% %以下の文をコメント文としたいのですが，現時点ではまだできません。
% 問題のタイトル
[Title]
301_場合の数

% 問題文
% 何も書かなければ，[Level1]等に書いたものがそのまま問題文となる。
[Problem]
次の問いに答えよ。
% フォントの大きさ。1〜10，またはTeXのコマンドを指定する。
% デフォルトは，5（\normalsize）
% 1は\tiny， 2は\scriptsize，3は\footnotesize，4は\small， 5は\normalsize
% 6は\large，7は\Large，     8は\LARGE，       9は\huge， 10は\Huge
[FontSize]
5

% プリアンブルに追加したいパッケージファイルを指定する。
[usepackage]
\usepackage{color,amssymb}

% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付ける場合は，　ON または1
% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付けない場合は，OFFまたは0
% 「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の下にある設定を
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　無視する場合に指定してください。
% 何も記述しなければ，「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　下にある設定が優先されます。
[displaystyle]
OFF


% Level1の問題を書く。以下Level7まで同様。
% 1行目には詳細設定のタイトルを書く。
% 2行目以降に問題とその解答を書く。
% 問題と解答，解答と問題は１行ずつあけて書く。
% 計算過程がある場合は，問題と解答の間に１行ずつ間隔をあけ，
% 最初にprocessという行を作り，その次の行から計算過程を書いていく。

[Level1]
順列（超基礎）
青・赤・白の色紙が1枚ずつあります。
これらを順に選べるとき，何通りの並べ方がありますか。

process
$3\, !=3 \times 2 \times 1=6$

6通り

青・赤・黄・白の色紙が1枚ずつあります。
これらを順に選べるとき，何通りの並べ方がありますか。

process
$4\, !=4 \times 3 \times 2 \times 1=24$

24通り

1，2，3，4の4枚のカードを並べて4けたの数を作るとき，何通りの数ができるか。

process
$4 \, != 4 \times 3 \times 2 \times 1=24$通り。

24通り

1，2，3，4，5の5枚のカードを並べて5けたの数を作るとき，何通りの数ができるか。

process
$5 \, != 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$通り。

120通り

リレーでA，B，C，Dの4人が走る順番は何通りあるか。

process
$4 \, !=4 \times 3 \times 2 \times 1=24$

24通り

リレーでA，B，C，D，Eの5人が走る順番は何通りあるか。

process
$5 \, !=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$

120通り

４冊の異なる教科書を一列に並べる方法は全部で何通りあるか。

process
人は区別できる。\\
$4 \, !=4 \times 3 \times 2 \times 1=24$通り

24通り

５冊の異なる教科書を一列に並べる方法は全部で何通りあるか。

process
人は区別できる。\\
$5 \, !=5\times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$通り

120通り

異なる５冊の本を５人の子どもに１冊ずつあげたい。このとき，本のあげ方は全部で何通りか。

process
$5 \, !=5\times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$通り

120通り

6人を1列に並べるときに，並べ方は何通りあるか。

process
$6 \, != 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=720$通り。

720通り

7人を1列に並べるときに，並べ方は何通りあるか。

process
$7 \, != 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=5040$通り。

5040通り

男子２人，女子３人の合計５人が一列に並ぶとき，その並び方は全部で何通りあるか。

process
人は区別できる。\\
$5 \, !=5\times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$通り

120通り

男子３人，女子４人の合計７人が一列に並ぶとき，その並び方は全部で何通りあるか。

process
人は区別できる。\\
$7 \, !=7\times 6\times 5\times 4 \times 3 \times 2 \times 1=5040$通り

