% %以下の文をコメント文としたいのですが，現時点ではまだできません。
% 問題のタイトル
[Title]
104_集合，命題

% 問題文
% 何も書かなければ，[Level1]等に書いたものがそのまま問題文となる。
[Problem]
次の問いに答えよ。
% フォントの大きさ。1〜10，またはTeXのコマンドを指定する。
% デフォルトは，5（\normalsize）
% 1は\tiny， 2は\scriptsize，3は\footnotesize，4は\small， 5は\normalsize
% 6は\large，7は\Large，     8は\LARGE，       9は\huge， 10は\Huge
[FontSize]
5

% プリアンブルに追加したいパッケージファイルを指定する。
[usepackage]
\usepackage{color,amssymb,graphicx,ascmac}

% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付ける場合は，　ON または1
% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付けない場合は，OFFまたは0
% 「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の下にある設定を
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　無視する場合に指定してください。
% 何も記述しなければ，「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　下にある設定が優先されます。
[displaystyle]
OFF


% Level1の問題を書く。以下Level7まで同様。
% 1行目には詳細設定のタイトルを書く。
% 2行目以降に問題とその解答を書く。
% 問題と解答，解答と問題は１行ずつあけて書く。
% 計算過程がある場合は，問題と解答の間に１行ずつ間隔をあけ，
% 最初にprocessという行を作り，その次の行から計算過程を書いていく。
[Level1]
部分集合の要素（基礎記述）
次の集合を，要素を書き並べて表しなさい。\\
1桁の正の偶数の集合$A$

$A=\{ 2,\,4,\,6,\,8 \}$

次の集合を，要素を書き並べて表しなさい。\\
15の正の約数の集合$B$

$B=\{ 1,\,3,\,5,\,15 \}$

次の集合を，要素を書き並べて表しなさい。\\
1以上20以下の3の倍数の集合$A$

$A=\{ 3,\,6,\,9,\,12,\,15,\,18 \}$

次の集合を，要素を書き並べて表しなさい。\\
16の正の約数の集合$B$

$B=\{ 1,\,2,\,4,\,8,\,16 \}$

次の集合を，要素を書き並べて表しなさい。\\
24の正の約数の集合$A$

$A=\{ 1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,8,\,12,\,24 \}$

1以上50以下の7の倍数の集合$B$

$B=\{ 7,\,14,\,21,\,28,\,35,\,42,\,49\}$

次の集合を，要素を書き並べる方法で表せ。\\
$\{ x\,|\,-3<x<5,\,xは整数 \}$

$\{ -2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,4 \}$

次の集合を，要素を書き並べる方法で表せ。\\
$\{ x\,|\,xは36の正の約数 \}$

$\{ 1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,9,\,12,\,18,\,36 \}$

次の集合を，要素を書き並べる方法で表せ。\\
$\{ x\,|\,2x-8<0,\,xは自然数 \}$

process
$\{ x\,|\,x<4,\,xは自然数 \}$

$\{ 1,\,2,\,3 \}$

次の集合を，要素を書き並べる方法で表せ。\\
$\{ 3n-1\,|\,1<n<5,\,nは整数 \}$

process
$n=2,\,3,\,4$を代入して
$3n-1=5,\,8,\,11$

$\{ 5,\,8,\,11 \}$

次の2つの集合について，$ A \cap B$および$ A\cup B$
を要素を書き並べる方法で表せ。\\
$A=\{ 2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13 \}$\\
$B=\{ 1,\,2,\,4,\,5,\,10 \}$

$ A \cap B=\{ 2,\,5 \}$，\\
$ A\cup B=\{ 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,7,\,10,\,11,\,13 \}$

2つの集合\\
$A=\{ 1,\,3,\,5,\,7,\,9,\,11 \}$\\
$B=\{ 3,\,6,\,9,\,12 \}$
について，次の問に答えなさい。\\
\textcircled{\small 1}\,$A\cap B$を求めなさい。\\
\textcircled{\small 2}\,$A\cup B$を求めなさい。

\textcircled{\small 1}\,$A\cap B=\{ 3,\,9 \}$\\
\textcircled{\small 2}\,$A\cup B=\{ 1,\,3,\,5,\,6,\,7,\,9,\,11,\,12 \}$









[Level2]
部分集合，補集合（基礎選択）
次の集合のうち，$A=\{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7\}$の部分集合であるものをすべてあげなさい。\\
$B=\{ 2,\,3,\,4,\,5 \}$，$C=\{ 1,\,2,\,4,\,8 \}$，$D=\{ 1,\,3,\,7 \}$

$B$，$D$

次の空欄の中に$\in$または$\notin$のいずれかを入れよ。
ただし，$N$は自然数全体の集合を表す。\\
$A=\{ x\,|\,x^2+4x+3=0 \}$のとき，2\,\fbox{　ア　}$A$，$-3$\,\fbox{　イ　}$A$

process
$(x+1)(x+3)=0 \therefore x=-1,\,-3$

ア：$\notin$，イ：$\in$

次の空欄の中に$\in$または$\notin$のいずれかを入れよ。
ただし，$N$は自然数全体の集合を表す。\\
$B=\{ x\,|\,x<4,\,x\in N \}$のとき，2\,\fbox{　ア　}$B$，$-3$\,\fbox{　イ　}$B$

process
$\{1,\,2,\,3\}$

ア：$\in$，イ：$\notin$

次の集合のうち，
$A=\{ 1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,9,\,12 \}$
の部分集合であるものをすべてあげなさい。\\
$B=\{ 1,\,4,\,6 \}$\\
$C=\{ 2,\,4,\,6,\,8 \}$\\
$D=\{ 3,\,6,\,9,\,12 \}$

$B$，$D$

全体集合を$U=\{ 5,\,6,\,7,\,8,\,9,\,10,\,11,\,12 \}$
とするとき，
部分集合$A=\{ 5,\,8,\,11 \}$
の補集合$\overline{A}$
を書き並べて表しなさい。

