% %以下の文をコメント文としたいのですが，現時点ではまだできません。
% 問題のタイトル
[Title]
不等式の証明(条件別出題可)

% 問題文
% 何も書かなければ，[Level1]等に書いたものがそのまま問題文となる。
[Problem]
次の不等式を証明せよ。

% フォントの大きさ。1〜10，またはTeXのコマンドを指定する。
% デフォルトは，5（\normalsize）
% 1は\tiny， 2は\scriptsize，3は\footnotesize，4は\small， 5は\normalsize
% 6は\large，7は\Large，     8は\LARGE，       9は\huge， 10は\Huge
[FontSize]
5

% プリアンブルに追加したいパッケージファイルを指定する。
[usepackage]
\usepackage{amssymb}

% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付ける場合は，　ON または1
% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付けない場合は，OFFまたは0
% 「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の下にある設定を
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　無視する場合に指定してください。
% 何も記述しなければ，「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　下にある設定が優先されます。
[displaystyle]
OFF


% Level1の問題を書く。以下Level7まで同様。
% 1行目には詳細設定のタイトルを書く。
% 2行目以降に問題とその解答を書く。
% 問題と解答，解答と問題は１行ずつあけて書く。
% 計算過程がある場合は，問題と解答の間に１行ずつ間隔をあけ，
% 最初にprocessという行を作り，その次の行から計算過程を書いていく。
[Level1]
条件【x>y】付き

$x>yのとき$\\
　不等式$2x+y>x+2y$を証明せよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$(2x+y)-(x+2y)=x-y$\\
$x>yより、x-y>0であるから$\\
$(2x+y)-(x+2y)>0$\\
したがって$2x+y>x+2y$\\
\end{flushleft}


$x>yのとき$\\
　不等式$3x-4y>2x-3y$を証明せよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$(3x-4y)-(2x-3y)=x-y$\\
$x>yより、x-y>0であるから$\\
$(3x-4y)-(2x-3y)>0$\\
したがって$3x-4y>2x-3y$\\
\end{flushleft}


$x>yのとき$\\
　不等式$3x+4y>2x+5y$を証明せよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$(3x+4y)-(2x+5y)=x-y$\\
$x>yより、x-y>0であるから$\\
$(3x+4y)-(2x+5y)>0$\\
したがって$3x+4y>2x+5y$\\
\end{flushleft}


$x>yのとき$\\
　不等式$5x-3y>3x-y$を証明せよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$(5x-3y)-(3x-y)=2x-2y=2(x-y)$\\
$x>yより、2(x-y)>0であるから$\\
$(5x-3y)-(3x-y)>0$\\
したがって$5x-3y>3x-y$\\
\end{flushleft}


[Level2]
条件【x>a,y>b】付き

$x>1,y>1のとき$\\
　不等式$xy+1>x+y$を証明せよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$　(xy+1)-(x+y)$\\
$　=xy-x-y+1$\\
$　=x(y-1)-(y-1)$\\
$　=(x-1)(y-1)$\\
$ここでx>1,y>1より、$\\
$　x-1>0,y-1>0であるから$\\
$(x-1)(y-1)>0$\\
よって$(xy+1)-(x+y)>0$\\
したがって$xy+1>x+y$\\
\end{flushleft}


$x>2,y>3のとき$\\
　不等式$xy+6>3x+2y$を証明せよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$　(xy+6)-(3x+2y)$\\
$　=xy-3x-2y+6$\\
$　=x(y-3)-2(y-3)$\\
$　=(x-2)(y-3)$\\
$ここでx>2,y>3より、$\\
$　x-2>0,y-3>0であるから$\\
$(x-2)(y-3)>0$\\
よって$(xy+6)-(3x+2y)>0$\\
したがって$xy+6>3x+2y$\\
\end{flushleft}


$x>1,y>2のとき$\\
　不等式$xy+2>2x+y$を証明せよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$　(xy+2)-(2x+y)$\\
$　=xy-2x-y+2$\\
$　=x(y-2)-(y-2)$\\
$　=(x-1)(y-2)$\\
$ここでx>1,y>2より、$\\
$　x-1>0,y-2>0であるから$\\
$(x-1)(y-2)>0$\\
よって$(xy+2)-(2x+y)>0$\\
したがって$xy+2>2x+y$\\
\end{flushleft}


