% %以下の文をコメント文としたいのですが，現時点ではまだできません。
% 問題のタイトル
[Title]
202_方程式，不等式の文章題

% 問題文
% 何も書かなければ，[Level1]等に書いたものがそのまま問題文となる。
[Problem]
次の問いに答えよ。
% フォントの大きさ。1〜10，またはTeXのコマンドを指定する。
% デフォルトは，5（\normalsize）
% 1は\tiny， 2は\scriptsize，3は\footnotesize，4は\small， 5は\normalsize
% 6は\huge，7は\huge，     8は\huge，       9は\huge， 10は\Huge
[FontSize]
5

% プリアンブルに追加したいパッケージファイルを指定する。
[usepackage]
\usepackage{color,amssymb}

% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付ける場合は，　ON または1
% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付けない場合は，OFFまたは0
% 「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の下にある設定を
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　無視する場合に指定してください。
% 何も記述しなければ，「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　下にある設定が優先されます。
[displaystyle]
OFF


% Level1の問題を書く。以下Level7まで同様。
% 1行目には詳細設定のタイトルを書く。
% 2行目以降に問題とその解答を書く。
% 問題と解答，解答と問題は１行ずつあけて書く。
% 計算過程がある場合は，問題と解答の間に１行ずつ間隔をあけ，
% 最初にprocessという行を作り，その次の行から計算過程を書いていく。


[Problem]
次の問いに答えよ。

[FontSize]
5
[Level1]
一次方程式文章題（つるかめ算）
1個80円と100円のおにぎりを合わせて30個買ったら，全部で2660円だった。
100円のおにぎりを何個買いましたか。

process
100円のおにぎりを$x$個とすると，80円のおにぎりは$30-x$個。\\
$80(30-x)+100x=2660$，∴$x=13$\\
（別）下の表で80円を100円に変えると20円の差が生じるから，\\
$260\div 20=13$個
\begin{table}[!hbt]
  \begin{center}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
    100円 & 0個 & $\cdots$ & $x$ \\ \hline
    80円 & 30個 & $\cdots$ &  \\ \hline
    合計 & 2400円 &              &     \\ \hline
    差     & 260     &               &     \\ \hline
  \end{tabular}\end{center}
\end{table}

13個

大人1人の入場料が900円，中学生1人の入場料が500円のスポーツセンターに，
大人と中学生を合わせて20人で入場して，
12,800円支払った。
大人の人数は何人か。

process
大人の人数を$x$人とすると，\\
$900x+500(20-x)=12800$\\
（別）下の表で500円を900円に変えると400円の差が生じるから，\\
$2800\div 400=7$人
\begin{table}[!hbt]
  \begin{center}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
    900円 & 0人 & $\cdots$ & $x$ \\ \hline
    500円 & 20人 & $\cdots$ &  \\ \hline
    合計 & 10,000円 &              &     \\ \hline
    差     & 2,800     &               &     \\ \hline
  \end{tabular}\end{center}
\end{table}

7人

80円切手と100円切手を合わせて18枚買ったときの代金は，
1600円であった。80円切手は何枚買ったのか。

process
80円切手を$x$枚とすると，80円切手は$(18-x)$枚。\\
$80x+100(18-x)=1600$\\
（別）下の表で80円を100円に変えると20円の差が生じるから，\\
$200\div 20=10$枚
\begin{table}[!hbt]
  \begin{center}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
    80円 & 0枚 & $\cdots$ & $x$ \\ \hline
    100円 & 18枚 & $\cdots$ &  \\ \hline
    合計 & 1800円 &              &     \\ \hline
    差     & 200     &               &     \\ \hline
  \end{tabular}\end{center}
\end{table}

10枚

ある子ども会で，大人と子ども合わせて21人がテーマパークへ行った。
入場料は大人1200円，子ども800円で，全部で19,200円支払った。
このとき，子どもは何人だったか。

process
$800x+1200(21-x)=19200$\\
（別）下の表で1200円を800円に変えると400円の差が生じるから，\\
$6,000\div 400=15$人
\begin{table}[!hbt]
  \begin{center}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
    800円 & 0人 & $\cdots$ & $x$ \\ \hline
    1200円 & 21人 & $\cdots$ &  \\ \hline
    合計 & 25,200円 &              &     \\ \hline
    差     & 6,000     &               &     \\ \hline
  \end{tabular}\end{center}
\end{table}

15人

50円切手と80円切手を合わせて28枚買ったときの代金は，
1970円であった。80円切手は何枚買ったのか。

process
80円切手を$x$枚とすると，80円切手は$(28-x)$枚。\\
$80x+50(28-x)=1970$\\
（別）下の表で50円を80円に変えると30円の差が生じるから，\\
$570\div 30=19$枚
\begin{table}[!hbt]
  \begin{center}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
    80円 & 0枚 & $\cdots$ & $x$ \\ \hline
    50円 & 28枚 & $\cdots$ &  \\ \hline
    合計 & 1400円 &              &     \\ \hline
    差     & 570     &               &     \\ \hline
  \end{tabular}\end{center}
\end{table}

19枚

１個80円のみかんと１個120円のリンゴがあります。
みかんとリンゴをあわせて16個買ったら、金額は1,560円でした。
リンゴは何個購入したのでしょうか？

process
リンゴを$x$個とすると，みかんは$(16-x)$個。\\
$120x+80(16-x)=1560$\\
（別）下の表で80円を120円に変えると40円の差が生じるから，\\
$280\div 40=7$個
\begin{table}[!hbt]
  \begin{center}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
    120円 & 0個 & $\cdots$ & $x$ \\ \hline
    80円 & 16個 & $\cdots$ &  \\ \hline
    合計 & 1280円 &              &     \\ \hline
    差     & 280     &               &     \\ \hline
  \end{tabular}\end{center}
\end{table}

7個

１個50円のみかんと１個80円のリンゴがあります。
みかんとリンゴをあわせて20個買ったら、金額は1,240円でした。
リンゴは何個購入したのでしょうか？

process
リンゴを$x$個とすると，みかんは$(20-x)$個。\\
$80x+50(20-x)=1240$\\
（別）下の表で50円を80円に変えると30円の差が生じるから，\\
$240\div 30=8$個
\begin{table}[!hbt]
  \begin{center}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
    80円 & 0個 & $\cdots$ & $x$ \\ \hline
    50円 & 20個 & $\cdots$ &  \\ \hline
    合計 & 1000円 &              &     \\ \hline
    差     & 240     &               &     \\ \hline
  \end{tabular}\end{center}
\end{table}

8個

50円切手と80円切手を合わせて17枚買ったときの代金は，
1180円であった。80円切手は何枚買ったのか。

process
80円切手を$x$枚とすると，80円切手は$(17-x)$枚。\\
$80x+50(17-x)=1180$\\
（別）下の表で50円を80円に変えると30円の差が生じるから，\\
$330\div 30=11$枚
\begin{table}[!hbt]
  \begin{center}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
    80円 & 0枚 & $\cdots$ & $x$ \\ \hline
    50円 & 17枚 & $\cdots$ &  \\ \hline
    合計 & 850円 &              &     \\ \hline
    差     & 330     &               &     \\ \hline
  \end{tabular}\end{center}
\end{table}

11枚

あきこさんの家から学校までは1,320ｍあります。いまから12分で学校に着かなければなりません。
あきこさんは歩くと1分で90m，走ると1分で170m進めます。
12分で学校に着くには何分間走れば良いでしょうか？

process
走るのを$x$分とすると，\\
$170x+90(12-x)=1320$\\
（別）下の表で「歩く」を「走る」に変えると80m/分の差が生じるから，\\
$240\div 80=3$分
\begin{table}[!hbt]
  \begin{center}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
    走る(170m/分) & 0分 & $\cdots$ & $x$ \\ \hline
    歩く(90m/分) & 12分 & $\cdots$ &  \\ \hline
    合計 & 1,080m &              &     \\ \hline
    差     & 240m     &               &     \\ \hline
  \end{tabular}\end{center}
\end{table}