5040通り

1，2，3，4の4枚のカードから2枚を並べて2けたの数を作るとき，何通りの数ができるか。

process
$ {}_4 \rm{P} _2 =4 \times 3 =12$

12通り

1，2，3，4の4枚のカードから3枚を並べて3けたの数を作るとき，何通りの数ができるか。

process
$ {}_4 \rm{P} _3 =4 \times 3 \times 2 =24$

24通り

ここに2，3，4，5と書かれたカードが1枚ずつあります。
ここから3枚使って3桁の数字を作りたい。
何通りの数字ができるでしょうか。

process
$ {}_4 \rm{P} _3 =4 \times 3 \times 2=24$

24通り

3，5，7，9の4枚のカードから異なる2枚を取り出して，2桁の整数をつくるとき全部で何通りできますか。

process
$ {}_4 \rm{P} _2 =4 \times 3 =12 $

12通り

１$\sim$５の数字を書いたカードがそれぞれ１枚ずつある。これを使ってできる３桁の数は，全部で何通りか。

process
$ {}_{5} \rm{P} _3 =5\times 4 \times 3 =60$

60通り

ここに，５枚の色の異なる旗がある。このうちの３枚の旗を左右一列に並べて信号を作るとき，何通りの信号ができるか。

process
$ {}_{5} \rm{P} _3 =5 \times 4 \times 3 =60$

60通り

A，B，C，D，Eの5個から異なる3個を選んで並べる並べ方は何通りあるか。

process
$ {}_5 \rm{P} _3 =5 \times 4 \times 3 =60$

60通り

両親と子ども４人の６人家族がいる。この家族が旅行に行って，記念写真をとろうとしている。３人並んで写真をとるとき，その並び方は何通りか。

process
$ {}_{6} \rm{P} _3 =6\times 5 \times 4 =120$

120通り

７人から，議長，副議長，書記を各１名（兼任はなし）ずつ選ぶ方法は何通りあるか。

process
${}_7 \rm{P} _3 =7\times 6 \times 5 =210通り$。\\

210通り

８個の整数1，2，3，4，5，6，7，8から異なる３個を取り出してできる３桁の整数は何個あるか。

process
${}_8 \rm{P} _3 =8 \times 7\times 6 =336通り$。\\

336通り

10個の作品の中から3作品を選んで，文部科学大臣賞，東京都知事賞，大会委員長賞にするとき，
その決め方は何通りあるか。

process
$ {}_{10} \rm{P} _3 =10 \times 9 \times 8 =720$

720通り

１クラス40人の中から，議長，副議長，書記の合計３人を選びたい。その選び方は全部で何通りか。

process
$ {}_{40} \rm{P} _3 =40\times 39 \times 38 =59280$

59280通り

男子４人，女子３人が１列に並ぶとき，男子と女子が交互に並ぶ並び方は何通りあるか。

process
男子をM，女子をWで表すと，男子と女子の位置は「MWMWMWMW」の１通りである。\\
$4 \, !\times 3\, != (4 \times 3 \times 2 \times 1)\times(3 \times 2 \times 1)=144$通り。

144通り

0，2，4のカードで3桁の数は何通りできますか。

process
3桁目は2または4。2桁目と1桁目は，残りの2つの数字を並べればよいから，\\
$2 \times 2\,!=2 \times 2 \times 1=4通り$

4通り

0，1，2，3のカードで4桁の数は何通りできますか。

process
4桁目は1または2または3。3桁目と2桁目と1桁目は，残りの3つの数字を並べればよいから，\\
$3 \times 3\,!=3 \times 3 \times 2 \times 1=18通り$

18通り






[Level2]
円順列，重複組合せ
6人が円形のテーブルに着席するとき，座り方は何通りあるか。

process
1人を固定すると，残りの5人を並べればよい。
$(6-1)\,!=5\,!=120$通り

120通り

色の違う4つの玉を，A，B，Cと記された箱のいずれかに入れるとき，
空き箱があってもよいとして，入れ方は何通りあるか。

process
4つの玉を「あ，い，う，え」とする。
このそれぞれの玉に対して，A，B，Cの3通りの入れ方があるので，
$3^4=81$通り

81通り








[Level3]
順列（高校基礎）
1，3，5，7の4枚のカードを1度だけ使って4桁の整数をつくるとき，5の倍数は全部で何通りありますか。

process
1桁目が5のとき，残りの数字1，3，7を4桁目，3桁目，2桁目に並べればよいから，\\
$ {}_3 \rm{P} _3 =3 \times 2 \times 1 =6 $

6通り

1，2，3，4，5の中の異なる3個の数字を使ってできる3桁の偶数は何個あるか。

process
1の位は，2，4のどちらかだから2通り。
次の百の位と十の位には条件はないので，$ {}_4 \rm{P} _2$通り。
したがって，
$2 \times {}_4 \rm{P} _2 =2 \times 4 \times 3 =24$

