% %以下の文をコメント文としたいのですが，現時点ではまだできません。
% 問題のタイトル
[Title]
命題真偽2(偽は反例必須)

% 問題文
% 何も書かなければ，[Level1]等に書いたものがそのまま問題文となる。
[Problem]
次の命題について、真偽を述べよ。偽の場合は反例を示せ。

% フォントの大きさ。1〜10，またはTeXのコマンドを指定する。
% デフォルトは，5（\normalsize）
% 1は\tiny， 2は\scriptsize，3は\footnotesize，4は\small， 5は\normalsize
% 6は\large，7は\Large，     8は\LARGE，       9は\huge， 10は\Huge
[FontSize]
5

% プリアンブルに追加したいパッケージファイルを指定する。
[usepackage]
\usepackage{amssymb}

% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付ける場合は，　ON または1
% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付けない場合は，OFFまたは0
% 「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の下にある設定を
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　無視する場合に指定してください。
% 何も記述しなければ，「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　下にある設定が優先されます。
[displaystyle]
OFF


% Level1の問題を書く。以下Level7まで同様。
% 1行目には詳細設定のタイトルを書く。
% 2行目以降に問題とその解答を書く。
% 問題と解答，解答と問題は１行ずつあけて書く。
% 計算過程がある場合は，問題と解答の間に１行ずつ間隔をあけ，
% 最初にprocessという行を作り，その次の行から計算過程を書いていく。
[Level1]
約数