3分

１分間に徒歩では70m，
かけ足では180mの速さの人が，
家から1850m離れた駅まで行くのに
17分かかりました。
「かけ足」を何分しましたか。

process
かけ足を$x$分とすると，\\
$180x+70(17-x)=1850$\\
（別）下の表で「徒歩」を「かけ走」に変えると110m/分の差が生じるから，\\
$660\div 110=6$分
\begin{table}[!hbt]
  \begin{center}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
    かけ走(180m/分) & 0分 & $\cdots$ & $x$ \\ \hline
    徒歩(70m/分) & 17分 & $\cdots$ &  \\ \hline
    合計 & 1,190m &              &     \\ \hline
    差     & 660m     &               &     \\ \hline
  \end{tabular}\end{center}
\end{table}

6分

1本200円のジュースと1本100円のミネラルウォーターを合計30本買った。
5000円支払ったところ，おつりが800円であった。ミネラルウォーターは何本買ったか。

process
ミネラルウォータを$x$本とすると，ジュースは$30-x$本。\\
$100x+200(30-x)=4200$，∴$x=18$\\
（別）合計の値段は4200円。下の表でジュースをミネラルウォーターに変えると100円の差が生じるから，\\
$1800\div 100=18$本
\begin{table}[!hbt]
  \begin{center}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
    100円 & 0本 & $\cdots$ & $x$ \\ \hline
    200円 & 30本 & $\cdots$ &  \\ \hline
    合計 & 6000円 &              &     \\ \hline
    差     & 1800円     &               &     \\ \hline
  \end{tabular}\end{center}
\end{table}

18本

歩くときの速さが分速70m，走るときの速さが分速300mの人が，ちょうど15分で3350m離れた目的地までいくためには，何分間走らなければならないか。 

process
走るのを$x$分とすると，\\
$300x+70(15-x)=3350$\\
（別）下の表で「歩く」を「走る」に変えると230m/分の差が生じるから，\\
$2300\div 230=10$分
\begin{table}[!hbt]
  \begin{center}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
    走る(300m/分) & 0分 & $\cdots$ & $x$ \\ \hline
    歩く(70m/分) & 15分 & $\cdots$ &  \\ \hline
    合計 & 1,050m &              &     \\ \hline
    差     & 2,300m     &               &     \\ \hline
  \end{tabular}\end{center}
\end{table}

10分

亀(足4本)と鶴(足2本)が合わせて20匹いる。足の合計本数が64本のとき，鶴は何羽いるか。

process
鶴を$x$羽とすると，\\
$2x+4(20-x)=64$\\
（別）下の表で亀を鶴に変えると2本の差が生じるから，\\
$16\div 2=8$羽
\begin{table}[!hbt]
  \begin{center}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
    鶴(足2本) & 0羽 & $\cdots$ & $x$ \\ \hline
    亀(足4本) & 20匹 & $\cdots$ &  \\ \hline
    合計 & 80本 &              &     \\ \hline
    差     & 16本    &               &     \\ \hline
  \end{tabular}\end{center}
\end{table}

8羽

鶴と亀が合わせて32頭います。
それぞれの足の和は94になるとき，亀は何匹いるでしょうか？

process
亀を$x$匹とすると，\\
$4x+2(32-x)=94$\\
（別）下の表で亀を鶴に変えると2本の差が生じるから，\\
$30\div 2=15$匹
\begin{table}[!hbt]
  \begin{center}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
    亀(足4本) & 0匹 & $\cdots$ & $x$ \\ \hline
    鶴(足2本) & 32羽 & $\cdots$ &  \\ \hline
    合計 & 64本 &              &     \\ \hline
    差     & 30本    &               &     \\ \hline
  \end{tabular}\end{center}
\end{table}

15匹

50円切手と80円切手を合わせて18枚買ったときの代金は，
1230円であった。80円切手は何枚買ったのか。

process
80円切手を$x$枚とすると，80円切手は$(18-x)$枚。\\
$80x+50(18-x)=1230$\\
（別）下の表で50円を80円に変えると30円の差が生じるから，\\
$330\div 30=11$枚
\begin{table}[!hbt]
  \begin{center}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
    80円 & 0枚 & $\cdots$ & $x$ \\ \hline
    50円 & 18枚 & $\cdots$ &  \\ \hline
    合計 & 900円 &              &     \\ \hline
    差     & 330     &               &     \\ \hline
  \end{tabular}\end{center}
\end{table}

11枚

100円切手と50円切手を合わせて40枚買ったときの代金は，
2750円であった。100円切手は何枚買ったのか。

process
100円切手を$x$枚とすると，50円切手は$(40-x)$枚。\\
$100x+50(40-x)=2750$\\
（別）下の表で50円を100円に変えると50円の差が生じるから，\\
$750\div 50=15$枚
\begin{table}[!hbt]
  \begin{center}\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline
    100円 & 0枚 & $\cdots$ & $x$ \\ \hline
    50円 & 40枚 & $\cdots$ &  \\ \hline
    合計 & 2,000円 &              &     \\ \hline
    差     & 750     &               &     \\ \hline
  \end{tabular}\end{center}
\end{table}

15枚

鶴と亀が合わせて22頭います。
それぞれの足の和は58になるとき，亀は何匹いるでしょうか？

process
亀を$x$匹とすると，\\
$4x+2(22-x)=58$\\
（別）下の表で亀を鶴に変えると2本の差が生じるから，\\
$14\div 2=7$匹
\begin{table}[!hbt]
  \begin{center}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
    亀(足4本) & 0匹 & $\cdots$ & $x$ \\ \hline
    鶴(足2本) & 22羽 & $\cdots$ &  \\ \hline
    合計 & 44本 &              &     \\ \hline
    差     & 14本    &               &     \\ \hline
  \end{tabular}\end{center}
\end{table}

7匹

鶴と亀が合わせて13頭います。
それぞれの足の和は36になるとき，亀は何匹いるでしょうか？

process
亀を$x$匹とすると，\\
$4x+2(13-x)=36$\\
（別）下の表で亀を鶴に変えると2本の差が生じるから，\\
$10\div 2=5$匹
\begin{table}[!hbt]
  \begin{center}\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
    亀(足4本) & 0匹 & $\cdots$ & $x$ \\ \hline
    鶴(足2本) & 13羽 & $\cdots$ &  \\ \hline
    合計 & 26本 &              &     \\ \hline
    差     & 10本    &               &     \\ \hline
  \end{tabular}\end{center}
\end{table}

5匹



















[Level2]
一次方程式文章題（方程式）
50円切手と80円切手を合わせて3480円分購入した。
80円切手は50円切手の枚数の3倍であった。
購入した50円切手の枚数は何枚か。

process
50円切手の枚数を$x$枚とすると，題意より80円切手の枚数は$3x$枚。
したがって，\\
$50x+80\times 3x=3480$\\
$5x+24x=348$。$x=12$枚\\

12枚

$25,000$円を兄弟2人で分けるのに，兄の分は弟の分の2倍より$800$円少なくなるようにしたい。
このとき，兄がもらう金額はいくらか。

process
弟の分を$x$とすると，\\
$(2x-800)+x=25,000$\\
∴$x=8,600$。兄の分は\\
$2 \times 8600-800=16,400$

16,400円

長さ$92cm$の針金を使って，横の長さが縦の長さより$4cm$長い長方形のわくを作りたい。
縦の長さをいくらにすればよいか。

process
縦の長さを$x$とすると，横の長さは$x+4$となる。\\
$2 \{ x+(x+4) \}=92。∴x=21$

$21cm$

何人かの子どもにクッキーを分けるのに，$6$個ずつ分けると$40$個余り，$9$個ずつ分けると$2$個足りない。
このとき，子どもの人数は何人か。

process
子どもの人数を$x$（人）とすると，\\
$6x+40=9x-2。∴x=14$

14人

Mの所持金とNの所持金の割合が$7:3$であったが，MがNに$1,600$円渡したので，2人の所持金は同じになった。
Mのはじめの所持金はいくらか。

process
Mの所持金を$7x$，Nの所持金を$3x$とすると，\\
$7x-1600=3x+1600$\\
∴$x=800$。
Mのはじめの所持金は，\\
$7 \times 800=5,600$円