$x>4,y>5のとき$\\
　不等式$xy+20>5x+4y$を証明せよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$　(xy+20)-(5x+4y)$\\
$　=xy-5x-4y+20$\\
$　=x(y-5)-4(y-5)$\\
$　=(x-4)(y-5)$\\
$ここでx>4,y>5より、$\\
$　x-4>0,y-5>0であるから$\\
$(x-4)(y-5)>0$\\
よって$(xy+20)-(5x+4y)>0$\\
したがって$xy+20>5x+4y$\\
\end{flushleft}


$x>5,y>3のとき$\\
　不等式$xy+15>3x+5y$を証明せよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$　(xy+15)-(3x+5y)$\\
$　=xy-3x-5y+15$\\
$　=x(y-3)-5(y-3)$\\
$　=(x-5)(y-3)$\\
$ここでx>5,y>3より、$\\
$　x-5>0,y-3>0であるから$\\
$(x-5)(y-3)>0$\\
よって$(xy+15)-(3x+5y)>0$\\
したがって$xy+15>3x+5y$\\
\end{flushleft}


[Level3]
(実数)^2≧0を利用

不等式$x^2+y^2 \geqq 2xy$を証明せよ。\\
　また、等号が成り立つ時を調べよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$(x^2+y^2)-2xy=x^2 -2xy +y^2=(x-y)^2\geqq 0$\\
よって$x^2+y^2\geqq 2xy$\\
この不等式で等号成立するのは、\\
　$x-y=0$すなわち$x=y$の時である。
\end{flushleft}


不等式$x^2+4y^2 \geqq 4xy$を証明せよ。\\
　また、等号が成り立つ時を調べよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$(x^2+4y^2)-4xy=x^2 -4xy +4y^2=(x-2y)^2\geqq 0$\\
よって$x^2+4y^2\geqq 4xy$\\
この不等式で等号成立するのは、\\
　$x-2y=0$すなわち$x=2y$の時である。
\end{flushleft}


不等式$(x+y)^2 \geqq 4xy$を証明せよ。\\
　また、等号が成り立つ時を調べよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$(x+y)^2-4xy=x^2 -2xy +y^2=(x-y)^2\geqq 0$\\
よって$(x+y)^2\geqq 4xy$\\
この不等式で等号成立するのは、\\
　$x-y=0$すなわち$x=y$の時である。
\end{flushleft}




[Level4]
(実数)^2＋(実数)^2≧0の利用

不等式$a^2+5b^2 \geqq 4ab$を証明せよ。\\
　また、等号が成り立つ時を調べよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$(a^2+5b^2)-4ab$\\
$=a^2 -4ab +5b^2$\\
$=a^2 -4ab +4b^2 +b^2$\\
$=(a -2b)^2 +b^2$\\
ここで$(a-2b)^2 \geqq 0，b^2 \geqq 0$であるから\\
$(a -2b)^2 +b^2 \geqq 0$\\
したがって$a^2+5b^2 \geqq 4ab$\\
この不等式で等号成立するのは、\\
　$a-2b=0$かつ$b=0$\\
　すなわち$a=b=0$の時である。
\end{flushleft}


不等式$a^2+10b^2 \geqq 6ab$を証明せよ。\\
　また、等号が成り立つ時を調べよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$(a^2+10b^2)-6ab$\\
$=a^2 -6ab +10b^2$\\
$=a^2 -6ab +9b^2 +b^2$\\
$=(a -3b)^2 +b^2$\\
ここで$(a-3b)^2 \geqq 0，b^2 \geqq 0$であるから\\
$(a -3b)^2 +b^2 \geqq 0$\\
したがって$a^2+10b^2 \geqq 6ab$\\
この不等式で等号成立するのは、\\
　$a-3b=0$かつ$b=0$\\
　すなわち$a=b=0$の時である。
\end{flushleft}


不等式$a^2+9b^2 \geqq 4ab$を証明せよ。\\
　また、等号が成り立つ時を調べよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$(a^2+9b^2)-4ab$\\
$=a^2 -4ab +9b^2$\\
$=a^2 -4ab +4b^2 +5b^2$\\
$=(a -2b)^2 +5b^2$\\
ここで$(a-2b)^2 \geqq 0，5b^2 \geqq 0$であるから\\
$(a -2b)^2 +5b^2 \geqq 0$\\
したがって$a^2+9b^2 \geqq 4ab$\\
この不等式で等号成立するのは、\\
　$a-2b=0$かつ$2b=0$\\
　すなわち$a=b=0$の時である。
\end{flushleft}