24通り

男子3人，女子3人を1列に並べるとき，両端が男子であるような並べ方は何通りあるか。

process
3人の男子から2人を選んで両端に並べる並べ方は，
${}_3 \rm{P} _2 =3 \times 2 =6通り$。\\
次に残りの4人の並べ方は，\\
${}_4 \rm{P} _4 =4 \times 3 \times 2 \times 1=24通り$。\\
よって，求める並べ方は
$6 \times 24=144$通り

144通り

男子4人，女子3人を1列に並べるとき，3人の女子が隣り合うような並び方は何通りありますか。

process
女子3人の並べ方は
${}_3 \rm{P} _3 =3 \times 2 \times 1=6通り$。\\
この3人の女子のセットと男子4人の計5人の並べ方は\\
${}_5 \rm{P} _5 =5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120通り$。\\
よって，求める並べ方は，$6 \times 120=720$通り

720通り

男子３人，女子２人を1列に並べるとき，２人の女子が隣り合うような並び方は何通りありますか。

process
女子２人の並べ方は
$2\,! = 2 \times 1=2通り$。\\
この２人の女子のセットと男子３人の計４人の並べ方は\\
$4\,!=4\times 3\times 2\times 1 =24通り$。\\
よって，求める並べ方は，$2 \times 24=48$通り

48通り

男子４人，女子２人を1列に並べるとき，２人の女子が隣り合うような並び方は何通りありますか。

process
女子２人の並べ方は
$2\,! = 2 \times 1=2通り$。\\
この２人の女子のセットと男子４人の計５人の並べ方は\\
$5\,!=5\times 4\times 3\times 2\times 1 =120通り$。\\
よって，求める並べ方は，$2 \times 120=240$通り

240通り

ここに，A，B，C，D，Eの５人の人がいる。この中から２人の人だけが一列に並ぶ方法は，全部で何通りあるか。

process
$ {}_{5} \rm{P} _2 =5\times 4 =20$

20通り

400mリレーの登録は補欠を含めて５人である。この中からレレ―のメンバー４人が走る順序も含めて決める方法は何通りあるか。

process
$ {}_{5} \rm{P} _4 =5\times 4 \times 3 \times 2 =120$

120通り

男子５人，女子４人が一列に並ぶとき，両端が女子である並び方は何通りあるか。

process
４人の女子から2人を選んで両端に並べる並べ方は，
${}_4 \rm{P} _2 =4 \times 3 =12通り$。\\
次に残りの７人の並べ方は，\\
$7 \, != 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=5040$通り。\\
よって，求める並べ方は
$12 \times 5040=60480$通り

60480通り

男子５人，女子４人が一列に並ぶとき，女子が４人まとまって並ぶ並び方は何通りあるか。

process
女子４人の並べ方は，\\
$4 \, != 4 \times 3 \times 2 \times 1=24$通り。\\
このそれぞれに対して，男子５人と女子ひとかたまりの並べ方は\\
$6 \, != 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=720$通り。\\
よって，$24\times 720=17280$通り

17280通り

両親と子ども３人がいる。この５人が一列に並ぶとき，両親が両端にくる並べ方は何通りあるか。

process
両親を両端に並べる並べ方は，
$2 \, != 2\times 1 =2通り$。\\
このそれぞれに対して，子ども３人の並べ方は\\
$3 \, !=3 \times 2 \times 1=6$通り。\\
よって，求める並べ方は
$2 \times 6=12$通り

12通り

両親と子ども３人がいる。この５人が一列に並ぶとき，両親が隣り合う並べ方は何通りあるか。

process
両親を両端に並べる並べ方は，
$2 \, != 2\times 1 =2通り$。\\
このそれぞれに対して，子ども３人と両親ひとかたまりの並べ方は\\
$4 \, !=4\times  3 \times 2 \times 1=24$通り。\\
よって，求める並べ方は
$2 \times 24=48$通り

48通り

男子４人，女子３人が一列に並ぶとき，女子３人が必ず隣り合って並ぶときの並べ方は何通りあるか。

process
女子３人の並べ方は，
$3\, !=3\times 2\times 1 =6通り$。\\
このそれぞれに対して，男子４人と女子ひとかたまりの並べ方は\\
$5 \, !=5\times 4\times  3 \times 2 \times 1=120$通り。\\
よって，求める並べ方は
$6 \times 120=720$通り