$mは12の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは24の正の約数$

真

$mは24の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは12の正の約数$

偽　（反例$m=24$）

$mは3の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは6の正の約数$

真

$mは6の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは3の正の約数$

偽　（反例$m=6$）

$mは3の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは9の正の約数$

真

$mは9の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは3の正の約数$

偽　（反例$m=9$）

$mは4の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは12の正の約数$

真

$mは12の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは4の正の約数$

偽　（反例$m=12$）

$mは6の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは12の正の約数$

真

$mは12の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは6の正の約数$

偽　（反例$m=12$）

$mは3の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは12の正の約数$

真

$mは12の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは3の正の約数$

偽　（反例$m=12$）

$mは8の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは24の正の約数$

真

$mは24の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは8の正の約数$

偽　（反例$m=24$）

$mは6の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは24の正の約数$

真

$mは24の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは6の正の約数$

偽　（反例$m=24$）



[Level2]
倍数

$nは3の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは6の倍数$

偽　（反例$n=3$）

$nは6の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは3の倍数$

真

$nは2の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは6の倍数$

偽　（反例$n=2$）

$nは6の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは2の倍数$

真

$nは2の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは3の倍数$

偽　（反例$n=2$）

$nは3の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは2の倍数$

偽　（反例$n=3$）

$nは2の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは8の倍数$

偽　（反例$n=2$）

$nは8の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは2の倍数$

真

$nは2の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは4の倍数$

偽　（反例$n=2$）

$nは4の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは2の倍数$

真

$nは4の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは8の倍数$

偽　（反例$n=4$）

$nは8の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは4の倍数$

真

$nは6の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは12の倍数$

偽　（反例$n=6$）

$nは12の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは6の倍数$

真

$nは4の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは12の倍数$

偽　（反例$n=4$）

$nは12の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは4の倍数$

真



[Level3]
素数、奇数、偶数、自然数

$nは素数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは正の奇数$

偽　（反例$n=2$）

$nは正の奇数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは素数$

偽　（反例$n=1$）

$nは素数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは自然数$

真

$nは正の奇数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは自然数$

真

$nは自然数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは正の奇数$

偽　（反例$n=2$）

$nは自然数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは素数$

偽　（反例$n=1$）

$nは素数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは正の偶数$

偽　（反例$n=3$）

$nは正の偶数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは素数$

偽　（反例$n=4$）

$nは正の偶数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは自然数$

真

$nは自然数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは正の偶数$

偽　（反例$n=1$）

$nは正の奇数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは正の偶数$

偽　（反例$n=1$）

$nは正の偶数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは正の奇数$

偽　（反例$n=2$）



[Level4]
平方

$x=2 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x^2=4$

真

$x=-2 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x^2=4$

真

$x^2=4 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x=2$

偽　（反例$x=-2$）

$x^2=4 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x=-2$

偽　（反例$x=2$）

$x=3 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x^2=9$

真

$x=-3 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x^2=9$

真

$x^2=9 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x=3$

偽　（反例$x=-3$）

$x^2=9 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x=-3$

偽　（反例$x=3$）

$x=4 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x^2=16$

真

$x=-4 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x^2=16$

真

$x^2=16 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x=4$

偽　（反例$x=-4$）

$x^2=16 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x=-4$

偽　（反例$x=4$）

$x=5 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x^2=25$

真

$x=-5 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x^2=25$

真

$x^2=25 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x=5$

偽　（反例$x=-5$）

$x^2=25 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x=-5$

偽　（反例$x=5$）



[Level5]
不等式

$x \geqq 1  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \geqq 2$

偽　（反例$x=1$）

$x \geqq 2  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \geqq 1$

真

$x \leqq 1  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \leqq 2$

真

$x \leqq 2  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \leqq 1$

偽　（反例$x=2$）

$x \geqq 0  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \geqq 1$

偽　（反例$x=0$）

$x \geqq 1  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \geqq 0$

真

$x \leqq 0  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \leqq 1$

真

$x \leqq 1  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \leqq 0$

偽　（反例$x=1$）

$x \geqq -1  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \geqq -2$

真

$x \geqq -2  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \geqq -1$

偽　（反例$x=-2$）

$x \leqq -1  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \leqq -2$

偽　（反例$x=-1$）

$x \leqq -2  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \leqq -1$

真

$x \geqq 0  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \geqq -1$

真

$x \geqq -1  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \geqq 0$

偽　（反例$x=-1$）

$x \leqq 0  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \leqq -1$

偽　（反例$x=0$）

$x \leqq -1  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \leqq 0$

真




[Level6]
a,b,c問題

$a,bが実数の時、\\ a=b \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a^2=b^2$

真

$a,bが実数の時、\\ a^2=b^2 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=b$

偽　（反例$a=1 ,\, b=-1$）

$a,b,cが実数の時、\\ a=b \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a+c=b+c$

真

$a,b,cが実数の時、\\ a+c=b+c \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=b$

真

$a,bが実数の時、\\ a=b \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a-b=0$

真

$a,bが実数の時、\\ a-b=0 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=b$

真

$a,bが実数の時、\\ a=b \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} (a-b)^2=0$

真

$a,bが実数の時、\\ (a-b)^2=0 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=b$

真

$a,bが実数の時、\\ a=0 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a^2=0$

真

$a,bが実数の時、\\ a^2=0 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=0$

真

$aが実数の時、\\ a=2 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a^2=2a$

真

$aが実数の時、\\ a^2=2a \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=2$

偽　（反例$a=0$）

$a,bが実数の時、\\ a=b \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a^2=ab$

真

$a,bが実数の時、\\ a^2=ab \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=b$

偽　（反例$a=0$）

$a,bが実数の時、\\ a=b \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} ab=b^2$

真

$a,bが実数の時、\\ ab=b^2 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=b$

偽　（反例$b=0$）

$a,bが実数の時、\\ a=b \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a^2+b^2=2ab$

真

$a,bが実数の時、\\ a^2+b^2=2ab \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=b$

真

$a,bが実数の時、\\ a=2,\,b=3 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} ab=6$

真

$a,bが実数の時、\\ ab=6 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=2,\,b=3$

偽　（反例$a=6 ,\, b=1$）

$a,bが実数の時、\\ a=2,\,b=-2 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} ab=-4$

真

$a,bが実数の時、\\ ab=-4 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=2,\,b=-2$

偽　（反例$a=-2 ,\, b=2$）

$a,bが実数の時、\\ a=1,\,b=1 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} ab=1$

真

$a,bが実数の時、\\ ab=1 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=1,\,b=1$

偽　（反例$a=-1 ,\, b=-1$）

$a,bが実数の時、\\ a=b \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} (a-b)a=0$

真

$a,bが実数の時、\\ (a-b)a=0 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=b$

偽　（反例$a=0 ,\, b=1$）

$a,bが実数の時、\\ |a|=|b| \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a^2=b^2$

真

$a,bが実数の時、\\ a^2=b^2 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} |a|=|b|$

真

$aが実数の時、\\ a=\sqrt{2} \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a^2=2$

真

$aが実数の時、\\ a^2=2 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=\sqrt{2}$

偽　（反例$b=-\sqrt{2}$）

$aとbがともに有理数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} abが有理数$

真

$abが有理数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} aとbがともに有理数$

偽　（反例$a=\sqrt{2} ,\, b=\sqrt{2}$）

$a,bが実数の時、\\ a^3=b^3 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a^2=b^2$

真

$a,bが実数の時、\\ a^2=b^2 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a^3=b^3$

