% %以下の文をコメント文としたいのですが，現時点ではまだできません。
% 問題のタイトル
[Title]
206_旅人算，通過算

% 問題文
% 何も書かなければ，[Level1]等に書いたものがそのまま問題文となる。
[Problem]
次の問いに答えよ。
% フォントの大きさ。1〜10，またはTeXのコマンドを指定する。
% デフォルトは，5（\normalsize）
% 1は\tiny， 2は\scriptsize，3は\footnotesize，4は\small， 5は\normalsize
% 6は\large，7は\Large，     8は\LARGE，       9は\huge， 10は\Huge
[FontSize]
5

% プリアンブルに追加したいパッケージファイルを指定する。
[usepackage]
\usepackage{color}

% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付ける場合は，　ON または1
% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付けない場合は，OFFまたは0
% 「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の下にある設定を
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　無視する場合に指定してください。
% 何も記述しなければ，「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　下にある設定が優先されます。
[displaystyle]
OFF


% Level1の問題を書く。以下Level7まで同様。
% 1行目には詳細設定のタイトルを書く。
% 2行目以降に問題とその解答を書く。
% 問題と解答，解答と問題は１行ずつあけて書く。
% 計算過程がある場合は，問題と解答の間に１行ずつ間隔をあけ，
% 最初にprocessという行を作り，その次の行から計算過程を書いていく。


[Level1]
反対方向の旅人算
同じ地点からAとBがそれぞれ反対方向に出発します。
Aの速さは毎秒2m，Bの速さは毎秒3mとすると，40秒後には2人の道のりはどれだけ離れていますか。

process

1s間に$(2+3)$m離れるから，$(2+3)\times 40=200$m

$200$m

山の学校と山の駅は$600$m離れています。
A君は山の学校から山の駅へ毎秒$2$mで，B君は山の駅から山の学校へ毎秒$3$mで向かいます。
$2$人は何秒後に出会いますか。

process
$600 \div (2+3)=120$s

$120$秒

AとBの家は2700m離れています。AはBの家へ，BはAの家へ向かって同時に出発したところ，
$20$分後に出会いました。
Aの速さを毎分$60$mとすると，Bの速さは毎分何mになりますか。

process
$\displaystyle \frac{2700}{20}=60+x$，$x=75$

毎分$75$m

周囲600mの池の周りを，AとBが同じ地点から同時に反対方向に歩き始めた。
Aは毎分50m，Bは毎分70mの速さで歩くとすると，
2人が出会うのは出発してから何分後か。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic121.tex}
\end{center}
$\displaystyle\frac{600}{50+70}=\displaystyle\frac{600}{120}=5分$

5分

1200m離れた2人がそれぞれ毎分60mと毎分40mの速さで近づくとき、
2人は何分後に出会うか。

process
2人は毎分$60m+40m=100m$ずつ近づいていくので、
$\displaystyle \frac{1200m}{100m/分}=12分$

12分後

1.2km離れたそれぞれの家からAさんは毎分50m，B君は毎分70mの速さでお互いの家に向かって歩いた。
2人が出会うのは，B君の家から何mの地点か求めなさい。

process
B君からみると、A君は
$50-(-70)=120$m/分で近づく。
2人が出会うのは、\\
$\displaystyle\frac{\rm 1200 m}{\rm 120 m/分}=10$分\\
$70\times 10=700$m
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic132.tex}
\end{center}

700m

Aは時速6km，Bは時速4kmで進みます。
最初AとBは（ ア ）km離れた地点にいました。
AとBは向かい合って進んだので，3時間でAとBは出会いました。

process
BからAを見ると相対速度$6-(-4)=10$km/時で近づく。
求める距離は$10\times 3=30$km

30km

周囲20kmの池のまわりを，時速6kmのAと時速4kmのBがまわります。
2人が同時に同じところを出発し，反対方向にまわります。
2人が出会うのは何時間後ですか。

process
直線になおすと20kmを下のように進む。\\
A$\longrightarrow$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$\longleftarrow$ B\\
---------------------------------------------------------\\
　\\
BからAをみると相対速度$6-(-4)=10$km/時で近づく。求める時間は
$20\div 10=2$時間