不等式$a^2+6b^2 \geqq 2ab$を証明せよ。\\
　また、等号が成り立つ時を調べよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$(a^2+6b^2)-2ab$\\
$=a^2 -2ab +6b^2$\\
$=a^2 -2ab +b^2 +5b^2$\\
$=(a -b)^2 +5b^2$\\
ここで$(a-b)^2 \geqq 0，5b^2 \geqq 0$であるから\\
$(a -b)^2 +5b^2 \geqq 0$\\
したがって$a^2+6b^2 \geqq 2ab$\\
この不等式で等号成立するのは、\\
　$a-b=0$かつ$5b=0$\\
　すなわち$a=b=0$の時である。
\end{flushleft}


[Level5]
(√ルート含む式)^2の利用

$a>0，b>0のとき$\\
　不等式$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}$を証明せよ。

\hfill　\begin{flushleft}
両辺の平方の差を考えると\\
$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-(\sqrt{a+b})^2$\\
$=(a+2\sqrt{ab}+b)-(a+b)$\\
$=2\sqrt{ab}>0$\\
よって$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2>(\sqrt{a+b})^2$\\
ここで$\sqrt{a}+\sqrt{b}>0，\sqrt{a+b}>0$であるから\\
　$\sqrt{a}+\sqrt{b}>\sqrt{a+b}$
\end{flushleft}


$x>0のとき$\\
　不等式$1+x>\sqrt{1+2x}$を証明せよ。

\hfill　\begin{flushleft}
両辺の平方の差を考えると\\
$(1+x)^2-(\sqrt{1+2x})^2$\\
$=(1+2x+x^2)-(1+2x)=x^2>0$\\
よって$(1+x)^2>(\sqrt{1+2x})^2$\\
ここで$1+x>0，\sqrt{1+2x}>0$であるから\\
　$1+x>\sqrt{1+2x}$
\end{flushleft}


$a>0，b>0のとき$\\
　不等式$\sqrt{a}+2\sqrt{b}>\sqrt{a+4b}$を証明せよ。

\hfill　\begin{flushleft}
両辺の平方の差を考えると\\
$(\sqrt{a}+2\sqrt{b})^2-(\sqrt{a+4b})^2$\\
$=(a+4\sqrt{ab}+4b)-(a+4b)$\\
$=4\sqrt{ab}>0$\\
よって$(\sqrt{a}+2\sqrt{b})^2>(\sqrt{a+4b})^2$\\
ここで$\sqrt{a}+2\sqrt{b}>0，\sqrt{a+4b}>0$であるから\\
　$\sqrt{a}+2\sqrt{b}>\sqrt{a+4b}$
\end{flushleft}


$a>0，b>0のとき$\\
　不等式$2\sqrt{a}+3\sqrt{b}>\sqrt{4a+9b}$を証明せよ。

\hfill　\begin{flushleft}
両辺の平方の差を考えると\\
$(2\sqrt{a}+3\sqrt{b})^2-(\sqrt{4a+9b})^2$\\
$=(4a+12\sqrt{ab}+9b)-(4a+9b)$\\
$=12\sqrt{ab}>0$\\
よって$(2\sqrt{a}+3\sqrt{b})^2>(\sqrt{4a+9b})^2$\\
ここで$2\sqrt{a}+3\sqrt{b}>0，\sqrt{4a+9b}>0$であるから\\
　$2\sqrt{a}+3\sqrt{b}>\sqrt{4a+9b}$
\end{flushleft}