$\overline{A}=\{ 6,\,7,\,9,\,10,\,12 \}$








[Level3]
共通部分と和集合の要素（基礎選択）
2つの集合${\rm A}=\{ x|\,1<x<5 \}$，
$B=\{ x|\,2<x<8 \}$について，\\
$A\cup B=\{x| $\fbox{\, 11 \,}$<x<$\fbox{\, 12 \,}$\}$
である。\\
\textcircled{\small 1}\,$1<x<2$~~~
\textcircled{\small 2}\,$2<x<5$\\
\textcircled{\small 3}\,$5<x<8$~~~
\textcircled{\small 4}\,$1<x<8$

\textcircled{\small 4}

$A=\{ 1,\,2,\,4,\,8 \}$，$B=\{  1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,12 \}$のとき，
$A\cap B$，$A \cup B$をそれぞれ表す集合として正しい組合せは\fbox{\,\bf オ\,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$A\cap B=\{ 1,\,2,\,4 \}$，~~~ $A\cup B=\{ 3,\,6,\,8,\,12 \}$\\
\textcircled{\small 2}\,$A\cap B=\{ 1,\,2,\,4 \}$， \\ $A\cup B=\{ 1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,8,\,12 \}$\\
\textcircled{\small 3}\,$A\cap B=\{ 3,\,6,\,12 \}$，~~~ $A\cup B=\{ 3,\,6,\,8,\,12 \}$\\
\textcircled{\small 4}\,$A\cap B=\{ 3,\,6,\,12 \}$，\\ $A\cup B=\{ 1,\,2,\,3,\,4,\,6,\,8,\,12 \}$

\textcircled{\small 2}

$A=\{ 1,\,2,\,3 \}$，$B=\{  2,\,3,\,4 \}$のとき，
$A\cap B$，$A \cup B$をそれぞれ表す集合として正しい組合せは\fbox{\,\bf オ\,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$A\cap B=\{ 2,\,3 \}$，~~~ $A\cup B=\{ 1,\,2,\,3,\,4 \}$\\
\textcircled{\small 2}\,$A\cap B=\{ 2,\,3 \}$，~~~ $A\cup B=\{ 1,\,4 \}$\\
\textcircled{\small 3}\,$A\cap B=\{ 1,\,4 \}$，~~~ $A\cup B=\{ 1,\,2,\,3,\,4 \}$\\
\textcircled{\small 4}\,$A\cap B=\{ 1,\,2,\,3,\,4 \}$，~~~ $A\cup B=\{ 1,\,4 \}$

\textcircled{\small 1}

集合$U=\{ 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9,\,10 \}$の部分集合$A$，$B$について，\\
$\overline{A}\cap \overline{B}=\{ 1,\,2,\,5,\,8 \}$，$A\cap B=\{ 3 \}$，\\
$\overline{A}\cap B=\{ 4,\,7,\,10 \}$\\
がわかっているとき，
$A\cap \overline{B}=$\fbox{　\textcircled{\small 1}　}，$B=\fbox{　\textcircled{\small 2}　}$である。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic41.tex}
\end{center}

$A\cap \overline{B}=\{ 6,\,9 \}$，$B=\{ 3,\,4,\,7,\,10 \}$

全体集合を$U=\{ 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9 \}$とし，その部分集合を
$P=\{ x\,|\,xは偶数 \}$，$Q=\{ x\,|\,xは3の倍数 \}$とするとき，
集合$P\cup Q$を求めよ。

process
$P=\{ 2,\,4,\,6,\,8 \}$，$Q=\{ 3,\,6,\,9 \}$

$P\cup Q=\{ 2,\,3,\,4,\,6,\,8,\,9 \}$

全体集合を$U=\{ 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9 \}$とし，
その部分集合$P$，$Q$をそれぞれ$P=\{ x\,|\,xは偶数 \}$，$Q=\{ x\,|\,xは3の倍数 \}$とする。
ここで集合Pの補集合を$\overline{P}$とするとき，$\overline{P} \cap Q$を求めよ。

process
$\overline{P}=\{ 1,\,3,\,5,\,7,\,9 \}$，$Q=\{ 3,\,6,\,9 \}$

$\overline{P} \cap Q=\{ 3,\,9\}$

$U=\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}$を全体集合とする。
$U$の部分集合$A=\{ 1,3,5,7,9 \}$，$B=\{ 2,3,6,8 \}$について，
$A \cap B$の要素であるものは\fbox{\,\bf カ\,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$1$~~~
\textcircled{\small 2}\,$2$~~~
\textcircled{\small 3}\,$3$~~~
\textcircled{\small 4}\,$4$

\textcircled{\small 3}

集合$U$とその部分集合$A$，$B$の関係が，図のようになっている。
このとき，$A\cap \overline{B}$を表すのは\fbox{\,\bf カ\,}の図の斜線部分である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/h2802101.tex}
\end{center}
\begin{figure}[!hbt]\begin{center}
 \includegraphics[width=76mm,clip]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/h2802m102.eps}
 \end{center}\end{figure} 

\textcircled{\small 3}

全体集合を$U=\{ 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9 \}$とし，
その部分集合を\\
$A=\{ 1,\,3,\,5,\,7 \}$，
$B=\{ 1,\,2,\,3,\,7,\,8,\,9 \}$
とするとき，
集合${A} \cup \overline{ B}=\fbox{\hspace{8pt} 7 \hspace{8pt}}$
である。\\
\textcircled{\small 1}\,$\{ 4,\,5,\,6 \}$~~~
\textcircled{\small 2}\,$\{ 1,\,3,\,5,\,7,\,8 \}$\\
\textcircled{\small 3}\,$\{ 2,\,4,\,6,\,8,\,9 \}$~~~
\textcircled{\small 4}\,$\{ 1,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7 \}$

process
$\overline{\rm B}=\{ 4,\,5,\,6 \}$であるから，\\
${\rm A} \cup \overline{\rm B}=\{ 1,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7 \} $