720通り

男子４人，女子３人が一列に並ぶとき，男女が交互に並ぶときの並べ方は何通りあるか。

process
男子をM，女子をWで表すと，男女の位置は「MWMWMWM」の一通りである。
よって，求める並べ方は
$4\,!\times 3\,!=(4\times 3\times 2\times 1)\times (3\times 2\times 1)=144$通り

144通り

男子３人，女子３人が一列に並ぶとき，男女が交互に並ぶ並び方は何通りあるか。

process
男子をM，女子をWで表すと，題意の男女の位置は\\
「MWMWMW」と「WMWMWM」の２通り。
よって，求める並べ方は，\\
$3\,! \times 3\,! \times 2=72$通り

72通り

男子４人，女子４人が一列に並ぶとき，男女が交互に並ぶ並び方は何通りあるか。

process
男子をM，女子をWで表すと，題意の男女の位置は\\
「MWMWMWMW」と「WMWMWMWM」の２通り。
よって，求める並べ方は，\\
$4\,! \times 4\,! \times 2=1152$通り

1152通り

1，2，3，4，5の５個の数字を使って，３桁の数を作るとき，偶数は何通りあるか。ただし，１つの数字は１回しか使えないものとする。

process
１の位は「2または4」の２通り。このそれぞれに対して，残りの４個の数字から２個を選び百，十の位置に並べればよいから${}_4 \rm{P} _2 =4 \times 3 =12通り$。よって，
$2\times 12=24$通り

24通り

1，2，3，4，5の５個の数字を使って，３桁の数を作るとき，５の倍数は何通りあるか。ただし，１つの数字は１回しか使えないものとする。

process
１の位は「５」の１通り。この１通りに対して，残りの４個の数字から２個を選び百，十の位置に並べればよいから${}_4 \rm{P} _2 =4 \times 3 =12通り$。よって，
$1\times 12=12$通り

12通り

５個の文字$a$，$b$，$c$，$d$，$e$を一列に並べるとき，$a$，$b$が両端にくるような並べ方は何通りあるか。

process
（例）$a \bigcirc\bigcirc\bigcirc b$\\
$a$，$b$の並べ方は$2\,!$通り。間の文字の並べ方は$3\,!$通り。\\
$2\,!\times 3\,!=(2\times 1)\times (3\times 2\times 1)=12$通り

12通り

男3人，女4人合わせて7人を1列に並べて，
両端が男である場合の並べ方は何通りあるか。

process
3人の男子から2人を選んで両端に並べる並べ方は，
${}_3 \rm{P} _2 =3 \times 2 =6通り$。\\
次に残りの5人の並べ方は，\\
${}_5 \rm{P} _5 =5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120通り$。\\
よって，求める並べ方は
$6 \times 120=720$通り

720通り

1から5までの5枚のカードを全部使って作られる5桁の整数のうち，
3と5が隣り合うものは何個あるか。

process
3と5の並べ方は2通り。
3と5をセットで1つとして，4枚のカードの並べ方は$4\,!=24$通り。
よって，$2\times 4\,!=2\times 24=48$個

48個

1，2，3，4の4枚のカードを並べて4けたの数を作るとき，4000以上の数は何通りできるか。

process
4けた目の4は固定しておいて，残りの1，2，3の3枚のカードを並べればよいから，\\
$ 3 \, !=3 \times 2 \times 1 =6$

6通り

0，1，2，3，4の5枚のカードで3桁の数を作るとき，320は小さい方から何番目か。

process
3桁目が1のとき，2桁目，1桁目は残りの4つの数字から2つを選んで並べればよいから，
$ {}_4 \rm{P} _2 =4 \times 3 =12$通り。
3桁目が2のときも同様にして$ {}_4 \rm{P} _2 =4 \times 3 =12$通り。
3桁目が3のときは小さい方から301，302，304，310，312，314，320と並ぶから，\\
$12+12+7=31$番目。

31番目

1，2，3，4の4枚のカードから2枚を並べて2けたの数を作るとき，3の倍数は何通りできるか。

process
3の倍数は「各桁の数字の和が３の倍数」だから，\\
12，21，24，42の4通り。

4通り

1，2，3，4の4枚のカードがある。
この4枚のカードを横に1列に並べて4けたの整数をつくるとき，
3100より大きい数になる並べ方は全部で何通りあるか。

process
4けた目が3のとき，残りのカード1，2，4を並べればよいから，$3 \, !=3 \times 2 \times 1=6$通り。\\
4けた目が4のとき，残りのカード1，2，3を並べればよいから，$3 \, !=3 \times 2 \times 1=6$通り。\\
合計12通り