[Level6]
|絶対値含む式|^2の利用

不等式$|a|+|b|\geqq|a+b|$を証明せよ。\\
　また、等号が成り立つ時を調べよ。

\hfill　\begin{flushleft}
両辺の平方の差を考えると\\
$(|a|+|b|)^2-|a+b|^2$\\
$=|a|^2 +2|a||b|+|b|^2 -(a+b)^2$\\
$=a^2 +2|ab|+b^2 -(a^2 +2ab+b^2)$\\
$=2(|ab|-ab) \geqq 0$\\
よって$(|a|+|b|)^2 \geqq |a+b|^2$\\
ここで$|a|+|b|\geqq 0，　 |a+b| \geqq 0$であるから\\
　$|a|+|b| \geqq |a+b|$\\
この不等式で等号成立するのは、\\
　$|ab|=ab$すなわち$ab\geqq0$の時である。
\end{flushleft}


不等式$|a|+2|b|\geqq|a+2b|$を証明せよ。\\
　また、等号が成り立つ時を調べよ。

\hfill　\begin{flushleft}
両辺の平方の差を考えると\\
$(|a|+2|b|)^2-|a+2b|^2$\\
$=|a|^2 +4|a||b|+4|b|^2 -(a+2b)^2$\\
$=a^2 +4|ab|+4b^2 -(a^2 +4ab+4b^2)$\\
$=4(|ab|-ab) \geqq 0$\\
よって$(|a|+2|b|)^2 \geqq |a+2b|^2$\\
ここで$|a|+2|b|\geqq 0，　 |a+2b| \geqq 0$であるから\\
　$|a|+2|b| \geqq |a+2b|$\\
この不等式で等号成立するのは、\\
　$|ab|=ab$すなわち$ab\geqq0$の時である。
\end{flushleft}


不等式$|a|+3|b|\geqq|a+3b|$を証明せよ。\\
　また、等号が成り立つ時を調べよ。

\hfill　\begin{flushleft}
両辺の平方の差を考えると\\
$(|a|+3|b|)^2-|a+3b|^2$\\
$=|a|^2 +6|a||b|+9|b|^2 -(a+3b)^2$\\
$=a^2 +6|ab|+9b^2 -(a^2 +6ab+9b^2)$\\
$=9(|ab|-ab) \geqq 0$\\
よって$(|a|+3|b|)^2 \geqq |a+3b|^2$\\
ここで$|a|+3|b|\geqq 0，　 |a+3b| \geqq 0$であるから\\
　$|a|+3|b| \geqq |a+3b|$\\
この不等式で等号成立するのは、\\
　$|ab|=ab$すなわち$ab\geqq0$の時である。
\end{flushleft}


不等式$4|a|+|b|\geqq|4a+b|$を証明せよ。\\
　また、等号が成り立つ時を調べよ。

\hfill　\begin{flushleft}
両辺の平方の差を考えると\\
$(4|a|+|b|)^2-|4a+b|^2$\\
$=16|a|^2 +8|a||b|+|b|^2 -(4a+b)^2$\\
$=16a^2 +8|ab|+b^2 -(16a^2 +8ab+b^2)$\\
$=8(|ab|-ab) \geqq 0$\\
よって$(4|a|+|b|)^2 \geqq |4a+b|^2$\\
ここで$4|a|+|b|\geqq 0，　 |4a+b| \geqq 0$であるから\\
　$4|a|+|b| \geqq |4a+b|$\\
この不等式で等号成立するのは、\\
　$|ab|=ab$すなわち$ab\geqq0$の時である。
\end{flushleft}


[Level7]
相加相乗平均の利用

$a>0のとき、a+\nfrac{1}{a}\geqq 2$を証明せよ\\
また等号が成り立つ時をを調べよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$a>0,　\nfrac{1}{a}>0$であるから、\\
相加相乗平均の関係により、\\
$a+\nfrac{1}{a} \geqq 2\sqrt{a\cdot \nfrac{1}{a}}=2$\\
　よって$a+\nfrac{1}{a} \geqq 2$\\
この不等式で等号成立するのは、\\
　$a>0かつa=\nfrac{1}{a}すなわちa=1$の時である。
\end{flushleft}


$a>0のとき、a+\nfrac{4}{a}\geqq 4$を証明せよ\\
また等号が成り立つ時をを調べよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$a>0,　\nfrac{4}{a}>0$であるから、\\
相加相乗平均の関係により、\\
$a+\nfrac{4}{a} \geqq 2\sqrt{a\cdot \nfrac{4}{a}}=4$\\
　よって$a+\nfrac{4}{a} \geqq 4$\\
この不等式で等号成立するのは、\\
　$a>0かつa=\nfrac{4}{a}すなわちa=2$の時である。
\end{flushleft}