2時間










[Level2]
同方向の旅人算
ある地点からAとBが同じ方向に，Aは毎秒$3$m，Bは毎秒$2$mの速さで出発します。
$40$秒後には，$2$人の道のりはどれだけ離れていますか。

process
BからみるとAは毎秒$(3-2)$mの速さだから，\\
$(3-2) \times 40=40$m

$40$m

AとBは，同じ道を通って山を登っています。
$2$人の速さはAが分速$20$m，Bが分速$45$mで，いまAはBのちょうど$500$m前を歩いているところです。
Bは，あと何分でAに追いつきますか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic101.tex}
\end{center}
AからみるとBは分速$(45-20)$mで近づくから，\\
$500 \div 25=20$分

$20$分後

弟は分速$45$mの速さで出発しました。
弟が出発してから$20$分後に兄が弟の忘れ物に気付き，弟を追いかけ，（弟を追いかけてから）$30$分後に弟に追いつきました。
兄の速さは分速何mですか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic102.tex}
\end{center}
兄の速さを$x\,m/分$とする。
弟からみると兄は\\
$(x-45)\,m/分$で近づくから\\
$(45 \times 20)\div 30=x-45$，$x=75$

$75\,$m/分

周囲が$800$mある池の周りを，兄と弟が，同時に同じ場所を出発し，同じ方向に進みます。
10分後，兄は1周遅れの弟に追いつきました。
兄の速さを毎分$250$mとすると，弟の速さは毎分何mですか。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic103.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic104.tex}
\end{center}
弟の速さを毎分$x$\,mとする。弟から見ると兄は毎分$(250-x)$mで近づく。
$250-x=\displaystyle \frac{800}{10}$

毎分$170$m

周囲600mの池の周りを，AとBが同じ地点から同時に同一方向に歩き始めた。
Aは毎分50m，Bは毎分70mの速さで歩くとすると，
2人が再び出会うのは出発してから何分後か。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic122.tex}
\end{center}
AからみるとBは(70-50)=20m/分の相対的な速さで歩いている。
したがって，\\
$\displaystyle \frac{600}{20}=30分$

30分

100m先に毎分60mで進むAを毎分100mでBが追いかける。
何分後に追いつくか。

process
AからみるとBは$100-60=40$m/分で近づくから、\\
$\displaystyle \frac{100m}{40m/分}=2.5$分

2.5分

妹が毎分$70m$の速さで歩いて家を出た。
妹が家を出てから$4分後$に，父が自転車で毎分$210m$の速さで妹を追いかけた。
父が妹に追いつくのは，父が家を出てから何分後か？

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic02.tex}
\end{center}
妹は家を出てから$4$分後，$70(m/分) \times 4(分)=280(m)$進んでいる。
この距離を，妹からみた父の相対速度$210-70=140(m/分)$で追いかけると，
$280(m) \div 140(m/分)=2(分)$ \\
（別）父が家を出てから，妹に追いつくまでの時間を$t$[分]とすると，\\
$210t=70(4+t)　t=\displaystyle \frac{280}{140}=2(分)$

$2(分)$

妹が毎分$70m$の速さで歩いて家を出た。
妹が家を出てから$6$分後に，父が自転車で毎分$210m$の速さで妹を追いかけた。
父が妹に追いつくのは，父が家を出てから何分後か？

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic01.tex}
\end{center}
妹は家を出てから$6$分後，$70(m/分) \times 6(分)=420(m)$進んでいる。
この距離を，妹からみた父の相対速度$210-70=140(m/分)$で追いかけると，
$420(m) \div 140(m/分)=3(分)$ \\
（別）父が家を出てから，妹に追いつくまでの時間を$t$[分]とすると，\\
$210t=70(6+t)　t=\displaystyle \frac{420}{140}=3(分)$

