\begin{flushleft}
$右辺=(a^3 +6a^2 +12a +8) -6a^2 -12a$\\
$　　=a^3 +8=左辺$\\
よって$a^3 +8=(a+2)^3 -6a(a+2)$\\
\end{flushleft}




[Level3]
条件【a+b=c】付きの問題

$a+b=cのとき$\\
　$b^2 +c^2=a^2 +2bc$を証明せよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$a=c-bであるから$\\
$右辺=(c-b)^2 +2bc$\\
$　　=c^2 -2bc +b^2 +2bc=左辺$\\
よって$b^2 +c^2=a^2 +2bc$\\
\end{flushleft}


$a+b=cのとき$\\
　$a^2 +bc=b^2 +ca$を証明せよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$左辺=a^2 +b(a+b)$\\
$　　=a^2 +ab +b^2$\\
$右辺=b^2 +(a+b)\times a$\\
$　　=b^2 +a^2 +ab$\\
左辺と右辺が同じ式になるから\\
　$a^2 +bc=b^2 +ca$
\end{flushleft}




[Level4]
条件【対称式a+b+c=0】付きの問題

$a+b+c=0のとき$\\
　$a^2 +ca= b^2 +bc$を証明せよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$左辺-右辺=(a^2 +ca) - (b^2 +bc)$\\
$　　　　　=a^2 -b^2 +ca -bc$\\
$　　　　　=(a+b)(a-b)+c(a-b)$\\
$　　　　　=(a+b+c)(a-b)$\\
$　　　　　=0\times (a-b)=0$\\
よって$a^2 +ca= b^2 +bc$\\
\end{flushleft}


$a+b+c=0のとき$\\
$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc=0$を証明せよ。

\hfill　\begin{flushleft}
左辺\\
$　=ab(a+b)+abc +bc(b+c)+abc +ca(c+a)+abc$\\
$　=ab(a+b+c) +bc(b+c+a) +ca(c+a+b)$\\
$　=ab \times 0 +bc \times 0 +ca \times 0=0$\\
よって$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc=0$\\
\end{flushleft}


$a+b+c=0のとき$\\
　$a^2 -bc= c^2 -ab$を証明せよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$左辺-右辺=(a^2 -bc) - (c^2 -ab)$\\
$　　　　　=a^2 -c^2 -bc +ab$\\
$　　　　　=(a+c)(a-c)+b(a-c)$\\
$　　　　　=(a+b+c)(a-c)$\\
$　　　　　=0\times (a-c)=0$\\
よって$a^2 -bc= c^2 -ab$\\
\end{flushleft}


$a+b+c=0のとき$\\
　$a^2 -2bc= b^2 +c^2$を証明せよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$左辺-右辺=(a^2 -2bc) - (b^2 + c^2)$\\
$　　　　　=a^2 -(b^2 +2bc +c^2)$\\
$　　　　　=a^2 - (b+c)^2$\\
$　　　　　=(a+b+c)(a-b-c)$\\
$　　　　　=0\times (a-b-c)=0$\\
よって$a^2 -2bc= b^2 +c^2$\\
\end{flushleft}


$a+b+c=0のとき$\\
　$(b+c)(c+a)(a+b)+abc=0$を証明せよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$b+c=-a$\\
$c+a=-b$\\
$a+b=-cであるから$\\
$左辺=(-a)\times (-b)\times (-c)+abc$\\
$　　=-abc +abc=0$\\
よって$(b+c)(c+a)(a+b)+abc=0$\\
\end{flushleft}




[Level5]
条件【比例式a/b=c/d】付きを=kと置く問題

$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}のとき$\\
　$\nfrac{a+c}{b+d}=\nfrac{a-c}{b-d}$を証明せよ