偽　（反例$a=1 ,\, b=-1$）

$a,bが自然数の時、\\ aが偶数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} abが偶数$

真

$a,bが自然数の時、\\ abが偶数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} bが偶数$

偽　（反例$a=2 ,\, b=1$）

$a,bが自然数の時、\\ abが奇数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} bが奇数$

真

$a,bが自然数の時、\\ bが奇数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} abが奇数$

偽　（反例$a=2 ,\, b=1$）

$a,bが自然数の時、\\ aとbがともに偶数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a+bが偶数$

真

$a,bが自然数の時、\\ a+bが偶数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} aとbがともに偶数$

偽　（反例$a=1 ,\, b=1$）

$a,bが自然数の時、\\ aとbがともに奇数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a+bが偶数$

真

$a,bが自然数の時、\\ a+bが偶数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} aとbがともに奇数$

偽　（反例$a=2 ,\, b=2$）




[Level7]
上記すべてランダム



$mは12の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは24の正の約数$

真

$mは24の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは12の正の約数$

偽　（反例$m=24$）

$mは3の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは6の正の約数$

真

$mは6の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは3の正の約数$

偽　（反例$m=6$）

$mは3の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは9の正の約数$

真

$mは9の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは3の正の約数$

偽　（反例$m=9$）

$mは4の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは12の正の約数$

真

$mは12の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは4の正の約数$

偽　（反例$m=12$）

$mは6の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは12の正の約数$

真

$mは12の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは6の正の約数$

偽　（反例$m=12$）

$mは3の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは12の正の約数$

真

$mは12の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは3の正の約数$

偽　（反例$m=12$）

$mは8の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは24の正の約数$

真

$mは24の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは8の正の約数$

偽　（反例$m=24$）

$mは6の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは24の正の約数$

真

$mは24の正の約数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} mは6の正の約数$

偽　（反例$m=24$）

$nは3の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは6の倍数$

偽　（反例$n=3$）

$nは6の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは3の倍数$

真

$nは2の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは6の倍数$

偽　（反例$n=2$）

$nは6の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは2の倍数$

真

$nは2の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは3の倍数$

偽　（反例$n=2$）

$nは3の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは2の倍数$

偽　（反例$n=3$）

$nは2の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは8の倍数$

偽　（反例$n=2$）

$nは8の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは2の倍数$

真

$nは2の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは4の倍数$

偽　（反例$n=2$）

$nは4の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは2の倍数$

真

$nは4の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは8の倍数$

偽　（反例$n=4$）

$nは8の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは4の倍数$

真

$nは6の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは12の倍数$

偽　（反例$n=6$）

$nは12の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは6の倍数$

真

$nは4の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは12の倍数$

偽　（反例$n=4$）

$nは12の倍数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは4の倍数$

真

$nは素数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは正の奇数$

偽　（反例$n=2$）

$nは正の奇数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは素数$

偽　（反例$n=1$）

$nは素数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは自然数$

真

$nは正の奇数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは自然数$

真

$nは自然数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは正の奇数$

偽　（反例$n=2$）

$nは自然数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは素数$

偽　（反例$n=1$）

$nは素数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは正の偶数$

偽　（反例$n=3$）

$nは正の偶数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは素数$

偽　（反例$n=4$）

$nは正の偶数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは自然数$

真

$nは自然数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは正の偶数$

偽　（反例$n=1$）

$nは正の奇数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは正の偶数$

偽　（反例$n=1$）

$nは正の偶数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} nは正の奇数$

偽　（反例$n=2$）

$x=2 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x^2=4$

真

$x=-2 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x^2=4$

真

$x^2=4 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x=2$

偽　（反例$x=-2$）

$x^2=4 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x=-2$

偽　（反例$x=2$）

$x=3 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x^2=9$

真

$x=-3 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x^2=9$

真

$x^2=9 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x=3$

偽　（反例$x=-3$）

$x^2=9 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x=-3$

偽　（反例$x=3$）

$x=4 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x^2=16$

真

$x=-4 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x^2=16$

真

$x^2=16 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x=4$

偽　（反例$x=-4$）

$x^2=16 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x=-4$

偽　（反例$x=4$）

$x=5 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x^2=25$

真

$x=-5 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x^2=25$

真

$x^2=25 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x=5$

