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[Title]
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% Ȃ΁C[Level1]ɏ̂̂܂ܖ蕶ƂȂB
[Problem]
̓ؖB

% tHg̑傫B1`10C܂TeX̃R}hw肷B
% ftHǵC5i\normalsizej
% 1\tinyC 2\scriptsizeC3\footnotesizeC4\smallC 5\normalsize
% 6\largeC7\LargeC     8\LARGEC       9\hugeC 10\Huge
[FontSize]
5

% vAuɒǉpbP[Wt@Cw肷B
[usepackage]
\usepackage{amssymb}

% ꂼ̖𓚂$\displaystyle $tꍇ́C@ON ܂1
% ꂼ̖𓚂$\displaystyle $tȂꍇ́COFF܂0
% up̕ҏWv|u[U[ݒv̉ɂݒ
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[displaystyle]
OFF


% Level1̖BȉLevel7܂œlB
% 1sڂɂ͏ڍאݒ̃^CgB
% 2sڈȍ~ɖƂ̉𓚂B
% Ɖ𓚁C𓚂Ɩ͂PsďB
% vZߒꍇ́CƉ𓚂̊ԂɂPsԊuC
% ŏprocessƂsC̎̍svZߒĂB
[Level1]
̍ő原2yz

$(a^2+1)(b^2+1)=(ab+1)^2+(a-b)^2$

\hfill@\begin{flushleft}
$=a^2 b^2 +a^2 +b^2 +1$\\
$E=(ab)^2 +2ab+1+a^2 -2ab +b^2$\\
$@@=a^2 b^2 +a^2 +b^2 +1$\\
ӂƉEӂɂȂ邩\\
$(a^2+1)(b^2+1)=(ab+1)^2+(a-b)^2$\\
\end{flushleft}


$(a^2+4)(b^2+1)=(ab+2)^2+(a-2b)^2$

\hfill@\begin{flushleft}
$=a^2 b^2 +a^2 +4b^2 +4$\\
$E=(ab)^2 +4ab +4 +a^2 -4ab +4b^2$\\
$@@=a^2 b^2 +a^2 +4b^2 +4$\\
ӂƉEӂɂȂ邩\\
$(a^2+4)(b^2+1)=(ab+2)^2+(a-2b)^2$\\
\end{flushleft}


$(x^2-1)(y^2-1)=(xy+1)^2 -(x+y)^2$

\hfill@\begin{flushleft}
$=x^2 y^2 -x^2 -y^2 +1$\\
$E=(xy)^2 +2xy+1 -(x^2 +2xy +y^2)$\\
$@@=x^2 y^2 -x^2 -y^2 +1$\\
ӂƉEӂɂȂ邩\\
$(x^2-1)(y^2-1)=(xy+1)^2 -(x+y)^2$\\
\end{flushleft}


$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2$

\hfill@\begin{flushleft}
$=a^2 x^2 + a^2 y^2 + b^2 x^2 + b^2 y^2$\\
$E=(a^2x^2 +2abxy +b^2 y^2)+(a^2 y^2 -2abxy +b^2 x^2)$\\
$@@=a^2 x^2 + a^2 y^2 + b^2 x^2 + b^2 y^2$\\
ӂƉEӂɂȂ邩\\
$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2$\\
\end{flushleft}


$a^2-ab+b^2=\left( a- \nfrac{b}{2} \right)^2 +\nfrac{3}{4}b^2$

\hfill@\begin{flushleft}
$E=\left( a^2 -ab +\nfrac{b^2}{4} \right) +\nfrac{3}{4}b^2$\\
$@@=a^2 -ab+b^2=$\\
$a^2-ab+b^2=\left( a- \nfrac{b}{2} \right)^2 +\nfrac{3}{4}b^2$\\
\end{flushleft}


$(a-b)^2 +4ab=(a+b)^2$

\hfill@\begin{flushleft}
$=a^2 -2ab +b^2 +4ab$\\
$@@=a^2 +2ab +b^2$\\
$E=a^2 +2ab +b^2$\\
ӂƉEӂɂȂ邩\\
$(a-b)^2 +4ab=(a+b)^2$
\end{flushleft}


$(a+b)^2 -(a-b)^2 =4ab$

\hfill@\begin{flushleft}
$=(a^2 +2ab +b^2) -(a^2 -2ab +b^2)$\\
$@@=4ab=E$\\
$(a+b)^2 -(a-b)^2 =4ab$\\
\end{flushleft}



[Level2]
̍ő原3yz

$a^3 +b^3=(a+b)^3 -3ab(a+b)$

\hfill@\begin{flushleft}
$E=(a^3 +3a^2b +3ab^2 +b^3) -3a^2 b -3ab^2$\\
$@@=a^3 +b^3=$\\
$a^3 +b^3=(a+b)^3 -3ab(a+b)$\\
\end{flushleft}