$3$(分)

妹が毎分$70m$の速さで歩いて家を出た。
妹が家を出てから$8$分後に，父が自転車で毎分$210m$の速さで妹を追いかけた。
父が妹に追いつくのは，父が家を出てから何分後か？

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic03.tex}
\end{center}
妹は家を出てから$8$分後，$70(m/分) \times 8(分)=560(m)$進んでいる。
この距離を，妹からみた父の相対速度$210-70=140(m/分)$で追いかけると，
$560(m) \div 140(m/分)=4(分)$ \\
（別）父が家を出てから，妹に追いつくまでの時間を$t$[分]とすると，\\
$210t=70(8+t)　t=\displaystyle \frac{560}{140}=4(分)$

$4$(分)

Aは時速6km，Bは時速4kmで進む。
最初AとBは5km離れた地点にいました。
AとBが同じ方向に進むとき，Aは何時間でBに追いつきますか。

process
BからAを見ると相対速度$6-4=2$km/時で近づくから，求める時間は\\
$5\div 2=2.5$時間

2.5時間












[Level3]
折り返し旅人算
$9km$離れた道の駅と山の駅を往復するマラソン大会があります。
Aは分速150m，Bは分速100mで同時に道の駅を出発しました。
山の駅を折り返してきたAにBが出会うのは，2人が出発してから何分後ですか。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic105.tex}
\end{center}

process
求める時間を$t$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic105p.tex}
\end{center}
$(100+150)t=9000 \times 2$\\
$t=\displaystyle \frac{18000}{250}=72分$

$72$分

兄は分速$70$m，弟は$65$mで同時に家を出発し，駅までの道を往復しました。
兄は駅に着くとすぐに引き返し，出発してから$40$分後に$2$人は出会いました。
家から駅まで何km離れていますか。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic106.tex}
\end{center}

process
求める時間を$t$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic106p.tex}
\end{center}
$(70+65)\times 40=5400$m\\
$\displaystyle \frac{5400}{2}=2700$m

$2.7$km

AとBが同時に北町を出発し，$3.6$km離れた南町との間を往復します。
Bの速さは毎分$90$mで，先に南町を折り返してきたAと，出発してから$36$分後に出会いました。
Aの速さは分速何mですか。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic107.tex}
\end{center}

process
求める速さを$x$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic107p.tex}
\end{center}
$(x+90)\times 36=3600 \times 2$m\\
$x+90=\displaystyle \frac{3600 \times 2}{36}=200$m

$110$m/分














[Level4]
通過算
$200$mの列車が，電車を通過するのに$12$秒かかりました。
この列車の速さは秒速何mですか。

process
$(200+100) \div 12=25$m/秒

$25$m/秒

$100$mの列車が，長さ$200$mの鉄橋を通過するのに$12$秒かかりました。
この列車の速さは秒速何mですか。

process
$200 \div 10=20$m/秒

$20$m/秒

$100$mの列車が，$200$mのトンネルを通過するのに$12$秒かかりました。
この列車の速さは毎秒何mですか。

process
$(200+100) \div 12=25$

毎秒$25$m/秒

長さ$200$mの列車が，毎秒$25$mの速さで走っています。
この列車が，$150$mの鉄橋を通過するのに何秒かかりますか。

process
$(150+200) \div 25=14$

$14$秒

ある列車が，長さ100mの駅のホームを通過するのに，6秒かかりました。
列車の速さは毎秒28mです。
列車の長さは何mですか。

process
$100+x=28 \times 6$

68m

$100$mの列車が，長さ$400$mのトンネルにかくれて姿が見えない時間は$15$秒でした。
この列車の速さは秒速何mですか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic108.tex}
\end{center}
$(400-100) \div 15=20$

秒速$20$m

長さ80mの列車が秒速20mで走っています。
長さ400mのトンネルにかくれて見えない時間は何秒ですか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic109.tex}
\end{center}
$(400-80) \div 20=16$