\textcircled{\small 4}

2つの集合A，Bについて，
$A=\{ 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6 \}$，
$B=\{ 3,\,6,\,9 \}$
のとき，
$A \cap B=$\fbox{\bf\, オ \,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}
のうちから一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$\{ 9 \}$~~~
\textcircled{\small 2}\,$\{ 3,\,6 \}$~~~
\textcircled{\small 3}\,$\{ 1,\,2,\,4,\,5 \}$\\
\textcircled{\small 4}\,$\{ 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,9 \}$

\textcircled{\small 2}

2つの集合A，Bについて，
$A=\{ 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6 \}$，
$B=\{ 3,\,6,\,9 \}$
のとき，
$A \cup  B=$\fbox{\bf\, オ \,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}
のうちから一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$\{ 9 \}$~~~
\textcircled{\small 2}\,$\{ 3,\,6 \}$~~~
\textcircled{\small 3}\,$\{ 1,\,2,\,4,\,5 \}$\\
\textcircled{\small 4}\,$\{ 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,9 \}$

\textcircled{\small 4}

$A=\{ 1,\,2,\,4,\,8 \}$，$B=\{ 1,\,2,\,5,\,10 \}$
のとき，$A \cup B$と等しい集合は
\fbox{\bf\, カ \,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}
のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$\{ 1,\,2 \}$~~~
\textcircled{\small 2}\,$\{ 4,\,5,\,8,\,10 \}$\\
\textcircled{\small 3}\,$\{ 2,\,4,\,9,\,18 \}$~~~
\textcircled{\small 4}\,$\{ 1,\,2,\,4,\,5,\,8,\,10 \}$

\textcircled{\small 4}

$A=\{ 1,\,2,\,4,\,8 \}$，$B=\{ 1,\,2,\,5,\,10 \}$
のとき，$A \cap B$と等しい集合は
\fbox{\bf\, カ \,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}
のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$\{ 1,\,2 \}$~~~
\textcircled{\small 2}\,$\{ 4,\,5,\,8,\,10 \}$\\
\textcircled{\small 3}\,$\{ 2,\,4,\,9,\,18 \}$~~~
\textcircled{\small 4}\,$\{ 1,\,2,\,4,\,5,\,8,\,10 \}$

\textcircled{\small 1}

集合$A,\, B$を$A=\{ 2,\,4,\,6,\,8 \}$，
$B=\{ 2,\,3,\,6,\,7 \}$とするとき，集合$A \cap B$
を求めなさい。\\
\textcircled{\small 1}\,$\phi $~~~
\textcircled{\small 2}\,$\{ 2,\,6 \}$~~~
\textcircled{\small 3}\,$\{ 3,\,7 \}$~~~
\textcircled{\small 4}\,$\{ 4,\,8 \}$\\
\textcircled{\small 5}\,$\{ 2,\,3,\,4,\,6,\,7,\,8 \}$

\textcircled{\small 2}

全体集合${\rm Z}=\{ 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6 \}$
の部分集合を
$A=\{ 1,\,3,\,5 \}$，$B=\{ 2,\,3,\,6 \}$
とするとき，次の集合C，DをAとBの関係で表したものを，
下の
\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 5}
の中から1つずつ選び，その番号で答えなさい。\\
\hspace{10pt} ${\rm C}=\{ 1,\,2,\,3,\,5,\,6 \}=$\fbox{\, 17 \,}\\
\textcircled{\small 1}\,${\rm A}\cup {\rm B}$~~~
\textcircled{\small 2}\,${\rm A}\cap {\rm B}$~~~
\textcircled{\small 3}\,${\rm \overline{A}}\cup {\rm B}$~~~
\textcircled{\small 4}\,${\rm A}\cap {\rm \overline{B}}$~~~
\textcircled{\small 5}\,${\rm \overline{A}}\cap {\rm \overline{B}}$

\textcircled{\small 1}

全体集合$U=\{ 1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6 \}$
の部分集合を
$A=\{ 1,\,3,\,5 \}$，$B=\{ 2,\,3,\,6 \}$
とするとき，次の集合C，DをAとBの関係で表したものを，
下の
\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 5}
の中から1つずつ選び，その番号で答えなさい。\\
\hspace{10pt} ${\rm D}=\{ 1,\,5 \}=$\fbox{\, 18 \,}\\
\textcircled{\small 1}\,${\rm A}\cup {\rm B}$~~~
\textcircled{\small 2}\,${\rm A}\cap {\rm B}$~~~
\textcircled{\small 3}\,${\rm \overline{A}}\cup {\rm B}$~~~
\textcircled{\small 4}\,${\rm A}\cap {\rm \overline{B}}$~~~
\textcircled{\small 5}\,${\rm \overline{A}}\cap {\rm \overline{B}}$

\textcircled{\small 4}

$U=\{ x\,|\,xは10$より小さい自然数$ \}$を全体集合とする。
集合$A$，$B$を
$A=\{ 3,\,6,\,9 \}$，
$B=\{ 1,\,3,\,5,\,7,\,9 \}$とするとき，
集合$\overline{A} \cap B$
を求めなさい。ただし，
$\overline{A}$は$A$の補集合である。\\
\textcircled{\small 1}\,$\phi $~~~
\textcircled{\small 2}\,$\{ 6 \}$~~~
\textcircled{\small 3}\,$\{ 3,\,9 \}$\\
\textcircled{\small 4}\,$\{ 1,\,5,\,7 \}$~~~
\textcircled{\small 5}\,$\{ 1,\,3,\,5,\,6,\,7,\,9 \}$

\textcircled{\small 4}





[Level4]
共通部分と和集合の要素数（基礎選択）
ある高校生のクラス49人の中で，弟がいる人は27人，弟と妹がいる人が5人，両方ともいない人が9人だった。
弟がいないで妹だけがいる人は何人か。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic01.tex}
\end{center}
$ 49-9=40 $人，$ 40-27=13 $人