5,600円

ある大学の入学試験において，合格者は受験生の$1/6$より12人少なく，不合格者は受験生の85\%より4人多かった。
このとき，合格者は何人か。

process
受験者数を$x$人とすると，\\
$\left( \displaystyle \frac{x}{6}-12 \right)+\left( \displaystyle \frac{85}{100} x+4 \right)=x$\\
∴$x=480$。合格者は$\displaystyle \frac{480}{6}-12=68$人

68人

甲，乙，丙の3人が共同で事業をして$850$万円の利益を得た。
この利益を分けるのに，出資額に応じて，甲は乙の2倍，乙は丙の$80\%$としたい。
甲が受け取る金額はいくらか。

process
丙が受け取る金額を$x$万円とすると，\\
$1.6x+0.8x+x=850。∴x=250$\\
甲が受け取る金額は\\
$1.6 \times 250=400$万円

400万円

兄の所持金と弟の所持金の割合は$7:3$であったが，兄が弟に2,000円渡したところ，
2人の所持金は同じになった。兄のはじめの所持金はいくらか。

process
兄のはじめの所持金を$7x$，弟のはじめの所持金を$3x$とすると，題意より，\\
$7x-2000=3x+2000$\\
∴$x=1000$，$7x=7000$

7,000円

A地点からB地点へ行くのに，時速20kmの自転車で行くと，時速4kmの速さで歩いて行くより3時間はやく着く。
このとき，A地点からB地点までの距離を求めよ。

process
A地点からB地点までの距離を$x$kmとおく。\\
$\displaystyle \frac{x}{20}=\displaystyle \frac{x}{4}-3$，
$x=5x-60$，$x=\displaystyle \frac{60}{4}=15$km

$15$km

ある月のカレンダーの水曜日は4回あり，その数字をすべて加えると62になる。
その月の最初の水曜日は何日か。
（ヒント：最初の水曜日を$x$日と設定しなさい）

process
$x+(x+7)+(x+14)+(x+21)=62$\\
$4x+42=62$

$5$

鉛筆を何人かの子どもに分けるのに，1人に7本ずつ分けると3本足りない。
また，1人に6本ずつ分けると1本余る。
子どもの人数を求めよ。

process
$7x-3=6x+1$

4人

生徒に玉を配るのに，1人に4個
ずつ配ると18個余り，5個ずつ配ると10個足りない。
生徒数を求めよ。

process
生徒数を$x$とすると，\\
$4x+18=5x-10$

28人

あるクラスでペンを配るとき，1人3本ずつ配ると60本余り，
1人5本ずつ配ると10本不足した。
このクラスの生徒の人数を求めなさい。

process
生徒の人数を$x$とおくと，\\
$3x+60=5x-10$

35人

家から1200m離れた駅へ向かった。
はじめは毎分80mの速さで歩いていたが，遅刻しそうなので途中から
毎分110mの速さで走ったところ，12分後に駅に着いた。
歩いた時間を求めよ。

process
求める時間を$t$とすると，\\
$80t+110(12-t)=1200$

4分

ボールとそれを入れる箱が用意してある。
1箱に90個ずつボールを入れていくと，17個のボールが入らず
残った。
また，100個ずつボールを入れていくと，
最後の箱には7個しか入らなかった。
ボールは全部で何個あるか。

process
箱の数を$x$とおくと，
$90x+17=100(x-1)+7$\\
$\therefore x=11$\\
ボールの数は
$90\times 11+17=1007$

1007個

1本$x$円の鉛筆を12本買い，1000円出したときのおつりが280円でした。
鉛筆1本の代金を求めなさい。

process
$12x+280=1000$~~~$x=\displaystyle\frac{720}{12}=60$

$60$円

ある数$x$の$8$倍に$7$を加えると，$x$に$4$を加えて3倍した数に等しくなります。
ある数$x$を求めなさい。

process
$8x+7=3(x+4)$

$1$









[Level3]
１次不等式の文章題
1個150円のリンゴと1個60円のミカンをあわせて16個買い，その代金を2,000円以下にしたい。
リンゴをできるだけ多く買う場合，リンゴを買う個数はいくつになるか。

process
リンゴを買う個数を$x$とすると，題意より\\
$150x+60(16-x) \leqq 2000$\\
$150x+960-60x \leqq 2000$\\
$90x \leqq 1040$\\
∴$x \leqq \displaystyle \frac{104}{9}=11.5…$。
$x=11$ 

11個

1本120円の缶コーヒーと1本300円の栄養ドリンクを合わせて20本買い，
缶コーヒーはできるだけ少なく，代金は4,000円以下にしたい。
缶コーヒーを何本買えばよいか。

process
缶コーヒーを$x$本とすると，\\
$120x+300(20-x) \leqq 4000$\\
$x \geqq \displaystyle \frac{100}{9}=11.1…$

12本

1本100円のボールペンと1個30円の消しゴムを合わせて30個買って代金を2,000円以下にする。
ボールペンは最大何本買えるか。

process
ボールペンの数を$x$個とすると，\\
$100x+30(30-x) \leqq 2,000$\\
∴$x \leqq \displaystyle \frac{1100}{70}=15.…$

15本

現在，Aは4,500円，Bは2,800円の貯金がある。
これから毎日，Aは60円，Bは130円ずつ貯金する。Bの貯金額が，Aの貯金額と同額以上になるのは何日後か。

process
$x$日後とすると，\\
$4,500+60x \leqq 2,800+130x$\\
$x \geqq \displaystyle \frac{1700}{70}=24.…$

25日後

1本150円のボールペンと1本60円の鉛筆を合わせて12本買い，代金を1,500円以下にしたい。
ボールペンをできるだけたくさん買うには，ボールペンを何本買えばよいか。

process
ボールペンを$x$本とすると，\\
$150x+60(12-x) \leqq 1,500$\\
∴$x \leqq \displaystyle \frac{780}{90}=8.66…$。よってボールペンは8本

8本

1本50円の鉛筆と1個80円の消しゴムを合わせて15個買い，1,000円以下に抑えたい。
消しゴムは最多で何個買えるか。

process
消しゴムの個数を$x$個とすると，\\
$50(15-x)+80x \leqq 1,000$\\
∴$x \leqq \displaystyle \frac{25}{3}=8.3…$。$x=8$

8個

現在，兄は7,000円，弟は5,000円の貯金をしている。
来年から，兄は1,200円，弟は1,500円ずつ貯金をしていくとき，弟の貯金が兄の貯金と同額以上になるのは何年後か。

process
$7000+1200x \leqq 5000+1500x$\\
∴$x \geqq \displaystyle \frac{20}{3}=6.…$。∴$x=7$