$a^3 +1=(a+1)^3 -3a(a+1)$

\hfill@\begin{flushleft}
$E=(a^3 +3a^2 +3a +1) -3a^2 -3a$\\
$@@=a^3 +1=$\\
$a^3 +1=(a+1)^3 -3a(a+1)$\\
\end{flushleft}


$a^3 -b^3=(a-b)^3 +3ab(a-b)$

\hfill@\begin{flushleft}
$E=(a^3 -3a^2b +3ab^2 -b^3) -3a^2 b +3ab^2$\\
$@@=a^3 -b^3=$\\
$a^3 -b^3=(a-b)^3 +3ab(a-b)$\\
\end{flushleft}


$(1+x)^3=1+x+x(1+x)+x(1+x)^2$

\hfill@\begin{flushleft}
$=1+3x+3x^2+x^3$\\
$E=1 +x +x +x^2 +x(1+2x+x^2)$\\
$@@=1+2x +x^2 +x +2x^2 +x^3$\\
$@@=1+3x +3x^2 +x^3$\\
ӂƉEӂɂȂ邩\\
$(1+x)^3=1+x+x(1+x)+x(1+x)^2$
\end{flushleft}


$a^3 +8=(a+2)^3 -6a(a+2)$

\hfill@\begin{flushleft}
$E=(a^3 +6a^2 +12a +8) -6a^2 -12a$\\
$@@=a^3 +8=$\\
$a^3 +8=(a+2)^3 -6a(a+2)$\\
\end{flushleft}




[Level3]
ya+b=czt̖

$a+b=ĉƂ$\\
@$b^2 +c^2=a^2 +2bc$ؖB

\hfill@\begin{flushleft}
$a=c-bł邩$\\
$E=(c-b)^2 +2bc$\\
$@@=c^2 -2bc +b^2 +2bc=$\\
$b^2 +c^2=a^2 +2bc$\\
\end{flushleft}


$a+b=ĉƂ$\\
@$a^2 +bc=b^2 +ca$ؖB

\hfill@\begin{flushleft}
$=a^2 +b(a+b)$\\
$@@=a^2 +ab +b^2$\\
$E=b^2 +(a+b)\times a$\\
$@@=b^2 +a^2 +ab$\\
ӂƉEӂɂȂ邩\\
@$a^2 +bc=b^2 +ca$
\end{flushleft}




[Level4]
yΏ̎a+b+c=0zt̖

$a+b+c=0̂Ƃ$\\
@$a^2 +ca= b^2 +bc$ؖB

\hfill@\begin{flushleft}
$-E=(a^2 +ca) - (b^2 +bc)$\\
$@@@@@=a^2 -b^2 +ca -bc$\\
$@@@@@=(a+b)(a-b)+c(a-b)$\\
$@@@@@=(a+b+c)(a-b)$\\
$@@@@@=0\times (a-b)=0$\\
$a^2 +ca= b^2 +bc$\\
\end{flushleft}


$a+b+c=0̂Ƃ$\\
$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc=0$ؖB

\hfill@\begin{flushleft}
\\
$@=ab(a+b)+abc +bc(b+c)+abc +ca(c+a)+abc$\\
$@=ab(a+b+c) +bc(b+c+a) +ca(c+a+b)$\\
$@=ab \times 0 +bc \times 0 +ca \times 0=0$\\
$ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc=0$\\
\end{flushleft}


$a+b+c=0̂Ƃ$\\
@$a^2 -bc= c^2 -ab$ؖB

\hfill@\begin{flushleft}
$-E=(a^2 -bc) - (c^2 -ab)$\\
$@@@@@=a^2 -c^2 -bc +ab$\\
$@@@@@=(a+c)(a-c)+b(a-c)$\\
$@@@@@=(a+b+c)(a-c)$\\
$@@@@@=0\times (a-c)=0$\\
$a^2 -bc= c^2 -ab$\\
\end{flushleft}


$a+b+c=0̂Ƃ$\\
@$a^2 -2bc= b^2 +c^2$ؖB

\hfill@\begin{flushleft}
$-E=(a^2 -2bc) - (b^2 + c^2)$\\
$@@@@@=a^2 -(b^2 +2bc +c^2)$\\
$@@@@@=a^2 - (b+c)^2$\\
$@@@@@=(a+b+c)(a-b-c)$\\
$@@@@@=0\times (a-b-c)=0$\\
$a^2 -2bc= b^2 +c^2$\\
\end{flushleft}