$16$秒

長さ160mの列車が，長さ840mの鉄橋を渡り始めてから，渡り終えるまで50秒かかった。
この列車の速さは時速何kmか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic14.tex}
\end{center}
$840+160=1000m=1km$。
$50秒=50秒\times \displaystyle \frac{1時間}{3600秒}=\displaystyle \frac{5}{360}時間$。\\
速さ$=\displaystyle \frac{1km}{5/360(時間)}=72(km/時間)$

時速72km

長さ400mのトンネルに秒速24mで走る列車がかくれている時間は15秒でした。
この列車の長さは何mか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic110.tex}
\end{center}
$400-x=24 \times 15$

40m

長さ80mの列車が秒速28mで走っています。
この列車がトンネルに完全にかくれている時間は15秒でした。
このトンネルの長さを求めなさい。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic111.tex}
\end{center}
$x-80=28 \times 15$

500m

ある列車の長さが長さ300mの鉄橋Aを通過するのに23秒かかり，
長さ200mの鉄橋Bを通過するのに18秒かかりました。
この列車の秒速と長さを求めなさい。

process
列車の速さを$v$とおくと，\\
$300+x=23 \times v$…\textcircled{\small 1}\\
$200+x=18 \times v$…\textcircled{\small 2}\\
\textcircled{\small 2}$\times (-1)$：$-200-x=-18 \times v$…\textcircled{\small 2}$'$\\
\textcircled{\small 1}＋\textcircled{\small 2}$':100=5v$，∴$v=20$，
$x=110$

秒速$20$m，長さ110m

長さ100mの鉄橋を通過するのに10秒かかる列車があります。
この列車が長さ350mのトンネルに完全にかくれている時間は15秒でした。
この列車の秒速と長さを求めよ。

process
列車の速さを$v$，長さを$x$mとすると，\\
$100+x=10\times v$…\textcircled{\small 1}\\
$350-x=15\times v$…\textcircled{\small 2}\\

秒速18m，80m

長さ150mの列車が時速72kmで走っている。
この列車が，長さ950mのトンネルにさしかかってからトンネルを通り抜けるまで，何秒かかりますか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic116.tex}
\end{center}
$\displaystyle \frac{72000m}{3600s}=20m/s$\\
$\displaystyle \frac{950+150}{20}=55s$

55秒

時速63kmで走っている列車が330mあるトンネルにさしかかって，
完全にトンネルをぬけるまでに24秒かかった。
この列車の長さは何mか。

process
$1時間=60分=3600秒$であるから，
$1秒=\displaystyle\frac{1}{3600}時間$。
$24秒=\displaystyle\frac{24}{3600}時間$。
列車の長さを$x$mとすると，題意より，\\
$\displaystyle\frac{x+330}{63000}=\displaystyle\frac{24}{3600}$\\
$\displaystyle\frac{x+330}{630}=\displaystyle\frac{2}{3}$

90m

長さ1000mのトンネルを電車が完全に通過するのに1分かかった。
電車の長さを100mとすると，電車の時速は何kmか。

process
$\displaystyle\frac{1\,{\rm km}+0.1\,{\rm km}}{1/60\,時間}=1.1\times 60=66$（km/時）

時速66km




[Level5]
すれちがう旅人算
長さ200m，秒速15mで進むA列車と，長さ150m，秒速20mで進むB列車がすれ違うのに何秒かかりますか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic112.tex}
\end{center}
A列車の中の人からB列車を見ると，15+20=35m/秒で近づく。\\
$(200+150) \div 35=10$秒

10秒

長さ162m，秒速17mで進む急行列車が，反対方向からきた秒速13mの普通列車とすれ違うのに10秒かかりました。
普通列車の長さは何mですか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic113.tex}
\end{center}
急行列車の中の人から普通列車を見ると，17+13=30m/秒で近づく。\\
$162+x=30 \times 10$