7年後

１個60円のリンゴと１個40円のミカンをあわせて25個買い，合計の代金を1250円以内にしたい。このとき，リンゴは最大何個まで買うことができるか。

process
リンゴの数を$x$個とする。\\
$60x+40(25-x) \leqq 1250$\\
$x \leqq 12.5$

12個

1本90円の鉛筆を何本かと，1個150円の消しゴムを2個買い，合計の代金を1000円以内にしたい。このとき，鉛筆は最大何本まで買うことができるか？

process
鉛筆を$x$本とする。\\
$90x+150 \times 2 \leqq 1000$\\
$x \leqq 7.77…$

7本

ボール1個を的（まと）にあてるゲームがある。
ボールが的に当たったときの得点は5点で，はずれたときの得点は1点である。
このゲームを20回行うとき，合計得点を70点以上にするには，最低何回当てなければならないか。

process
当たりを$x$回とする。\\
$5x+1 \times (20-x) \geqq 70$\\
$x \geqq 12.5$

13回

キャンディーが63個ある。子どもたちに1人3個ずつ配ると余りが10個以上になる。
このとき，子どもの人数は最大何人と考えられるか？

process
子どもの人数を$x$人とする。\\
$63-3x \geqq 10$\\
$x \leqq 17.66…$

17人

現在，A さんの貯金箱には1000円，B さんの貯金箱には300円が入っている。
今日からA さんは毎日20円，B さんは毎日50円ずつ貯金箱に貯金していく。
このとき，B さんの貯金額がA さんの貯金額を初めて超えるのは何日目か？

process
超える日を$x$日目とする。\\
$1000+20x < 300+50x$\\
$x > 23.3…$

24日目

1個200円のケーキと1個100円のプリンをあわせて15個買い，100円の箱に入れる。
その合計の代金を2000円以内にするとき，ケーキは最大何個まで買うことができるか。

process
ケーキの個数を$x$個とする。\\
$100+200x+100(15-x) \leqq 2000$\\
$x \leqq 4.9$

4個

ある数$x$に3を加えた数は，$x$から2を引いて3倍した数より小さい。
これを満たす$x$の中で，最小の整数を求めよ。

process
$(x+3)<3(x-2)$ \\
$x > 4.5$

5

1個のさいころを投げて，1の目が出たときの得点を10点，それ以外の目が出たときの得点を1点とする。
このさいころを30回投げるとき，合計得点を100点以上にするには，
1の目は最低何回出なければならないか？

process
1の目が$x$回とすると \\
$10x+1 \times (30-x) \geqq 100$\\
$x \geqq 7.77…$

8回

1個160円のハンバーガーと1個100円のドーナツを合わせて20個買い，
代金の合計を2500円以内にしたい。
このとき，ハンバーガーは最大何個まで買うことができるか？

process
ハンバーガーの個数を$x$個とする。\\
$160x+100(20-x) \leqq 2500$\\
$x \leqq 8.33…$

8個

姉はビー玉を35個，弟はビー玉を8個持っている。姉が弟にビー玉を何個かあげても，
姉のビー玉の個数が弟のビー玉の個数の2倍より多くなるようにしたい。
このとき，姉は弟にビー玉を最大何個まであげることができるか？

process
姉が弟にあげた個数を$x$個とする。\\
$35-x>2(8+x) $\\
$x<6.33…$

6個

5からある数$x$を引いて2倍した数は，$x$から4を引いた数より大きい。
このような$x$のなかで最大の整数を求めよ。

process
$2(5-x)>x-4$ \\
$x<4.66…$

4

1回に$600kg$の重さまで運ぶことができるエレベータに，体重$80kg$の人が乗って，
1個$30kg$の荷物を何個か運ぶ。このとき，荷物は1回に最大何個まで運ぶことができるか？

process
$x$個とすると，\\
$80+30x \leqq 600$\\
$x \leqq 17.33…$

17

１個120円のケーキを何個か買って，100円の箱につめてもらった。
代金の合計を1000円以下にしたい。ケーキは何個まで買えますか。

process
$120x+100 \leqq 1000$\\
$x \leqq \displaystyle \frac{900}{120}=\displaystyle \frac{15}{2}=7.5$

7個

１個180円のケーキを何個か買って，150円の箱につめてもらった。
代金の合計を2,000円以下にしたい。ケーキは何個まで買えますか。

process
$180x+150 \leqq 2,000$\\
$x \leqq \displaystyle \frac{1,850}{180}=10.2…$

10個

$4000$円のおこづかいを持って，遊園地で遊ぶ。入場料は$600$円で，
乗り物券はA，Bの2種類あり，Aが1枚350円，Bが1枚200円である。
A，B合わせて12枚買うとき，乗り物券Aは最大何枚まで買うことができるか。

process
Aを$x$枚買うとき，\\
$600+350x+200(12-x) \leqq 4000$\\
∴$60+35x+20(12-x) \leqq 400$\\
∴$300+15x \leqq 400$，\\
∴$x \leqq \displaystyle \frac{100}{15}=6.…$

$6$

1回に$600kg$の重さまで運ぶことができるエレベーターに，体重$80kg$の人が乗って，
1個$30kg$の荷物を何個か運ぶ。このとき，荷物は1回に最大何個まで運ぶことができるか。

process
荷物の個数を$x$とすると，\\
$80+30x \leqq 600$\\
∴$x \leqq \displaystyle \frac{520}{30}=17.…$

$17$個

姉はビー玉を35個，弟はビー玉を8個持っている。
姉が弟にビー玉を何個かあげても，姉のビー玉の個数が弟のビー玉の個数の2倍より多くなるようにしたい。
このとき，姉は弟にビー玉を最大何個まであげることができるか。

process
$x$個あげた後，\\
姉の個数は$35-x$，弟の個数は$8+x$。\\
$35-x > 2(8+x)$, \, $35-x> 16+2x$\\
$19>3x$, \, $x<\displaystyle \frac{19}{3}=6.…$

$6$個

1個160円のハンバーガーと1個100円のドーナツを合わせて20個買い，
代金の合計を2500円以内にしたい。
このとき，ハンバーガーは最大何個まで買うことができるか。

process
$160x+100(20-x)\leqq 2500$,\\
$160x+2000-100x \leqq 2500$\\
$60x \leqq 500$, \ $x\leqq \displaystyle \frac{500}{60}
=\displaystyle \frac{50}{6}=\displaystyle \frac{25}{3}=8.…$

$8個$

ポスターをカラーと白黒の2種類で印刷したい。
印刷代金は，カラーが1枚40円，白黒が1枚15円である。
カラーと白黒の2種類を合わせて500枚印刷し，代金の合計を15000円以内にしたい。
このとき，カラーは最大何枚まで印刷することができるか。

process
$40x+15(500-x) \leqq 15000$\\
$40x+7500-15x \leqq 15000$\\
$25x \leqq 7500$\\
∴$x \leqq \displaystyle \frac{7500}{25}=300$

300枚

1個のさいころを投げて，1の目が出たときの得点を10点，
それ以外の目が出たときの得点を1点とする。
このさいころを30回投げるとき，合計得点を100点以上にするには，
1の目は最低何回出なければならないか。

process
1の目が$x$回出るとすると，\\
$10x+1 \times (30-x) \geqq 100$\\
$x \geqq \displaystyle \frac{70}{9}=7.…$\\

8回

1個200円の桃と1個150円の梨を合わせて15個買い，120円の箱に詰める。
その代金の合計を3000円以内にするとき，桃は最大何個まで買うことができるか。

process
桃の個数を$x$個とすると，\\
$200x+150(15-x) +120 \leqq 3000$\\
∴$x \leqq \displaystyle{63}{5}=12.6 \cdots$

12個

長さが100mの1本のひもから，長さが5mと3mの2種類のひもを合わせて25本切り分けるとき，
5mのひもは最大何本まで切り分けることができるか。
ただし，ひもは余ってよいものとする。

process
5mのひもの本数を$x$本とすると，\\
$3(25-x)+5x \leqq 100$，
∴$x \leqq \displaystyle\frac{25}{2}=12.5$

12本

1000円の花びん1個と1本150円の花を何本か買って，代金の合計を3000円以下にしたい。
このとき，花は最大何本まで買うことができるか。

process
花の本数を$x$本とすると，\\
$1000+150x \leqq 3000$，
$x \leqq \displaystyle\frac{40}{3}=13.\cdots$

13本

１ダースのボールペンを買うために1200円持って店に来たところ，130円のボールペンと80円のボールペンがあった。
130円のボールペンをできるだけ多く買うと，130円のボールペンは12本中\fbox{　　}本になる。

process
130円のボールペンを$x$本買うとすると，\\
$130x+80\left( 12-x \right) \leqq 1200$\\
$x\leqq \displaystyle\frac{24}{5}=4.8$

４本

1個200円の桃と1個150円の梨を合わせて15個買い、120円の箱に詰める。
その代金の合計を3000円以内にするとき、桃は最大何個まで買うことができるか。

process
桃の個数を$x$個とすると、梨の個数は$15-x$個となる。\\
$200x+150 (15-x) +120 \leqq 3000$\\
$20x+15(15-x)+12 \leqq 300$\\
$5x+237 \leqq 300$\,
$\therefore x \leqq \displaystyle\frac{63}{5}$