\hfill　\begin{flushleft}
$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}=kとおくと、a=bk,c=dk$\\
よって\\
$左辺=\nfrac{a+c}{b+d}=\nfrac{bk+dk}{b+d}=\nfrac{k(b+d)}{b+d}=k$\\
$右辺=\nfrac{a-c}{b-d}=\nfrac{bk-dk}{b-d}=\nfrac{k(b-d)}{b-d}=k$\\
したがって、$\nfrac{a+c}{b+d}=\nfrac{a-c}{b-d}$\\
\end{flushleft}


$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}のとき$\\
　$\nfrac{a+c}{b+d}=\nfrac{2a-3c}{2b-3d}$を証明せよ

\hfill　\begin{flushleft}
$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}=kとおくと、a=bk,c=dk$\\
よって\\
$左辺=\nfrac{a+c}{b+d}=\nfrac{bk+dk}{b+d}=\nfrac{k(b+d)}{b+d}=k$\\
$右辺=\nfrac{2a-3c}{2b-3d}=\nfrac{2bk-3dk}{2b-3d}=\nfrac{k(2b-3d)}{2b-3d}=k$\\
したがって、$\nfrac{a+c}{b+d}=\nfrac{2a-3c}{2b-3d}$\\
\end{flushleft}


$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}のとき$\\
　$\nfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\nfrac{a^2}{b^2}$を証明せよ

\hfill　\begin{flushleft}
$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}=kとおくと、a=bk,c=dk$\\
よって\\
$左辺=\nfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\nfrac{b^2k^2+d^2k^2}{b^2+d^2}=\nfrac{k^2(b^2+d^2)}{b^2+d^2}=k^2$\\
$右辺=\nfrac{a^2}{b^2}=\nfrac{b^2k^2}{b^2}=k^2$\\
したがって、$\nfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\nfrac{a^2}{b^2}$\\
\end{flushleft}


$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}のとき$\\
　$\nfrac{a+2c}{b+2d}=\nfrac{a+3c}{b+3d}$を証明せよ

\hfill　\begin{flushleft}
$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}=kとおくと、a=bk,c=dk$\\
よって\\
$左辺=\nfrac{a+2c}{b+2d}=\nfrac{bk+2dk}{b+2d}=\nfrac{k(b+2d)}{b+2d}=k$\\
$右辺=\nfrac{a+3c}{b+3d}=\nfrac{bk+3dk}{b+3d}=\nfrac{k(b+3d)}{b+3d}=k$\\
したがって、$\nfrac{a+2c}{b+2d}=\nfrac{a+3c}{b+3d}$\\
\end{flushleft}


$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}のとき$\\
　$\nfrac{3a+c}{3b+d}=\nfrac{2a-c}{2b-d}$を証明せよ

\hfill　\begin{flushleft}
$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}=kとおくと、a=bk,c=dk$\\
よって\\
$左辺=\nfrac{3a+c}{3b+d}=\nfrac{3bk+dk}{3b+d}=\nfrac{k(3b+d)}{3b+d}=k$\\
$右辺=\nfrac{2a-c}{2b-d}=\nfrac{2bk-dk}{2b-d}=\nfrac{k(2b-d)}{2b-d}=k$\\
したがって、$\nfrac{3a+c}{3b+d}=\nfrac{2a-c}{2b-d}$\\
\end{flushleft}


$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}のとき$\\
　$\nfrac{a^2-4c^2}{b^2-4d^2}=\nfrac{ac}{bd}$を証明せよ

\hfill　\begin{flushleft}
$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}=kとおくと、a=bk,c=dk$\\
よって\\
$左辺=\nfrac{a^2-4c^2}{b^2-4d^2}=\nfrac{b^2k^2-4d^2k^2}{b^2-4d^2}=\nfrac{k^2(b^2-4d^2)}{b^2-4d^2}=k^2$\\
$右辺=\nfrac{ac}{bd}=\nfrac{bdk^2}{bd}=k^2$\\
したがって、$\nfrac{a^2-4c^2}{b^2-4d^2}=\nfrac{ac}{bd}$\\
\end{flushleft}




[Level6]


[Level7]




[EOF]