偽　（反例$x=-5$）

$x^2=25 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x=-5$

偽　（反例$x=5$）

$x \geqq 1  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \geqq 2$

偽　（反例$x=1$）

$x \geqq 2  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \geqq 1$

真

$x \leqq 1  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \leqq 2$

真

$x \leqq 2  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \leqq 1$

偽　（反例$x=2$）

$x \geqq 0  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \geqq 1$

偽　（反例$x=0$）

$x \geqq 1  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \geqq 0$

真

$x \leqq 0  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \leqq 1$

真

$x \leqq 1  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \leqq 0$

偽　（反例$x=1$）

$x \geqq -1  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \geqq -2$

真

$x \geqq -2  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \geqq -1$

偽　（反例$x=-2$）

$x \leqq -1  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \leqq -2$

偽　（反例$x=-1$）

$x \leqq -2  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \leqq -1$

真

$x \geqq 0  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \geqq -1$

真

$x \geqq -1  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \geqq 0$

偽　（反例$x=-1$）

$x \leqq 0  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \leqq -1$

偽　（反例$x=0$）

$x \leqq -1  \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} x \leqq 0$

真



$a,bが実数の時、\\  a=b \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a^2=b^2$

真

$a,bが実数の時、\\ a^2=b^2 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=b$

偽　（反例$a=1 ,\, b=-1$）

$a,b,cが実数の時、\\ a=b \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a+c=b+c$

真

$a,b,cが実数の時、\\ a+c=b+c \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=b$

真

$a,bが実数の時、\\ a=b \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a-b=0$

真

$a,bが実数の時、\\ a-b=0 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=b$

真

$a,bが実数の時、\\ a=b \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} (a-b)^2=0$

真

$a,bが実数の時、\\ (a-b)^2=0 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=b$

真

$a,bが実数の時、\\ a=0 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a^2=0$

真

$a,bが実数の時、\\ a^2=0 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=0$

真

$aが実数の時、\\ a=2 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a^2=2a$

真

$aが実数の時、\\ a^2=2a \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=2$

偽　（反例$a=0$）

$a,bが実数の時、\\ a=b \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a^2=ab$

真

$a,bが実数の時、\\ a^2=ab \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=b$

偽　（反例$a=0$）

$a,bが実数の時、\\ a=b \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} ab=b^2$

真

$a,bが実数の時、\\ ab=b^2 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=b$

偽　（反例$b=0$）

$a,bが実数の時、\\ a=b \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a^2+b^2=2ab$

真

$a,bが実数の時、\\ a^2+b^2=2ab \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=b$

真

$a,bが実数の時、\\ a=2,\,b=3 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} ab=6$

真

$a,bが実数の時、\\ ab=6 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=2,\,b=3$

偽　（反例$a=6 ,\, b=1$）

$a,bが実数の時、\\ a=2,\,b=-2 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} ab=-4$

真

$a,bが実数の時、\\ ab=-4 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=2,\,b=-2$

偽　（反例$a=-2 ,\, b=2$）

$a,bが実数の時、\\ a=1,\,b=1 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} ab=1$

真

$a,bが実数の時、\\ ab=1 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=1,\,b=1$

偽　（反例$a=-1 ,\, b=-1$）

$a,bが実数の時、\\ a=b \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} (a-b)a=0$

真

$a,bが実数の時、\\ (a-b)a=0 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=b$

偽　（反例$a=0 ,\, b=1$）

$a,bが実数の時、\\ |a|=|b| \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a^2=b^2$

真

$a,bが実数の時、\\ a^2=b^2 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} |a|=|b|$

真

$aが実数の時、\\ a=\sqrt{2} \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a^2=2$

真

$aが実数の時、\\ a^2=2 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a=\sqrt{2}$

偽　（反例$b=-\sqrt{2}$）

$aとbがともに有理数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} abが有理数$

真

$abが有理数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} aとbがともに有理数$

偽　（反例$a=\sqrt{2} ,\, b=\sqrt{2}$）

$a,bが実数の時、\\ a^3=b^3 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a^2=b^2$

真

$a,bが実数の時、\\ a^2=b^2 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a^3=b^3$

偽　（反例$a=1 ,\, b=-1$）

$a,bが自然数の時、\\ aが偶数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} abが偶数$

真

$a,bが自然数の時、\\ abが偶数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} bが偶数$

偽　（反例$a=2 ,\, b=1$）

$a,bが自然数の時、\\ abが奇数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} bが奇数$

真

$a,bが自然数の時、\\ bが奇数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} abが奇数$

偽　（反例$a=2 ,\, b=1$）

$a,bが自然数の時、\\ aとbがともに偶数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a+bが偶数$

真

$a,bが自然数の時、\\ a+bが偶数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} aとbがともに偶数$

偽　（反例$a=1 ,\, b=1$）

$a,bが自然数の時、\\ aとbがともに奇数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} a+bが偶数$

真

$a,bが自然数の時、\\ a+bが偶数 \hspace{5mm} \Longrightarrow \hspace{5mm} aとbがともに奇数$

偽　（反例$a=2 ,\, b=2$）





[EOF]