13人

40人の生徒を対象に，旅行のアンケート調査を行ったところ，北海道に行ったことのある者は18人，
九州に行ったことのある者は13人であった。また，北海道と九州の両方に行ったことのある者は5人であった。
両方とも行ったことのない生徒は何人か。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic02.tex}
\end{center}
$ 40-(18+13-5)=40-26=14 $人

14人

営業課の53人の従業員にアンケートを取ったところ，テニスが好きな人が38人，
テニスとサッカーの両方が好きな人が17人，テニスもサッカーも好きでない人が9人いた。
サッカーが好きな人は何人いるか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic04.tex}
\end{center}
$ 38+x-17=53-9 $。∴$x=23$

23人

ある40人のクラスで，クラブ活動の調査をしたところ，
運動部に所属している人は16人で，文化部に所属している人は19人であった。
また，どちらにも所属していない人は7人であった。
どちらにも所属している人は何人か。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic05.tex}
\end{center}
$ 16+19-x=40-7 $。∴$x=2$

2人

1から100までの整数で，2または3の倍数はいくつあるか。

process
2の倍数は50個，3の倍数は33個。このうち，6の倍数が16個重複しているから，\\
$50+33-16=67$

67個

70以下の自然数のうち，2または3の倍数はいくつあるか。

process
2の倍数は35個，3の倍数は23個。このうち，6の倍数が11個重複しているから，\\
$35+23-11=47$

47個

70以下の自然数のうち，3または4の倍数はいくつあるか。

process
3の倍数は23個，3の倍数は17個。このうち，12の倍数が5個重複しているから，\\
$23+17-5=35$

35個

1から80までの整数で，2または3の倍数はいくつあるか。

process
2の倍数は40個，3の倍数は26個。このうち，6の倍数が13個重複しているから，\\
$40+26-13=53$

53個

1から90までの整数で，2または3の倍数はいくつあるか。

process
2の倍数は45個，3の倍数は30個。このうち，6の倍数が15個重複しているから，\\
$45+30-15=60$

60個

1から80までの整数で，3または4の倍数はいくつあるか。

process
3の倍数は26個，4の倍数は20個。このうち，12の倍数が6個重複しているから，\\
$26+20-6=40$

40個

1から90までの整数で，3または4の倍数はいくつあるか。

process
3の倍数は30個，4の倍数は22個。このうち，12の倍数が7個重複しているから，\\
$30+22-7=45$

45個

1から100までの整数のうち，3または4の倍数はいくつあるか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic23.tex}
\end{center}
3の倍数は33個，4の倍数は25個，12の倍数は8個。
$33+25-8=50$

50個

1から100までの整数のうち，3または5の倍数はいくつあるか。

process
3の倍数は33個，5の倍数は20個。このうち，15の倍数が6個重複しているから，\\
$33+20-6=47$

47個

1から100までの整数で，3または11の倍数はいくつあるか。

process
3の倍数は33個，11の倍数は9個。このうち，33の倍数が3個重複しているから，\\
$33+9-3=39$

39個

42人学級の教室で調査をしたところ，国語が好きな子どもは15人，
算数がすきな子どもは25人，どちらも好きでない子どもが10人だった。
算数は好きだが，国語は好きでない子どもは何人いるか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic21.tex}
\end{center}
国語も算数も好きな子どもの数を$x$人とすると，\\
$15+25-x=42-10$，∴$x=8$，\\
題意の数は，
$25-8=17$

17人

ある学校で200人の学生に対し，A，B\,2種類の試験を実施したところ，
Aの合格者は110人，Bの不合格者は83人，
A，Bともに合格した者は48人であった。
A，Bともに不合格者であった者は何人か。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic22.tex}
\end{center}
$83-62=21$人

21人

ある学校で100人を対象に調査をしたところ，次のような結果になった。\\
野球をしたことがありますか？\\
ある：78人，ない：22人\\
庭球をしたことがありますか？\\
ある：45人，ない：55人\\
野球も庭球もしたことがない人はこの学校には7人いるとき，
野球も庭球もしたことがある人は何人いるか？

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic09.tex}
\end{center}
$78+45-x=100-7$人。∴$x=30人$

30人

生徒数45人のクラスで，兄のいる生徒が28人，
姉のいる生徒が23人，どちらもいない生徒が8人であるとき，
兄も姉もいる生徒は何人か。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic25.tex}
\end{center}
$ 45-8=28+23-x$，∴$x=14$人

14人

クイズの解答者15人のうち，１問目の正解者は８人，１問目と２問目の両方の正解者は６人，両方とも正解できなかったのは３人であった。２問目の正解者は何人か。\\

process
$8+x-6=15-3$\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic31.tex}
\end{center}

10人

街角で30人に，納豆と梅干しの好き嫌いについて聞いたところ，納豆が好きな人は20人，梅干しが好きな人は15人であった。両方とも好きな人が10人であるとき，両方とも好きではない人は何人か。

process
$20+15-10=30-x$\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic32.tex}
\end{center}

５人

ある会社の視力が低い社員50人に，勤務中の視力矯正に何を使っているか調べたところ，眼鏡は30人，コンタクトは35人，どちらも使わない人は4人であった。眼鏡とコンタクトを両方使う人は何人か。

process
$30+35-x=50-4$\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic33.tex}
\end{center}

19人

インターネットの利用について，120人にアンケートを行った。
携帯のみでの利用者は30人，携帯とパソコンの両方での利用者は60人，携帯もパソコンも利用しない人が20人であった。パソコンのみでの利用者は何人か。

process
$30+60+x=120-20$\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic34.tex}
\end{center}

10人

ある小学生に習い事について聞いてみると，水泳を習っている子は25人，ピアノを習っている子は20人，両方習っている子は15人，どちらも習っていない子は10人であった。全部で何人の小学生に聞いたか。

process
$(25+20-15)+10=40$\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic35.tex}
\end{center}