12個

長さが100mの1本のひもから、長さが5mと3mの2種類のひもを合わせ
て25本切り分けるとき、5mのひもは最大何本まで切り分けることができ
るか。ただし、ひもは余ってもよいものとする。

process
5mのひもの数を$x$本とすると、3mのひもの数は$25-x$本となる。\\
$5x+3\left(25-x \right) \leqq 100$\\
$\therefore x\leqq \displaystyle\frac{25}{2}=12.5$

12本

Aさんは、1か月の基本使用料が2000円で、1分ごとの通話料が25円かかる携帯電話を使っている。
1か月の基本使用料と通話料の合計を5000円以下にしたい。
このとき、Aさんは最大何分通話することができるか。

process
通話時間を$x$分とすると、\\
$25x+2000 \leqq 5000$\\
$\therefore x \leqq \displaystyle\frac{3000}{25}=120$

120分

1本130円のミルクティーと1本100円の缶コーヒーを合わせて18本買い、
その代金の合計を2000円以内にするとき、
ミルクティーは最大何本まで買うことができるか。

process
ミルクティの本数を$x$本とすると、缶コーヒーの本数は$18-x$本となる。\\
$130x +100 \left(18-x \right) \leqq 2000$\\
$\therefore x\leqq \displaystyle\frac{200}{30}=6. \cdot  \cdot \cdot$

6本

\hspace{8pt} ある整数$x$から3を引いて5倍したものは、$x$に7を加えた数より大きい。
これを満たす最小の整数を求めよ。

process
$5\left( x-3 \right)>x+7$\\
$x>\displaystyle\frac{22}{4}=\displaystyle\frac{11}{2}=5.5$

6

みやげ屋で、1個280円のお菓子と、1個200円のキーホルダーを合わせて15個買い、その代金の合計を4000円以内にしたい。
お菓子は最大何個まで買うことができるか。

process
お菓子の個数を$x$個とすると、キーホルダーの個数は$15-x$個となる。\\
$280x+200\left( 15-x \right) \leqq 4000$\\
$x \leqq \displaystyle\frac{1000}{80}=12.5$

12個

あるバス会社の一日乗車券は1600円である。
また、バスの乗車１回ごとに料金を支払う場合は均一で260円である。
同じ日に何回かバスに乗車するとき、一日乗車券を買ったほうが、
毎回バス料金を支払うより安くなる最小の乗車回数は何回か。

process
乗車回数を$x$回とすると、\\
$1600 < 260x$\\
$\therefore x> \displaystyle\frac{80}{13}=6.1\cdot \cdot \cdot$

7回

遊園地で1日5000円のフリーパス券を買う方法と、入場料1000円を払い、
1回ごとに乗り物券350円を買う方法がある。
フリーパス券の方が割安になるのは、最低何回以上乗ったときか。
ただし、フリーパス券には入場料も含まれるものとする。

process
求める回数を$x$回とすると、\\
$5000 < 1000+350x$\\
$\therefore x> \displaystyle\frac{80}{7}=11. \cdot \cdot \cdot$

12回

あるバス会社の一日乗車券は1600円である。
また，バスの乗車１回ごとに料金を支払う場合は均一で260円である。
同じ日に何回かバスに乗車するとき，一日乗車券を買ったほうが，
毎回バス料金を支払うより安くなる最小の乗車回数は\fbox{\,イ\,}回である。

process
$1600 < 260x$\\
$x> 6.\cdots$

7回

遊園地で１日5000円のフリーパス券を買う方法と，入場料
1000円を払い，１回ごとに乗り物券350円を買う方法がある。
フリーパス券の方が割安になるのは，最低\fbox{\,イウ\,}回以上乗ったときである。
ただし，フリーパス券には入場料も含まれるものとする。

process
$5000 \leqq 1000+350x$\\
$4000 \leqq 350x$~~~
$x \geqq \displaystyle\frac{80}{7}=11.\cdots$

12回

みやげ屋で，１個280円のお菓子と，１個200円のキーホルダーを合わせて15個買い，
その代金の合計を4000円以内にしたい。
お菓子は最大\fbox{\,イウ\,}買うことができる。

process
$280x+200(15-x) \leqq 4000$\\
$280x+3000-200x \leqq 4000$\\
$x \leqq \displaystyle\frac{1000}{80}=12.5$

12回

硬貨を投げて表が出たら階段を4段のぼり，裏が出たら1段のぼるゲームをする。
硬貨を10回投げて階段を30段以上のぼるためには，表は少なくとも\fbox{\,イ\,}回以上出なければならない。

process
表の回数を$x$回とすると，\\
$4x+1\times(10-x) \geqq 30$\\
$3x \geqq 20$~~~
$x \geqq \displaystyle\frac{20}{3}=6.\cdots$

7回

ある店では入会金700円を払って会員になると，
1個500円の商品を40円引きで買うことができる。
この商品を買うとき，少なくとも\fbox{\bf\,イウ\,}個以上買うと，
入会して買った方が，入会しないで買うよりも安くなる。

process
個数を$x$として支払額を比べる。\\
$500x>460x+700$\\
$x>\displaystyle\frac{70}{4}=17.\cdots$

18

ある水族館の一般の入場料は1人当たり600円である。
しかし，25人以上の団体は1人当たり500円で入場できる。
25人に満たない団体でも，25人分の団体用の入場券を購入することで
入場できる場合，少なくとも\fbox{\bf\,イウ\,}人以上のときは，
団体用の入場券を購入する方が入場券の総額が少ない。

process
$600x>500\times 25$\\
$x>20.8$

21人

1個700円の幕の内弁当と1個500円のハンバーグ弁当を合わせて12個買って，
代金の合計を7500円以下にしたい。このとき，幕の内弁当を最大\fbox{\bf\, イ \,}
個買うことができる。

process
$700x+500(12-x)\leqq 7500$\\
$x\leqq 7.5$

$7$

13からある数$x$を引いた数は，$x$を3倍した数より大きい。
このような数のうち，最大の整数は\fbox{\,\bf イ\,}である。

process
$13-x>3x$，$x<\displaystyle\frac{13}{4}=3.\cdots$

$3$

1個120円のケーキと1個90円のアイスを合わせて50個買うことにした。
代金の合計を5000円以下にするとき，ケーキは最大何個買うことができるか。

process
$120x+90(50-x) \leqq 5000$\\
$x \leqq \displaystyle\frac{500}{30}=16.\cdots$

16個

山間部のある家庭では，冬季（11月$\sim$3月）に暖房と給湯のため
灯油を購入している。
11月において，購入した灯油から暖房用として18L使用し，
残りの灯油の半分を給湯用に使用する。
給油用の灯油を30L以上にしたいとき，
購入する灯油は最低\fbox{\bf\, イウ \,}Lである。

process
購入する灯油を$x$Lとすると，\\
$\displaystyle\frac{x-18}{2}\geqq 30$，
$\therefore x\geqq 78$

$78$






[Level4]
２次方程式の文章題
積が72である，連続する2つの整数を求めよ。

process
連続する2数を，$x$，$x+1$とおくと，\\
$x(x+1)=72$。$x^2+x-72=0$。$(x+9)(x-8)=0$。∴$x=-9,8$\\
∴$(x,x+1)=(-9,-8),(8,9)$

$(-9,-8),(8,9)$

積が56である，連続する2つの整数を求めよ。

process
連続する2数を，$x$，$x+1$とおくと，\\
$x(x+1)=56$。$x^2+x-56=0$。$(x+8)(x-7)=0$。∴$x=-8,7$\\
∴$(x,x+1)=(-8,-7),(7,8)$