$a+b+c=0̂Ƃ$\\
@$(b+c)(c+a)(a+b)+abc=0$ؖB

\hfill@\begin{flushleft}
$b+c=-a$\\
$c+a=-b$\\
$a+b=-cł邩$\\
$=(-a)\times (-b)\times (-c)+abc$\\
$@@=-abc +abc=0$\\
$(b+c)(c+a)(a+b)+abc=0$\\
\end{flushleft}




[Level5]
yᎮa/b=c/dzt=kƒu

$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}̂Ƃ$\\
@$\nfrac{a+c}{b+d}=\nfrac{a-c}{b-d}$ؖ

\hfill@\begin{flushleft}
$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}=kƂƁAa=bk,c=dk$\\
\\
$=\nfrac{a+c}{b+d}=\nfrac{bk+dk}{b+d}=\nfrac{k(b+d)}{b+d}=k$\\
$E=\nfrac{a-c}{b-d}=\nfrac{bk-dk}{b-d}=\nfrac{k(b-d)}{b-d}=k$\\
āA$\nfrac{a+c}{b+d}=\nfrac{a-c}{b-d}$\\
\end{flushleft}


$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}̂Ƃ$\\
@$\nfrac{a+c}{b+d}=\nfrac{2a-3c}{2b-3d}$ؖ

\hfill@\begin{flushleft}
$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}=kƂƁAa=bk,c=dk$\\
\\
$=\nfrac{a+c}{b+d}=\nfrac{bk+dk}{b+d}=\nfrac{k(b+d)}{b+d}=k$\\
$E=\nfrac{2a-3c}{2b-3d}=\nfrac{2bk-3dk}{2b-3d}=\nfrac{k(2b-3d)}{2b-3d}=k$\\
āA$\nfrac{a+c}{b+d}=\nfrac{2a-3c}{2b-3d}$\\
\end{flushleft}


$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}̂Ƃ$\\
@$\nfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\nfrac{a^2}{b^2}$ؖ

\hfill@\begin{flushleft}
$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}=kƂƁAa=bk,c=dk$\\
\\
$=\nfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\nfrac{b^2k^2+d^2k^2}{b^2+d^2}=\nfrac{k^2(b^2+d^2)}{b^2+d^2}=k^2$\\
$E=\nfrac{a^2}{b^2}=\nfrac{b^2k^2}{b^2}=k^2$\\
āA$\nfrac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\nfrac{a^2}{b^2}$\\
\end{flushleft}


$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}̂Ƃ$\\
@$\nfrac{a+2c}{b+2d}=\nfrac{a+3c}{b+3d}$ؖ

\hfill@\begin{flushleft}
$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}=kƂƁAa=bk,c=dk$\\
\\
$=\nfrac{a+2c}{b+2d}=\nfrac{bk+2dk}{b+2d}=\nfrac{k(b+2d)}{b+2d}=k$\\
$E=\nfrac{a+3c}{b+3d}=\nfrac{bk+3dk}{b+3d}=\nfrac{k(b+3d)}{b+3d}=k$\\
āA$\nfrac{a+2c}{b+2d}=\nfrac{a+3c}{b+3d}$\\
\end{flushleft}


$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}̂Ƃ$\\
@$\nfrac{3a+c}{3b+d}=\nfrac{2a-c}{2b-d}$ؖ

\hfill@\begin{flushleft}
$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}=kƂƁAa=bk,c=dk$\\
\\
$=\nfrac{3a+c}{3b+d}=\nfrac{3bk+dk}{3b+d}=\nfrac{k(3b+d)}{3b+d}=k$\\
$E=\nfrac{2a-c}{2b-d}=\nfrac{2bk-dk}{2b-d}=\nfrac{k(2b-d)}{2b-d}=k$\\
āA$\nfrac{3a+c}{3b+d}=\nfrac{2a-c}{2b-d}$\\
\end{flushleft}


$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}̂Ƃ$\\
@$\nfrac{a^2-4c^2}{b^2-4d^2}=\nfrac{ac}{bd}$ؖ

\hfill@\begin{flushleft}
$\nfrac{a}{b}=\nfrac{c}{d}=kƂƁAa=bk,c=dk$\\
\\
$=\nfrac{a^2-4c^2}{b^2-4d^2}=\nfrac{b^2k^2-4d^2k^2}{b^2-4d^2}=\nfrac{k^2(b^2-4d^2)}{b^2-4d^2}=k^2$\\
$E=\nfrac{ac}{bd}=\nfrac{bdk^2}{bd}=k^2$\\
āA$\nfrac{a^2-4c^2}{b^2-4d^2}=\nfrac{ac}{bd}$\\
\end{flushleft}




[Level6]


[Level7]




[EOF]