138m

下り方向の，長さ200mのA列車と，上り方向の，長さ140m，秒速21mのB列車がすれ違うのに，10秒かかりました。
A列車の速さは毎秒何mか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic114.tex}
\end{center}
A列車の速さを$v$m/秒とする。
A列車の中の人からB列車を見ると，$v+21$m/秒で近づく。\\
$v+21=(200+140) \div 10$

毎秒13秒

長さ120m，秒速14mのA列車と，長さ150m，秒速16mのB列車が逆向きに進んでいる。
2つの列車が出会ってから離れるまで何秒かかりますか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic117.tex}
\end{center}
A列車の中の人からB列車を見ると，14+16=30m/秒で近づく。\\
$(120+150) \div 30=9$秒

9秒

2点A，B間の道のりは1200mである。
甲はAからBに行くのに12分かかり，
乙はBからAに行くのに15分かかった。
甲乙が同時に出発したとすると，何分何秒後にすれ違ったか。
ただし，歩く速さはそれぞれ一定であるとする。

process
甲の速さは
$1200m\div 12分=100m/分$，
乙の速さは
$1200m\div 15分=80m/分$。
2人の近づく速さは$100+80=180m/分$。
求める時間は\\
$\displaystyle \frac{1200m}{180m/分}=\displaystyle \frac{20}{3}
=6\displaystyle\frac{2}{3}分$\\
$\displaystyle\frac{2}{3}分=\displaystyle\frac{2}{3}\times 60秒=40秒$

6分40秒

長さ150m，時速100kmの電車と，
長さ100m，時速80kmの電車が向かい合ってすれ違うとき
何秒かかるか。

process
$\displaystyle\frac{150+100〔{\rm m}〕}{(100000+80000)〔{\rm m}/時間〕}\\
=\displaystyle\frac{1}{180\times 4}（時間）\\
=\displaystyle\frac{3600}{180\times 4}（秒）$

5秒




[Level6]
追い越す通過旅人算
秒速23mで長さ130mのA列車が，秒速15mで長さ110mのB列車に追いついてから追い越すまで，何秒かかりますか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic115.tex}
\end{center}
BからAを見ると，速さ$(23-15)$m/秒で近づく。
求める時間を$t$とおくと，\\
$130+110=12 \times t$

20秒

長さ100m，秒速17mの急行列車が，秒速13mで走る普通列車を60秒で追い越していきました。
普通列車の長さを求めなさい。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic118.tex}
\end{center}
普通列車から急行列車を見ると，速さ$(17-13)=4$m/秒で近づく。
普通列車の長さを$x$とおくと，\\
$110+x=4 \times 60$

140m

長さ160mの特急が，長さ200m，秒速20mで走る普通列車に追いついてから
追い越すまでに24秒かかりました。
特急の速さは秒速何mですか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic119.tex}
\end{center}
普通列車の速さを$v$m/秒とおく。
普通列車から特急列車を見ると，速さ$(v-20)$m/秒で近づく。\\
$160+200=(v-20) \times 24$，∴$v=35$m/秒

秒速35m

秒速26m，長さ140mのA列車が，長さ180mのB列車に追いついてから追い越すまでに1分20秒かかりました。
B列車の速さは秒速何mですか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic120.tex}
\end{center}
B列車の速さを$v$m/秒とおく。
B列車からA列車を見ると，速さ$(26-v)$m/秒で近づく。\\
$26-v=\displaystyle \frac{140+180}{80}$，∴$v=22$m/秒

秒速22m

A君が学校から毎分60mの速さで駅まで歩き始めた3分後に、
B君が分速75mでA君を追いかけたところ、
ちょうど駅で追いついた。
学校から駅までの距離は何mか。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/206_旅人算，通過算/pic131.tex}
\end{center}
AからBをみると、相対速度$75-60=15$m/分で近づく。
3分後Aは$60\times 3=180$m進んでいる。
追いついたのは、Bが出発してから
$\displaystyle\frac{180}{15}=12$分。
求める距離は、$75\,{\rm m}/分 \times 12分=900$m

900m


[Level7]


[EOF]