$(-8,-7),(7,8)$

和が15で，積が54である2つの整数を求めよ。

process
求める整数を$x$，$y$とおくと，\\
$x+y=15$…\textcircled{\small 1}\\
$xy=54$…\textcircled{\small 2}\\
\textcircled{\small 1}より$y=15-x$…\textcircled{\small 1}'\\
\textcircled{\small 1}'，\textcircled{\small 2}より$x(15-x)=54$。∴$x^2-15x+54=0$\\
∴$(x-6)(x-9)=0$。∴$x=6,9$

$6,9$

二つの正の数がある。この二つの数の差は2であり，それぞれを2乗した数の和は130である。
このとき，大きい方の数を求めよ。

process
大きい方を$x$，小さい方を$y$とすると\\
$x-y=2$　…\textcircled{\small 1}\\
$x^{2}+y^{2}=130$　…\textcircled{\small 2}\\
\textcircled{\small 1}より， $y=x-2$ これを\textcircled{\small 2}に代入して，\\
$x^{2}+(x-2)^{2}=130$\\
$x^{2}-2x-63=0$\\
$(x-9)(x+7)=0$\\
$x=9,-7$

9

ある数$x$を2乗して3倍したものから4を引くと，もとの整数$x$と等しくなった。
このとき，$x$の値を求めよ。

process
$3x^2-4=x$ \, ∴$3x^2-x-4=0$\\
$(3x-4)(x+1)=0$\\
∴$x=\displaystyle \frac{4}{3},-1$\\
$x$は整数だから，$x=-1$

$-1$

連続する二つの自然数があり，それらを2乗して加えたところ$145$になった。
このとき，二つの数のうち小さい方の数を求めよ。

process
連続する自然数を$x$，$x+1$とすると，\\
$x^2+(x+1)^2=145$，$x^2+x^2+2x+1=145$，$2x^2+2x-144=0$\\
$x^2+x-72=0$，$(x-8)(x-9)=0$\\
∴$x=8,9$

$8$

大小2つの正の整数がある。2つの数の差は5で，積は24である。
このとき，小さい方の数を求めよ。

process
小さい方の数を$x$とおくと，題意より大きい方の数は$x+5$とおける。
2つの数の積が24であることより，\\
$x(x+5)=24$,\,$x^2+5x-24=0$,\,$(x+8)(x-3)=0$
$x>0$であるので，$x=3$

$3$

$20$km離れた2点間を往復するのに，行きは予定の速さより1\,km/h速く，帰りは予定の速さより1\,km/h遅い速さで往復して，
3時間40分かかった。このとき，予定の速さを求めよ。

process
予定の速さを$x$km/hとおくと，行きの速さは$x+1$，帰りの速さは$x-1$と表せる。題意より，\\
$\displaystyle \frac{20}{x+1}+\displaystyle \frac{20}{x-1}=3+\displaystyle \frac{40}{60}$\\
$\displaystyle \frac{20}{x+1}+\displaystyle \frac{20}{x-1}=\displaystyle \frac{11}{3}$\\
両辺に$3(x-1)(x+1)$をかけると，\\
$60(x-1)+60(x+1)=11(x^2-1)$,\\
$11x^2-120x-11=0$,\,$(11x+1)(x-11)=0$\\
$x>0$であるから，$x=11$

$11$km/h

連続する2つの自然数があり，
それぞれの2乗の和は，
もとの自然数の和の6倍に7を加えた数に等しい。
この2つの自然数を求めよ。

process
求める2つの自然数を$x$，$x+1$とおくと，\\
$x^2+(x+1)^2=6(x+x+1)+7$\\
$2x^2-10x-12=0$\\
$x^2-5x-6=0$\\
$(x-6)(x+1)=0$\\
$x=6$（$\because x \geqq 1$）

$6，7$











[Level5]
２次方程式の面積に関する文章題
正方形の土地がある。この土地の縦の長さを$1m$長くし，横の長さを$3m$短くして長方形にしたら，
面積が$60cm^{2}$になった。このとき，もとの土地の一片の長さは何$m$か。

process
$(x+1)(x-3)=60$\\
$x^{2}-2x-63=0$\\
$(x+7)(x-9)=0$\\
$x=-7,9$

$9m$

正方形の畑がある。この畑の縦の長さを$1m$長くし，横の長さを$2m$長くして長方形にしたら，
面積がもとの畑の3倍になった。このとき，もとの畑の一辺の長さは何$m$か。

process
$3x^{2}=(x+1)(x+2)$\\
$2x^{2}-3x-2=0$\\
$(2x+1)(x-2)=0$\\
$x=2,-\displaystyle\frac{~1~}{2}$

2m

横の長さが縦の長さの2倍である長方形がある。いま，この長方形の縦の長さを$1cm$短くし，
横の長さを$4cm$長くしたところ，その長方形の面積が $36cm^{2}$ になった。
このとき，もとの長方形の縦の長さは何$cm$か？

process
もとの長方形の縦の長さを$x$とすると，\\
$(2x+4)(x-1)=36$\\
$2x^2+2x-40=0$
$x^2+x-20=0$\\
$(x+5)(x-4)=0$\\
$x=-5,4$。\\
$x>0$だから$4cm$

$4cm$

面積が $27cm^{2}$ である三角形がある。底辺の長さが高さより$3cm$長いとき，高さは
何$cm$か？

process
高さを$x$とおくと\\
$\displaystyle \frac{1}{2}x(x+3)=27$\\
$x^{2}+3x-54=0$\\
$(x-6)(x+9)=0$\\
$x=6,-9$

$6cm$

面積が $10cm^{2}$ である三角形がある。
この三角形の高さが，底辺の長さの2倍より$3cm$短いとき，底辺の長さは何$cm$か？

process
底辺を$x$とおくと\\
$\displaystyle \frac{1}{2}x(2x-3)=10$\\
$2x^{2}-3x-20=0$\\
$(2x+5)(x-4)=0$\\
$x=4,-\frac{~5~}{2}$

$4cm$

正方形の縦の長さを$3cm$，横の長さを$2cm$だけ長くしてできる長方形の面積が$210 cm^{2}$のとき，正方形の１辺の長さを求めなさい。

process
求める長さを$x$とおくと，$(x+3)(x+2)=210$\\
$x^{2}+5x-204=0$\\
$(x+17)(x-12)=0$\\
$x=-17,12$

$12cm$

正方形の縦の長さを$5cm$，横の長さを$2cm$だけ短くしてできる長方形の面積が$40 cm^{2}$のとき，正方形の１辺の長さを求めなさい。

process
求める長さを$x$とおくと，$(x-5)(x-2)=40$\\
$x^{2}-7x-30=0$\\
$(x-10)(x+3)=0$\\
$x=10,-3$

$10cm$

横が縦より$10cm$長い長方形がある。
この長方形の縦を２倍にし，横を$4cm$短くしてつくった長方形の面積が$80cm^{2}$になった。
もとの長方形の面積を求めなさい。

process
もとの長方形の縦$=x$，横$=x+10$。\\
変形した長方形の縦$=2x$，横$=x+6$。\\
$2x(x+6)=80$\\
$x^2+6x-40=0$\\
$(x-4)(x+10)=0$\\
∴$x=4。x+10=14$。面積$=4 \times 14=56$

$56 cm^2$

周の長さが$60cm$で，面積が$216cm^2$である長方形の2辺の長さを求めよ。

process
2辺の長さを$x,\,y$とおくと，\\
$x+y=30$…\textcircled{\small 1}\\
$xy=216$…\textcircled{\small 2}\\
\textcircled{\small 1}より$y=30-x$…\textcircled{\small 1}'\\
\textcircled{\small 1}'，\textcircled{\small 2}より$x(30-x)=216$。∴$x^2-30x+216=0$\\
$216=2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 9$。\\
∴$(x-12)(x-18)=0$。∴$x=12,18$

$12cm$と$18cm$

正方形がある。
いま，正方形の1辺を$5cm$長くし，他の1辺を$5cm$短くすると面積が$600cm^2$の長方形になるという。
この正方形の1辺の長さを求めよ。

process
正方形の1辺の長さを$x$とすると，\\
$(x+5)(x-5)=600$。$x^2=625$。∴$x=25$\,(∵$x>0$)