12通り

0〜3までの数字を書いたカードが1枚ずつある。この4枚のカードを使って4桁の整数をつくるとき，
2100より大きい数になる並べ方は全部で何通りあるか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/301_場合の数/pic13.tex}
\end{center}

10通り

0，1，2，3，4，5の中の異なる3個の数字を使って3桁の数をつくるとき，5の倍数は何個できるか。

process
一の位が0のとき，百の位と十の位には1から5までの5個から2個を選んで並べればよいので，
$ {}_5 \rm{P} _2=5 \times 4=20$通り。\\
一の位が5のとき，百の位は1，2，3，4の4通り。
次に，例えば百の位が1ならば，十の位は残りの0，2，3，4の4通り。
したがって，$4 \times 4=16$通り。\\
よって，求める3桁の5の倍数は，$20+16=36$個。

36個

0，1，2，3，4，5から異なる4個の数字を選んでつくるとき，4桁の偶数は何個できるか。

process
一の位が0のとき，千，百，十の位には1から5までの5個から3個を選んで並べればよいので，
$ {}_5 \rm{P} _3=5 \times 4 \times 3=60$通り。\\
一の位が2のとき，千の位は1，3，4，5の4通り。
次に，例えば千の位が1ならば，百，十の位は残りの0，3，4，5から2個を選んで並べればよいので，
$4 \times 3 =12$通り。したがって，$4 \times 12=48$通り。\\
一の位が4のときも，同様にして48通り。
よって，求める場合の数は，$60+48+48=156$個。

156個

1，2，3，4，5，6から異なる4個の数字を選んで4桁の整数をつくる。
2300以上の数はいくつできるか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/301_場合の数/pic14.tex}
\end{center}
千の位の数が3以上のときは必ず2300以上になるので，\\
$4 \times 5 \times 4 \times 3=240$個。\\
千の位の数が2のときは百の位が3以上なら2300以上になるので，\\
$1 \times 4 \times 4 \times 3=48$個。\\
よって，求める総数は，$240+48=288$個。

288個

男子４人，女子３人が一列に並ぶとき，女子が隣り合わないように並ぶときの並べ方は何通りあるか。

process
男子をM，女子が入るすき間を$|$で表すと，「${\rm |\,M\,|\,M\,|\,M\,|\,M\,|}$」。
男子４人を並べておき，すき間５個から３個を選び女子を並べればよい。
よって，求める並べ方は\\
$4\,!\times {}_5 \rm{P} _3 =(4\times 3\times 2\times 1)\times (5\times 4\times 3)=24\times 60=1440$通り

1440通り

1，2，3，4，5の５個の数字を使って，３桁の数を作るとき，両端の数が奇数であるのは何通りあるか。ただし，１つの数字は１回しか使えないものとする。

process
「き□き」の位置に数字を並べればよい。
「1，3，5」の３個の数字から２個を選んで「き」の位置に並べ，残りの３個の数字から１個を選び「□」の位置に置けばよいから，
${}_3 \rm{P} _2 \times {}_3 \rm{P} _1=(3 \times 2\times 1)\times 3 =18通り$。

18通り

5個の数字1，2，3，4，5のすべてを使ってできる5桁の奇数はいくつあるか。

process
1桁目に「1，3，5」から1つ選ぶ。
次に，例えば1桁目に「1」を使った場合，残りの「2，3，4，5」を2桁$\sim$5桁目に並べればよい。\\
$3\times 4 !=3\times 24=72$

72個

A，B，Cの3人でじゃんけんをするとき，あいこになる場合は何通りあるか求めなさい。

process
A，B，Cが「グー，グー，グー」などと同じ場合は3通り。
A，B，Cが「グー，チョキ，パー」などと全て異なる場合は$3!=6$通り。
合計9通り

9通り

男子4人，女子2人を1列に並べるとき，女子2人が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

process
$| \bigcirc | \bigcirc | \bigcirc | \bigcirc |$\\
男子4人を並べておき，5か所から2か所を選んで女子2人を並べればよいから，\\
$4\,! \times {}_5 \mathrm{P}_2=12\times 40=480$