40人

ある会社で200人に対して保険に加入している人数を調べたところ，自動車保険に加入している人が50人，生命保険に加入している人が130人，
自動車保険と生命保険の両方に加入している人が35人いた。自動車保険と生命保険のどちらにも未加入の人は何人か。

process
$200-(50+130-35)=55$\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic36.tex}
\end{center}

55人





[Level5]
集合_共通部分と和集合（基礎記述）
ある高校の3年生で，IT機器の所有状況について100人にアンケートを取った。
集計結果は次のようになった。
デジカメとプリンターの両方とも持っていないと答えた人が36人いた。
デジカメとプリンターの両方を持っている人は何人いるか。
\begin{table}[!h]
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
   & 持っている & 持っていない \\
 \hline
 パソコン & 74 & 26 \\
 \hline
 携帯電話 & 86 & 14\\
 \hline
 デジカメ & 48 & 52\\
 \hline
 プリンター & 37 & 63\\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic11.tex}
\end{center}
$48+37-x=100-36$。∴$x=21人$

21人

ある高校の3年生で，IT機器の所有状況について100人にアンケートを取った。
集計結果は次のようになった。
携帯は持っているがパソコンは持っていない人が6人いる場合，
両方持っていない人は何人いるか。
\begin{table}[!h]
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
   & 持っている & 持っていない \\
 \hline
 パソコン & 74 & 26 \\
 \hline
 携帯電話 & 86 & 14\\
 \hline
 デジカメ & 48 & 52\\
 \hline
 プリンター & 37 & 63\\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic12.tex}
\end{center}
$74+6=80$。∴$100-80=20人$

20人

ある高校でめがねについての調査をした。
めがねをかけている人は全体の28\%だった。
また男子の割合は48\%で，そのうち$\displaystyle \frac{1}{4}$はめがねをかけていた。
めがねをかけた女子が40人のとき，この学生の総数は何人か。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic03.tex}
\end{center}
めがねをかけている男子は$ 48\% \times \displaystyle \frac{1}{4}=12\% $。
したがって，めがねをかけている女子は全体の\\
$28 \%-12 \%=16 \%$。
$\displaystyle \frac{x}{100}=\displaystyle \frac{40}{16}$。∴$x=250$

250人

ある学校で通学のときに使う乗り物の調査をしたところ，
電車だけ利用する人が28\%，バスだけ利用する人が12\%，自転車を利用する人が30\%，
3つとも利用しない人が16\%であった。
電車とバス両方を利用するが，自転車は利用しない人は何\%いるか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic06.tex}
\end{center}
$30+28+12+x+16=100$。∴$x=14$

14$\%$

42人のクラスで試験をしたところ，1問目の正解者は35人，
2問目の正解者は20人だった。
2問とも正解の人は最も少ない場合何人か。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic24.tex}
\end{center}
図より，\\
$35+20-x \leqq 42$，∴$x \geqq 13$

13人

2桁の自然数，すなわち10から99までの自然数のうち，3または5の倍数はいくつあるか。

process
$3の倍数=(1〜99までの3の倍数)-(1〜9までの3の倍数)=33-3=30$個，\\
$5の倍数=(1〜99までの5の倍数)-(1〜9までの5の倍数)=19-1=18$個。\\
$15の倍数=(1〜99までの15の倍数)-(1〜9までの15の倍数)=6-0=6$個。\\
$30+18-6=42$

42個

ある会社で200人に対して保険に加入している人数を調べたところ，自動車保険に加入している人は50人，火災保険に加入している人は90人であった。
また，自動車保険未加入の人の4割が火災保険に加入していた。自動車保険と火災保険の両方に加入している人は何人か。

process
図の斜線部の人数は，$150 \times 0.4=60$人。求める人数は$90-60=30$人
\begin{center}
 \input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic37p.tex}
\end{center}

30人

ある語学研修に参加した人の内訳を分析してみた。男性と女性の比は$5:3$であり，
大人と子どもの人数の比は$4:1$であった。
女性の中で，大人と子どもの比は$11:4$であり，その子どもの人数は24人だった。
男性の中の大人は何人か。

process
\begin{center}
 \input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic10.tex}
\end{center}
仮に女子の中の子どもの数を4とすると，表のようになる。
よって求める数は，$21 \times \displaystyle \frac{24}{4}=126$