25cm

横の長さが縦の長さの2倍である長方形がある。
いま，この長方形の縦の長さを$1cm$短くし，横の長さを$3cm$長くしたところ，
その長方形の面積が$18 cm^2$になった。
このとき，もとの長方形の縦の長さは何$cm$か。

process
もとの長方形の縦の長さを$x$とすると，\\
$(x-1)(2x+3)=18$，$2x^2+3x-2x-3-18=0$，$2x^2+x-21=0$，
$(2x+7)(x-3)=0$\\
∴$x=-\displaystyle \frac{7}{2},\, 3$。
$x>0$だから，$x=3$

$3cm$

正方形の畑がある。この畑の縦の長さを$1$m長くし，
横の長さを$2$m長くして長方形にしたら，
面積がもとの畑の$3$倍になった。
このとき，もとの畑の一辺の長さを求めよ。

process
もとの畑の一片の長さを$x$とすると，\\
$(x+1)(x+2)=3x^2$,\, $x^2+3x+2=3x^2$\\
$0=2x^2-3x-2$,\, $0=(2x+1)(x-2)$\\
$x=-\displaystyle \frac{1}{2},\, 2$\\
$x$は正の数だから，$x=2$

$2$m

底辺の長さが高さの2倍である三角形がある。この面積が$36cm^2$であるとき，
底辺の長さを求めよ。

process
底辺の長さを$x$とおくと，高さは$\displaystyle \frac{x}{2}$。
題意より，$\displaystyle \frac{1}{2} \times x \times \displaystyle \frac{x}{2}=36 $。
$x>0$であるので，$x=12$

$x=12 $ cm

正方形と長方形がある。長方形の縦は正方形の1辺より$5$cm長く，横は$6$cm短い。
また，長方形の面積は$42cm^2$である。このとき，正方形の1辺の長さを求めよ。

process
正方形の1辺の長さを$x$とおくと，題意より，\\
$(x-6)(x+5)-42$,\,$x^2-x-72=0$,\\
$(x+8)(x-9)=0$,\, $x=-8,\,9$。\\
$x>0$であるので，$x=9$

$9$cm

図のような2辺が$16m$，$20m$の長方形の土地がある。
土地の中に幅の等しい道路をつけたとき，面積がすべて$63m^2$の区画が4つできた。
道路の幅を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/202_方程式，不等式_文章題/pic01.tex}
\end{center}

process
道路の幅を$x$とすると，題意より，\\
$(20-x)(16-x)=4 \times 63$\\
整理すると，$x^2-36x+68=0$\\
∴$(x-2)(x-34)=0,\,x=2,34$\\
$x=34$は不適。

$2m$

まわりの長さが60mの長方形の土地がある。
この土地を前後左右に，同じ幅だけ広げて面積を$136m^2$広くしたい。
何m広げればよいですか。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/202_方程式，不等式_文章題/pic02.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/202_方程式，不等式_文章題/pic02p.tex}
\end{center}
もとの長方形の横の長さを$x$，縦の長さを$y$，求める幅を$k$とすると，題意より\\
$x+y=30$…\textcircled{\small 1}\\
$(x+2k)(y+2k)-xy=136$…\textcircled{\small 2}\\
\textcircled{\small 1}，\textcircled{\small 2}より，$k^2+15k-34=0$\\
$(k+17)(k-2)=0$\,∴$k=2$

$2$m

図のような厚紙を両側から同じ長さで折り，断面積を$80 \rm cm^2$にしたい。
両側から何cmのところで折るとよいですか。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/202_方程式，不等式_文章題/pic03.tex}
\end{center}

process
求める長さを$x\,$cmとすると，\\
$x(26-2x)=80$\\
$x^2-13x+40=0$，$(x-5)(x-8)=0$，
$x=5,\,8$

5cm，8cm

縦が18m，横が12mの土地に，図のように縦，
横に同じ幅の通路をつけて，
残りを花だんにしたい。
花だんの面積が${\rm 160 m^2}$になるようにするには，
通路の幅を何mにすればよいか。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/202_方程式，不等式_文章題/fig76.tex}
\end{center}

process
通路の幅を$x$mとすると，\\
$(12-x)(18-x)=160$\\
$(x-12)(x-18)=160$\\
$x^2-30x+56=0$\\
$(x-28)(x-2)=0 \therefore x=2,28$\\
通路の幅は横の長さよりも短いので$x=2$

2m

横が縦より$6 cm$長い長方形がある。
長方形の面積が$40 cm^2$のとき，縦の長さを求めよ。

process
縦の長さを$x$とおくと，\\
$x(x+6)=40$\\
$x^2+6x-40=0$\\
$(x+10)(x-4)=0$\\
$x>0$より$x=4$

$4cm$

横が縦より$8 cm$長い長方形がある。
長方形の面積が$20 cm^2$のとき，縦の長さを求めよ。

process
縦の長さを$x$とおくと，\\
$x(x+8)=20$\\
$x^2+8x-20=0$\\
$(x+10)(x-2)=0$\\
$x>0$より$x=2$

$2cm$

高さが底辺より3cm長い三角形があり，面積は$27 {\rm cm}^2$
である。この三角形の底辺の長さを求めよ。

process
底辺の長さを$x$とおく。
題意より，\\
$27=\displaystyle\frac{1}{2} x(x+3)$\\
$x^2+3x-54=(x+9)(x-6)=0$\\
$x>0$であるから$x=6$

$6$








[Level6]
連立方程式の文章題（基本）
1冊120円のノートAと1冊180円のノートBを合わせて9冊買い，代金1,320円をはらった。
ノートAとノートBをそれぞれ何冊買ったか。

process
Aを$x$，Bを$y$とすると\\
$x+y=9$　…\textcircled{\small 1}\\
$120x+180y=1320$。∴$12x+18y=132$　…\textcircled{\small 2}\\
\textcircled{\small 1} $\times-12$:\,$-12x-12y=-108$…\textcircled{\small 1}'\\
\textcircled{\small 2}+\textcircled{\small 1}':\,$6y=24$\,∴$y=4$\\

Aは5冊，Bは4冊

1個50円のみかんと，1個80円のなしを合わせて10個買って代金680円を払った。
それぞれ何個買ったか。

process
みかんを$x$，なしを$y$とすると\\
$x+y=10$　…\textcircled{\small 1}\\
$50x+80y=680$。∴$5x+8y=68$　…\textcircled{\small 2}\\
\textcircled{\small 1} $\times-5$:\,$-5x-5y=-50$…\textcircled{\small 1}'\\
\textcircled{\small 2}+\textcircled{\small 1}':\,$3y=18$\,∴$y=6$\\

みかん4個，なし6個

鉛筆4本とノート3冊の代金は680円，鉛筆3本とノート6冊の代金は960円である。
鉛筆1本，ノート1冊はそれぞれいくらか。

process
鉛筆の価格を$x$，ノートの価格を$y$とすると\\
$4x+3y=680$　…\textcircled{\small 1}\\
$3x+6y=960$　…\textcircled{\small 2}\\
\textcircled{\small 1} $\times-2$:\,$-8x-6y=-1360$…\textcircled{\small 1}'\\
\textcircled{\small 1}'+\textcircled{\small 2}:\,$-5x=-400$\,∴$x=80$円\\
上式を\textcircled{\small 1}に代入して，$y=120$円

鉛筆は$80$円，ノートは$120$円

A，B2種類の商品がある。
A2個とB4個では420円，A4個とB6個では680円である。
Aはいくらか。

process
Aの価格を$x$，Bの価格を$y$とすると，\\
$2x+4y=420$…\textcircled{\small 1}\\
$4x+6y=680$…\textcircled{\small 2}\\
\textcircled{\small 1}$\times 2:\,4x+8y=840$…\textcircled{\small 1}'\\
\textcircled{\small 2}$\times (-1):\,-4x-6y=-680$…\textcircled{\small 2}'\\
\textcircled{\small 1}'+\textcircled{\small 2}'より$2y=160$。∴$y=80$。\\
上式を\textcircled{\small 1}に代入して，$x=50$