$a>0のとき、a+\nfrac{16}{a}\geqq 8$を証明せよ\\
また等号が成り立つ時をを調べよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$a>0,　\nfrac{16}{a}>0$であるから、\\
相加相乗平均の関係により、\\
$a+\nfrac{16}{a} \geqq 2\sqrt{a\cdot \nfrac{16}{a}}=8$\\
　よって$a+\nfrac{16}{a} \geqq 8$\\
この不等式で等号成立するのは、\\
　$a>0かつa=\nfrac{16}{a}すなわちa=4$の時である。
\end{flushleft}


$a>0のとき、a+\nfrac{25}{a}\geqq 10$を証明せよ\\
また等号が成り立つ時をを調べよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$a>0,　\nfrac{25}{a}>0$であるから、\\
相加相乗平均の関係により、\\
$a+\nfrac{25}{a} \geqq 2\sqrt{a\cdot \nfrac{25}{a}}=10$\\
　よって$a+\nfrac{25}{a} \geqq 10$\\
この不等式で等号成立するのは、\\
　$a>0かつa=\nfrac{25}{a}すなわちa=5$の時である。
\end{flushleft}


$a>0のとき、2a+\nfrac{1}{a}\geqq 2\sqrt{2}$を証明せよ\\
また等号が成り立つ時をを調べよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$2a>0,　\nfrac{1}{a}>0$であるから、\\
相加相乗平均の関係により、\\
$2a+\nfrac{1}{a} \geqq 2\sqrt{2a\cdot \nfrac{1}{a}}=2\sqrt{2}$\\
　よって$2a+\nfrac{1}{a} \geqq 2\sqrt{2}$\\
この不等式で等号成立するのは、\\
　$a>0かつ2a=\nfrac{1}{a}すなわちa=\nfrac{\sqrt{2}}{2}$の時である。
\end{flushleft}


$a>0,　b>0のとき、\nfrac{a}{b}+\nfrac{b}{a}\geqq 2$を証明せよ\\
また等号が成り立つ時をを調べよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$\nfrac{a}{b}>0,　\nfrac{b}{a}>0$であるから、\\
相加相乗平均の関係により、\\
$\nfrac{a}{b}+\nfrac{b}{a} \geqq 2\sqrt{\nfrac{a}{b}\cdot \nfrac{b}{a}}=2$\\
　よって$\nfrac{a}{b}+\nfrac{b}{a} \geqq 2$\\
この不等式で等号成立するのは、\\
$a>0,b>0かつ\nfrac{a}{b}=\nfrac{b}{a}すなわちa=b$の時である。
\end{flushleft}


$a>0,　b>0のとき、\nfrac{a}{2b}+\nfrac{2b}{a}\geqq 2$を証明せよ\\
また等号が成り立つ時をを調べよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$\nfrac{a}{2b}>0,　\nfrac{2b}{a}>0$であるから、\\
相加相乗平均の関係により、\\
$\nfrac{a}{2b}+\nfrac{2b}{a} \geqq 2\sqrt{\nfrac{a}{2b}\cdot \nfrac{2b}{a}}=2$\\
　よって$\nfrac{a}{2b}+\nfrac{2b}{a} \geqq 2$\\
この不等式で等号成立するのは、\\
$a>0,b>0かつ\nfrac{a}{2b}=\nfrac{2b}{a}すなわちa=2b$の時である。
\end{flushleft}


$a>0,　b>0のとき、\nfrac{b}{a}+\nfrac{4a}{b}\geqq 4$を証明せよ\\
また等号が成り立つ時をを調べよ。

\hfill　\begin{flushleft}
$\nfrac{b}{a}>0,　\nfrac{4a}{b}>0$であるから、\\
相加相乗平均の関係により、\\
$\nfrac{b}{a}+\nfrac{4a}{b} \geqq 2\sqrt{\nfrac{b}{a}\cdot \nfrac{4a}{b}}=4$\\
　よって$\nfrac{b}{a}+\nfrac{4a}{b} \geqq 4$\\
この不等式で等号成立するのは、\\
$a>0,b>0かつ\nfrac{b}{a}=\nfrac{4a}{b}すなわち2a=b$の時である。
\end{flushleft}


[EOF]