126人








[Level6]
命題と真偽，否定
次の命題の真偽を調べなさい。\\
$\sqrt{(-3)^2}=-3$

偽

次の命題の真偽を調べなさい。\\
9の正の約数は1，3，9である。

真

次の命題の真偽を調べなさい。\\
$5^2+12^2=13^2$

真

次の命題の真偽を調べなさい。\\
8は奇数である。

偽

次の命題の真偽を調べ，偽である場合には反例をあげなさい。\\
$3x=6\Longrightarrow  x=2$

真

次の命題の真偽を調べ，偽である場合には反例をあげなさい。\\
$x=1 \Longrightarrow x^2=1$

真

次の命題の真偽を調べ，偽である場合には反例をあげなさい。\\
$x^2=9 \Longrightarrow x=3$

偽。反例は$x=-3$

次の条件の否定を述べなさい。\\
自然数$n$は奇数である。

自然数$n$は偶数である。

次の条件の否定を述べなさい。\\
$x \leqq 3$

$x>3$

集合を考えて，次の命題の真偽を調べなさい。\\
$-2<x<1 \Longrightarrow -3\leqq x\leqq 2 $

真

集合を考えて，次の命題の真偽を調べなさい。\\
$-1<x<2 \Longrightarrow 0 < x < 3 $

偽

集合を考えて，次の命題の真偽を調べなさい。\\
$1<x<3$ならば$1<x<4$

真

集合を考えて，次の命題の真偽を調べなさい。\\
$0<x<1$ならば$-1<x<1$

真

次の命題の真偽を調べなさい。\\
$x+2=0$ならば$x=2$である。

偽

次の命題の真偽を調べなさい。\\
奇数の平方は奇数である。

process
奇数は$2n-1$（$n=1,\,2,\,3,\,\cdots$）と表すことができるから，
$(2n-1)^2=4n^2-4n+1$は奇数。

真

次の命題の真偽を調べなさい。\\
$A=90^\circ$ならば$\triangle {\rm ABC}$は直角三角形である。

真

次の命題の真偽を調べなさい。\\
$x^2=4$ならば$x=2$である。

偽（反例：$x=-2$）

次の条件の否定を述べよ。\\
$x\geqq 3$

$x<3$

次の条件の否定を述べよ。\\
$1\leqq x<4$

$x<1または4\leqq x$

次の条件の否定を述べよ。\\
$x=0$かつ$y=0$

$x\not= 0$または$y\not= 0$

次の条件の否定を述べよ。\\
$x<2 $または$y\geqq -3$

$x\geqq 2$かつ$y<-3$

2つの命題（P），（Q）がある。\\
（命題）-----------------------------------------------------\\
（P）三角形ABCが二等辺三角形ならば三角形ABCは正三角形である。\\
（Q）$n$が12の倍数ならば$n$は4の倍数である。\\
-----------------------------------------------------------------\\
命題（P），（Q）の真偽の組合せとして正しいものは\fbox{\bf\,キ\,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,（P）真，（Q）真\\
\textcircled{\small 2}\,（P）真，（Q）偽\\
\textcircled{\small 3}\,（P）偽，（Q）真\\
\textcircled{\small 4}\,（P）偽，（Q）偽

\textcircled{\small 3}

次の命題の真偽を調べ，偽である場合には反例をあげなさい。\\
$a^2>0$ならば$a>1$である。

偽。反例は$a=-2$。（$a^2>0$は成り立つが$a>1$が成立しない）

$x$は実数とする。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4} の命題のうち，真であるものはどれか。
正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$x^2=3 \Longrightarrow x=\sqrt{3}$\\
\textcircled{\small 2}\,$x^2=1 \Longrightarrow x=-1$\\
\textcircled{\small 3}\,$3x=9 \Longrightarrow x=3$\\
\textcircled{\small 4}\,$x^2>0 \Longrightarrow x>0$

\textcircled{\small 3}

全体集合$U$を実数全体の集合とし，その部分を
$A=\{ x | -6<x<0 \}$，
$B=\{ x | -3\leqq x \leqq 7 \}$とするとき，
集合$\overline{A \cap B} =$\fbox{\hspace{8pt} 7 \hspace{8pt}}である。\\
\textcircled{\small 1}\,$\{ x | x \leqq -6, 7 < x \}$~~~
\textcircled{\small 2}\,$\{ x | -6 \leqq < 7 \}$\\
\textcircled{\small 3}\,$\{ x | x < -3, 0 \leqq x \}$~~~
\textcircled{\small 4}\,$\{ x | -3 \leqq x < 0 \}$~~~

process
$A\cap B=\{ x | -3 \leqq x <0 \}$
である。

\textcircled{\small 3}

条件
「$x>2$または$x<-3$」の
\fbox{\hspace{8pt} 19 \hspace{8pt}}
は「
$-3\leqq x \leqq 2$
」
である。\\
\textcircled{\small 1}\,裏~~~
\textcircled{\small 2}\,逆~~~
\textcircled{\small 3}\,待遇~~~
\textcircled{\small 4}\,否定

\textcircled{\small 4}






[Level7]
十分条件と必要条件
$x$が実数のとき，$|\, x \,|\leqq 0$は$x=0$であるための\fbox{\, 6 \,}。\\
\textcircled{\small 1}\,必要条件である。\\
\textcircled{\small 2}\,十分条件である。\\
\textcircled{\small 3}\,必要十分条件である。\\
\textcircled{\small 4}\,必要条件でも十分条件でもない。

process
「$|\,x\,|\geqq 0$」であるから，\\
「$|\, x \,|\leqq 0$」$\Longleftrightarrow $「$x=0$」

\textcircled{\small 1}

$a$が実数であることは，$a$が整数であるための\fbox{\, 5 \,}。\\
\textcircled{\small 1}\,必要条件である。\\
\textcircled{\small 2}\,十分条件である。\\
\textcircled{\small 3}\,必要十分条件である。\\
\textcircled{\small 4}\,必要条件でも十分条件でもない。

process
「$a$が実数である」$\Longleftarrow $「$a$が整数である」

\textcircled{\small 1}

$x$が実数のとき，「$1\leqq x<2$」であるための必要条件となり得るのは，
次の条件の中で番号が\fbox{\, 15 \,}番の条件である。\\
\textcircled{\small 1}\,$x>1$~~~
\textcircled{\small 2}\,$1<x\leqq 2$~~~
\textcircled{\small 3}\,$x\leqq 2$

process
「$1\leqq x<2$」$\Longrightarrow $「$x\leqq 2$」

\textcircled{\small 2}

次の空欄に当てはまるものを，下の
\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}
の中から1つ選び番号で答えなさい。
ただし，$x$は実数とする。\\
\hspace{10pt}
$1\leqq x\leqq 2$は$x>1$であるための
\fbox{\,18\,}。\\
\textcircled{\small 1}\,必要条件であるが，十分条件ではない。\\
\textcircled{\small 2}\,十分条件であるが，必要条件ではない。\\
\textcircled{\small 3}\,必要十分条件である。\\
\textcircled{\small 4}\,必要条件でも十分条件でもない。

process
$x>1$は$1\leqq x\leqq 2$を含まない。

\textcircled{\small 4}

次の空欄に当てはまるものを，下の
\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}
の中から1つ選び番号で答えなさい。\\
\hspace{10pt}
犬であることは動物であるための\fbox{\,17\,}。\\
\textcircled{\small 1}\,必要条件であるが，十分条件ではない。\\
\textcircled{\small 2}\,十分条件であるが，必要条件ではない。\\
\textcircled{\small 3}\,必要十分条件である。\\
\textcircled{\small 4}\,必要条件でも十分条件でもない。

process
「犬」$\Longrightarrow $「動物」

\textcircled{\small 2}

$a>0$であることは，$a^2>0$であるための
\fbox{\hspace{8pt} 5 \hspace{8pt}}。
ただし，文字は実数。\\
\textcircled{\small 1}\,必要十分条件である~~~
\textcircled{\small 2}\,必要条件である\\
\textcircled{\small 3}\,十分条件である\\
\textcircled{\small 4}\,必要条件でも十分条件でもない

process
「$a>0 \Longrightarrow  a^2>0$」\\
「$a^2>0 \Longrightarrow a>0$」は成立しない。例：$a=-3$