480通り






[Level4]
組合せ（超基礎）
自動販売機で缶ジュースを買いにきました。
そこには，グレープフルーツ，オレンジ，アップル，ブドウ，マスカット，マンゴの6種類の飲み物がある。
哲也君はこの中から2種類を選ぶ。何通りの選び方があるか。

process
$ {}_6 \rm{C} _2 =\displaystyle \frac{6 \times 5}{2 \times 1} =15$通り。

15通り

自動販売機で缶ジュースを買いにきました。
そこには，グレープフルーツ，オレンジ，アップル，ブドウ，マスカット，マンゴの6種類の飲み物があります。
ゆう子さんは，この中の3種類を買おうと思っています。
飲み方の選び方は何通りありますか。

process
$ {}_6 \rm{C} _3 =\displaystyle \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} =20$通り。

20通り

円周上にア，イ，ウ，エ，オの5つの点がある。これらを頂点とする三角形はいくつあるか。

process
$ {}_5 \rm{C} _3 =\displaystyle \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} =10$通り。

10通り

男子が3人，女子が5人いる。
掃除当番を3人選ぶとすると，何通りの方法がありますか。

process
人間は区別できるから，\\
$ {}_8 \rm{C} _3 =\displaystyle \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} =56$通り。

56通り

異なる5個のものA，B，C，D，Eから3個とる組合せは何通りあるか。

process
$ {}_5 \rm{C} _3 =\displaystyle \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} =10$通り。

10通り

5人の男子と6人の女子の中から3人を選ぶとき，男子も女子も含まれる組は何組できるか。

process
男子2人，女子1人となる組合せの数は，\\
$ {}_5 \rm{C} _2 \times {}_6 \rm{C} _1=\displaystyle \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times 6=60$通り。\\
男子1人，女子2人となる組合せの数は，\\
$ {}_5 \rm{C} _1 \times {}_6 \rm{C} _2=5 \times \displaystyle \frac{6 \times 5}{2 \times 1} =75$通り。\\
よって，$60+75=135$組\\
（別解）
「男子も女子も含まれる」の反対は，「すべて男子」または「すべて女子」であるから，\\
$ {}_{11} \rm{C} _3-\left({}_5 \rm{C} _3 +{}_6 \rm{C} _3\right)=165-(10+20)=135$組

135組

男子5人，女子4人の中から4人の委員を選ぶとき，
女子が少なくとも1人入っている選び方は何通りか。

process
「女子が1人以上」の反対は「女子が0人」，すなわち「すべて男子」であるから，\\
$ {}_9 \rm{C} _4-{}_5 \rm{C} _4=
\displaystyle\frac{9\times 8\times 7\times 6}{4\times 3\times 2\times 1}
-\displaystyle\frac{5\times 4\times 3\times 2}{4\times 3\times 2\times 1}=121$

121通り

図のように5本の平行線と他の3本の平行線が交わっています。
これらの直線によっていくつの平行四辺形ができるか。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/301_場合の数/pic15.tex}
\end{center}

process
$ {}_5 \rm{C} _2\times {}_3 \rm{C} _2=
\displaystyle\frac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}
\times \displaystyle\frac{3\times 2 \times 1}{3\times 2\times 1}=10\times 3=30$

30個

図において，AからBに至る最短距離は何通りあるか。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/301_場合の数/pic16.tex}
\end{center}

process
（例）ヨヨヨヨタタタタ\\
$ {}_8 \rm{C} _4 =\displaystyle \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} =70$通り。

70通り

図において，AからBに至る最短距離は何通りあるか。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/301_場合の数/pic17.tex}
\end{center}

process
（例）ヨヨタタヨヨタタ\\
$ {}_4 \rm{C} _2 \times {}_4 \rm{C} _2
=\displaystyle \frac{4 \times 3 }{2 \times 1}\times \displaystyle \frac{4 \times 3 }{2 \times 1} =36$通り。

36通り

男子6人，女子5人の中から，
男子2人，女子2人を選ぶとき，選び方は何通りあるか。

process
$ {}_6 \rm{C} _2 \times {}_5 \rm{C} _2 
=\displaystyle \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times  \displaystyle \frac{5 \times 4}{2 \times 1} =150$通り。

150通り








[Level5]
組合せ（基礎）
白玉2個，赤玉1個，青玉3個の中から，3個の玉を選び出す場合の数は何通りあるか。

process
白をW，赤をR，青をBで表す。\\
(W, R ,B)=\\
\  (2,1,0),(0.1,2),\\
\  (1,0,2),(2,0,1),\\
\  (0,0,2),(1,1,1)

合計6通り

1から40までの整数の中から，1つの数を選ぶとき，それが5または13の倍数であるものは，
全部で何通りありますか。

process
5の倍数は$40 \div 5=8余り0$より，8通り。\\
13の倍数は$40 \div 13=3余り1$より，3通り。\\
5かつ13の倍数，すなわち78の倍数は0。\\
よって，求めるものは，\\
$8+3=11通り$

11通り

10円玉4枚に50円玉，100円玉を組み合わせて590円にするのには何通りありますか。
ただし，50円玉，100円玉はそれぞれ少なくとも1枚は用いるものとする。

process
50円玉，100円玉を組み合わせて550円にする場合の数を考えればよい。\\
$（50円玉，100円玉）=\\$
$(1,5),(3,4),(5,3),(7,2),(9,1)$。合計5通り

5通り

1から9までの数字から異なる2個の数字を選ぶとき，
その2つの数字の和が偶数になる場合は何通りか。

process
和が偶数になるのは，その2つの数が「偶数同士」または「奇数同士」のとき。
したがって，
奇数1，3，5，7，9から2個選ぶか，偶数2，4，6，8から2個選べばよい。\\
$ {}_5 \rm{C} _2+ {}_4 \rm{C} _2
=\displaystyle\frac{5 \times 4}{2\times 1}\times \displaystyle\frac{4 \times 3}{2\times 1}=16$

16通り

図において，AからBに至る最短距離は何通りあるか。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/301_場合の数/pic18.tex}
\end{center}

process
すべての経路は，
$ {}_6 \rm{C} _3 =\displaystyle \frac{6 \times 5 \times 4 }{3 \times 2 \times 1}=20$通り。
また，×の所を通る経路は，\\
$ {}_3 \rm{C} _2 \times 1\times {}_2 \rm{C} _1= 3\times 1 \times 2=6$通り。\\
よって，求める経路は，$20-6=14$通り

14通り

図において，AからBに至る最短距離は何通りあるか。
ただし，2つの地点P，Qは必ず通るとする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/301_場合の数/pic19.tex}
\end{center}

process
$ {}_4 \rm{C} _2 \times {}_3 \rm{C} _2 \times {}_4 \rm{C} _2 =6 \times 3 \times 6=108$通り。

108通り

図において，AからBに至る最短距離は何通りあるか。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/301_場合の数/pic20.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/301_場合の数/pic20p.tex}
\end{center}
すべての経路の数から点Pを通る経路の数を引けばよい。\\
$ {}_{10} \rm{C} _5 - {}_5 \rm{C} _2 \times {}_5 \rm{C} _2=252-100=152$通り

152通り

9人の生徒を3人ずつ3組に分ける方法は何通りあるか。

process
9人の生徒を3人ずつA，B，Cの組に分ける方法は
${}_9 \mathrm{C}_3 \times {}_6 \mathrm{C}_3$である。
A，B，Cの並べ方は$3\,!$であるから，\\
$\displaystyle\frac{{}_9 \mathrm{C}_3 \times {}_6 \mathrm{C}_3}{3\,!}=280$通り

280通り




[Level6]
約数の数
144の正の約数は全部でいくつあるか。

process
$144=2^4 \cdot 3^2$\\
よって，144の約数は，\\
$2^x \cdot 3^y\,(0\leqq x \leqq 4,\,0\leqq y \leqq 2)$\\
で表されるので，\\
$(4+1)\times (2+1)=15$通り

15通り

200の正の約数は全部でいくつあるか。

process
$200=2^3 \cdot 5^2$\\
よって，200の約数は，\\
$2^x \cdot 3^y\,(0\leqq x \leqq 3,\,0\leqq y \leqq 2)$\\
で表されるので，\\
$(3+1)\times (2+1)=12$通り

12通り

144の正の約数の総和はいくつか。

process
$144=2^4 \cdot 3^2$\\
よって，144の約数は，\\
$2^x \cdot 3^y\,(0\leqq x \leqq 4,\,0\leqq y \leqq 2)$\\
で表されるので，\\
$(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)\times(3^0+3^1+3^2)=31\times 13=403$

403






[Level7]



[EOF]