\textcircled{\small 3}

次の空欄にあてはまるのは，{\bf ア}.「十分」か{\bf イ}.「必要」かを記号で答えなさい。\\
$x=3$は$x^2=9$であるための\fbox{　　}条件である。

process
$x=3 \Longrightarrow x^2=9$

ア

次の空欄にあてはまるのは，{\bf ア}.「十分」か{\bf イ}.「必要」かを記号で答えなさい。\\
$x^2=1$は$x=-1$であるための\fbox{　　}条件である。

process
$x^2=1 \Longleftarrow  x=-1$

イ

次の$p$，$q$について，$p$が$q$であるための必要十分条件になっているものはどれか。
記号で答えなさい。\\
\textcircled{\small 1}\,$p:~~x=6$，~~~$q:~~5x=30$\\
\textcircled{\small 2}\,$p:~~x=1$，~~~$q:~~x^2=1$

process
\textcircled{\small 2}\,$p:~~x=1 \Longrightarrow q:~~x^2=1$であるが，\\
$p:~~x=1,\,-1~~~~\Longleftarrow q:~~x^2=1$

\textcircled{\small 1}

次の条件$p$，$q$について，$p$は$q$であるための\\
{\bf ア}\,「十分条件」，{\bf イ}\,「必要条件」，{\bf ウ}\,「必要十分条件」{\bf エ}\,「必要条件でも十分条件でもない」のいずれであるか，最も適するものを記号で答えよ。\\
$p\,:\,x^2-x-6=0~~~q\,:\,x=3$

process
$p\Leftrightarrow (x+2)(x-3)=0\Leftrightarrow x=-2,\,3$であるから$p \Leftarrow q$

イ

次の条件$p$，$q$について，$p$は$q$であるための\\
{\bf ア}\,「十分条件」，{\bf イ}\,「必要条件」，{\bf ウ}\,「必要十分条件」{\bf エ}\,「必要条件でも十分条件でもない」のいずれであるか，最も適するものを記号で答えよ。\\
$p\,:\,x+1<2x+1~~~q\,:\,x+1>0$

process
$p\Leftrightarrow 0<x,\,q\Rightarrow  ,-1<x$であるから$p \Rightarrow  q$

ア

次の条件$p$，$q$について，$p$は$q$であるための\\
{\bf ア}\,「十分条件」，{\bf イ}\,「必要条件」，{\bf ウ}\,「必要十分条件」{\bf エ}\,「必要条件でも十分条件でもない」のいずれであるか，最も適するものを記号で答えよ。\\
$p\,:\,x+y=0かつxy=0~~~q\,:\,x=y=0$

process
$p\Leftarrow q$は明らか。\\
$p \Rightarrow  q$を調べる。$xy=0$のとき$x=0$または$y=0$。\\
（i）$x=0$のとき$x+y=0$より$y=0$\\
（ii）$y=0$のとき$x+y=0$より$x=0$\\
したがって，$p \Rightarrow  q$が成り立つ。\\
以上により必要十分条件。\\
（別）
条件$p$の$x$，$y$は\\
$t^2-0\cdot t+0=0$すなわち，$t^2=0$の解。したがって$t=0$となるから$x=y=0$\\
$p\Rightarrow q$

ウ

次の空欄に当てはまるのは，「{\bf ア}:十分」か「{\bf イ}: 必要」か「{\bf ウ}:必要十分」かを記号で答えなさい。\\
$p:\,x=y$は$q:\,x^2=y^2$であるための\fbox{\,　　\,}条件である。

process
$q:\,x^2-y^2=0\Leftrightarrow (x-y)(x+y)=0 \therefore x=\pm y$\\
したがって，$p\Rightarrow q$。$p$は十分条件。

ア

次の空欄に当てはまるのは，「{\bf ア}:十分」か「{\bf イ}: 必要」か「{\bf ウ}:必要十分」かを記号で答えなさい。\\
$p:$「三角形で，3つの内角の大きさが等しい」ことは，
$q:$「正三角形である」ための\fbox{\,　　\,}条件である。

process
必要十分条件

ウ

次の空欄に当てはまるのは，「{\bf ア}:十分」か「{\bf イ}: 必要」か「{\bf ウ}:必要十分」かを記号で答えなさい。\\
$p:$「自然数$n$が偶数である」ことは，
$q:$「$n=4$である」ための\fbox{\,　　\,}条件である。

process
$p \Leftarrow q$

イ

$n$を自然数とする。$n$が3の倍数であることは，$n$が12の倍数であるための\fbox{\bf\,カ\,}。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,十分条件であるが，必要条件ではない\\
\textcircled{\small 2}\,必要条件であるが，十分条件ではない\\
\textcircled{\small 3}\,必要十分条件である\\
\textcircled{\small 4}\,必要条件でも十分条件でもない

process
「$n$が3の倍数である」$\cdots \{3,\,6,\,9,\,12\cdots\}$\\
$\Leftarrow  $「$n$が12の倍数である」$\cdots \{12,\,24,\,36\cdots\}$

\textcircled{\small 2}

下の空欄に当てはまるものを選択肢より選び，記号で答えなさい。\\
$x \leqq 1$かつ$y \leqq 3$であることは，$x+y\leqq 4$であるための\fbox{　　}。\\
\textcircled{\small 1}\,十分条件であるが，必要条件ではない\\
\textcircled{\small 2}\,必要条件であるが，十分条件ではない\\
\textcircled{\small 3}\,必要十分条件である\\
\textcircled{\small 4}\,必要条件でも十分条件でもない

process
「$x \leqq 1$かつ$y \leqq 3$」$\Rightarrow $「$x+y\leqq 4$」
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/104_syuugou/pic42.tex}
\end{center}

\textcircled{\small 1}

次の空欄に当てはまるのは，「{\bf ア}:十分」か「{\bf イ}: 必要」か「{\bf ウ}:必要十分」かを記号で答えなさい。\\
$p:\,x=1,\,y=1$は$q:\,xy=1$であるための\fbox{\,　　\,}条件である。

process
$p \Rightarrow q$は成立。\\
$xy=1\Leftrightarrow (x,\,y)=(1,\,1),\,(-1,\,-1)$より
$p \Leftarrow  q$は成り立たない。
したがって，$p\Rightarrow q$。$p$は十分条件。

ア

$x$，$y$を整数とするとき，
$x+y=3$は$x=2$かつ$y=1$
であるための\fbox{\bf\, カ \,}。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}
のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,十分条件であるが，必要条件ではない\\
\textcircled{\small 2}\,必要条件であるが，十分条件ではない\\
\textcircled{\small 3}\,必要十分条件である\\
\textcircled{\small 4}\,必要条件でも十分条件でもない

process
$x+y=3\Longleftarrow $「$x=2$かつ$y=1$」

\textcircled{\small 2}

$x\geqq 3$は$x\geqq 5$であるための\fbox{\hspace{8pt} 6 \hspace{8pt}}。\\
\textcircled{\small 1}\,十分条件であるが，必要条件ではない\\
\textcircled{\small 2}\,必要条件であるが，十分条件ではない\\
\textcircled{\small 3}\,必要十分条件である\\
\textcircled{\small 4}\,必要条件でも十分条件でもない

process
「$x\geqq 3$」$\Longleftarrow $「$x\geqq 5$」

\textcircled{\small 2}

正三角形であることは，二等辺三角形であるための\fbox{\hspace{8pt} 18 \hspace{8pt}} である。\\
\textcircled{\small 1}\,十分条件であるが，必要条件ではない\\
\textcircled{\small 2}\,必要条件であるが，十分条件ではない\\
\textcircled{\small 3}\,必要十分条件である\\
\textcircled{\small 4}\,必要条件でも十分条件でもない

\textcircled{\small 2}

四角形${\rm ABCD}$が長方形であることは，
四角形${\rm ABCD}$が正方形であるための
\fbox{\bf\, カ \,}。次の
\textcircled{\small 1}
$\sim$\textcircled{\small 4}
のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,
必要条件であるが十分条件でない\\\textcircled{\small 2}\,
十分条件であるが必要条件でない\\\textcircled{\small 3}\,
必要十分条件である\\\textcircled{\small 4}\,
必要条件でも十分条件でもない

\textcircled{\small 1}

自然数$m$，$n$について，$m$が偶数，$n$が奇数であることは，
$m+n$が奇数であるための\fbox{\hspace{8pt} 7 \hspace{8pt}}。\\
\textcircled{\small 1}\,必要条件であるが十分条件ではない\\
\textcircled{\small 2}\,十分条件であるが必要条件ではない\\
\textcircled{\small 3}\,必要十分条件である\\
\textcircled{\small 4}\,必要条件でも十分条件でもない

process
例：「$m=2$ぐ，$n=3$き」　$\Longrightarrow $「$m+n=5$き」\\
「$m=3$き，$n=2$ぐ」　$\Longrightarrow $「$m+n=5$き」\\

\textcircled{\small 2}

$x=1$は$x^2-3x+2=0$であるための\\
\textcircled{\small 1}\,必要条件~~~
\textcircled{\small 2}\,十分条件\\
\textcircled{\small 3}\,必要十分条件~~~
\textcircled{\small 4}\,いずれでもない

process
「$x^2-3x+2=0$」$\Longleftrightarrow$ 「$x=1,2$」であるから，\\
「$x=1$」$\Longrightarrow $「$x^2-3x+2=0$」

\textcircled{\small 2}










[Level8]
逆と対偶
命題
「$x=2 \Longrightarrow x^2=4$」の対偶をつくりなさい。

$x^2 \not= 4 \Longrightarrow x \not= 2$

命題
$n$が自然数のとき，命題\\
「$n$は6の倍数$\Longrightarrow n$は3の倍数」の対偶をつくりなさい。

$n$は3の倍数でない$\Longrightarrow n$は6の倍数でない

$n$は整数とする。\\
「$n^2$が奇数ならば，$n$は奇数である」\\
ことを対偶を利用して証明せよ。

対偶は\\
「$n$が偶数であるならば$n^2$は偶数」\\
$n$が偶数のとき，$n=2k$（$k$は整数）と表すことができる。
このとき，$n^2=(2k)^2=4k^2$は偶数。\\
よって与えらた命題は「真」

$\sqrt{3}$が無理数であることを用いて，$5-2\sqrt{3}$が無理数であることを背理法で証明せよ。

$5-2\sqrt{3}$が有理数であると仮定すると，\\
$5-2\sqrt{3}=p$（$p$は有理数）とおける。
変形して$\displaystyle\frac{5-p}{2}=\sqrt{3}$\\
左辺は有理数，右辺は無理数となり矛盾。したがって$5-2\sqrt{3}$が無理数。

$n$が自然数のとき，命題\\
「$n$は偶数$\Rightarrow n+1は奇数$」\\
の対偶をつくりなさい。

「$n+1$は偶数$\Rightarrow n$は奇数」






[EOF]