50円

1個120円のなしと1個180円のりんごがある。1600円で，このなしとりんごを合わせて10個買って，箱づめにしたい。
箱代は160円とする。なしとりんごの個数を求めよ。

process
なしの個数を$x$，りんごの個数を$y$とすると，\\
$120x+180y+160=1600$\\
∴$12x+18y=144$…\textcircled{\small 1}\\
$x+y=10$…\textcircled{\small 2}\\
\textcircled{\small 2}$\times (-12):\,-12x-12y=-120$…\textcircled{\small 2}'\\
\textcircled{\small 1}+\textcircled{\small 2}':\, $6y=24$。$y=4$。\textcircled{\small 2}に代入して，$x=6$

なしは6個，りんごは4個

2000円を持ってジュースを買いに行ったところ，大びん12本と小びん8本を買うと80円不足し，
大びん8本と小びん12本を買うと80円余ることがわかった。
このジュースの大びん1本，小びん1本の値段はそれぞれいくらか。

process
大びんを$x$円，小びんを$y$円とすると，\\
$12x+8y=2080$。∴$3x+2y=520$…\textcircled{\small 1}\\
$18x+12y=1920$。∴$2x+3y=480$…\textcircled{\small 2}\\
\textcircled{\small 1}$\times 3:9x+6y=1560$…\textcircled{\small 1}'\\
\textcircled{\small 2}$\times(-2): -4x-6y=-960$…\textcircled{\small 2}'\\
\textcircled{\small 1}'+\textcircled{\small 2}':\,$5x=600$。∴$x=120$。\textcircled{\small 1}に代入して$y=80$

大びんは120円，小びんは80円

あるガス会社のガス使用料金は，ガスの使用量に応じて（基本料金）+（ガス$1m^3$あたりの価格）$\times$
（ガスの使用量）で計算される。ガスの使用量が$6m^3$のときの料金は，$1340$円であり，ガスの使用量が
$10m^3$のときの料金は，1780円である。
ガスの使用量が$12 m^3$のときの料金を求めよ。

process
基本料金を$x$円，$1m^3$あたりの単価を$y$円とすると，\\
$x+6y=1340$…\textcircled{\small 1}\\
$x+10y=1780$…\textcircled{\small 2}\\
\textcircled{\small 2}$-$\textcircled{\small 1}:\,$4y=440$。∴$y=110$円。\textcircled{\small 2}に代入して，$x=680$円。\\
よって，$12 m^3$のときの料金は，\\
$680+12 \times 110=2000$

2000円

ある美術館の入館料は，大人が300円，小人が100円である。ある日の入館人数は320人で，入館料の総額は74,000円であった。
大人と小人の入館人数はそれぞれ何人か。

process
大人が$x$人，小人が$y$人，入館したとすると，題意より，\\
$\left\{ 
\begin{array}{l}
x+y=320 \\
300x+100y=74000
\end{array} \right.$\\
$(1) \times(-100):-100x-100y=32000$\\
$(2):300x+100y=74000$

$x=210,y=110$

兄弟2人で6,000円の品物を買うために，兄は所持金の$\displaystyle \frac{1}{2}$を，弟は所持金の$\displaystyle \frac{2}{5}$
を出し合った。残りの金額を比べたら，兄の方が500円多かった。兄の初めの所持金はいくらか。

process
兄の所持金を$x$円，弟の初めの所持金を$y$円とすると，題意より，\\
$\left\{ 
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{1}{2}x+\displaystyle \frac{2}{5}y=6000 \\
\displaystyle \frac{1}{2}x-\displaystyle \frac{3}{5}y=500
\end{array} \right.$\\
$(1) :\displaystyle \frac{1}{2}x+\displaystyle \frac{2}{5}y=6000$\\
$(2) \times (-1):-\displaystyle \frac{1}{2}x+\displaystyle \frac{3}{5}y=-500$\\
$∴ y=5500$

$x=7,600$円

ある会社の社員数は171人である。
そして男性の40％と女性の50％が電車通勤をしており，その人数は等しい。
この会社の女性の社員数を求めよ。

process
男性の人数を$x$人，女性の人数を$y$人とすると，\\
$x+y=171$\,…\textcircled{\small 1}\\
$0.4x=0.5y$\,…\textcircled{\small 2}\\
したがって，\\
$-4x-4y=-4\times 171$\,…\textcircled{\small 1}$'$\\
$4x=5y$\,…\textcircled{\small 2}$'$\\
\textcircled{\small 1}$'+$\textcircled{\small 2}$':\,-4y=5y-4\times 171$，∴$y=76$

76人

昨年は新入社員を150人採用したが，今年は6人多かった。
昨年より男子は10％減，女子は20％増だった。
今年の男子，女子はそれぞれ何人採用しましたか。

process
$昨年の男子をx，女子をy$とおくと，\\
昨年：$x+y=150$\,…\textcircled{\small 1}\\
今年：$0.9x+1.2y=156$\,…\textcircled{\small 2}\\
したがって，\\
$-9x-9y=-9 \times 150$…\textcircled{\small 1}$'$\\
$9x+12y=1560$…\textcircled{\small 2}$'$\\
\textcircled{\small 1}$'+$\textcircled{\small 2}$'$：$3y=210$，∴$y=70$。\\
$1.2y=84$人。$0.9x=156-84=72人$

男子は72人，女子は84人









[Level7]
連立方程式の文章題（応用）
A，B2種類の合金がある。
Aは銅60\%と亜鉛30\%をふくみ，Bは銅50\%と亜鉛45\%をふくんでいる。
この2種類の合金を混ぜて，銅4\,kgと亜鉛3\,kgをふくむ合金を作るには，A，Bをそれぞれ何kg混ぜればよいか。

process
Aを$a$\,kg，Bを$b$\,kgとすると，\\
$0.60a+0.50b=4$\,…\textcircled{\small 1}\\
$0.30a+0.45b=3$\,…\textcircled{\small 2}\\
\textcircled{\small 2}$\times(-1)$:\,$-0.60a-0.90b=-6$…\textcircled{\small 2}'\\
\textcircled{\small 1}+\textcircled{\small 2}':\,$-0.40b=-2$。∴$b=5$\\
上式を\textcircled{\small 1}に代入して，$a=2.5$

Aを2.5kg，Bを5kg

A，B2種類の食塩水を混ぜ合わせて，600gの食塩水をつくりたい。
Aを400g，Bを200g混ぜると12\%になり，Aを150g，Bを450g混ぜると7\%になる。
それぞれの濃度を求めよ。

process
Aの濃度を$x\, \%$，Bの濃度を$y\, \%$とすると，\\
$400 \times \displaystyle \frac{x}{100}+200 \times \displaystyle \frac{y}{100}=600 \times \displaystyle \frac{12}{100}$\\
∴$4x+2y=72$…\textcircled{\small 1}\\
$150 \times \displaystyle \frac{x}{100}+450 \times \displaystyle \frac{y}{100}=600 \times \displaystyle \frac{7}{100}$\\
∴$x+3y=28$…\textcircled{\small 2}\\
\textcircled{\small 2}$\times (-4):\, -4x-12y=-112$…\textcircled{\small 2}'。\\
\textcircled{\small 1}+\textcircled{\small 2}'より，$y=4$。\textcircled{\small 2}に代入して，$x=16$

Aの濃度は16\%，Bの濃度は4\%

A，B2種類の合金がある。
Aは銅を20\%含み，Bは銅を35\%含んでいる。
A，Bの合金を混ぜて銅を30\%含む合金を120gつくるには，A，Bそれぞれ何gずつ混ぜればよいか。

process
Aを$x$\,kg，Bを$y$\,kgとすると，\\
$\displaystyle \frac{20}{100} x+ \displaystyle \frac{35}{100} y=120 \times \displaystyle \frac{30}{100}$\\
$20x+35y=3600$…\textcircled{\small 1}\\
$x+y=120$…\textcircled{\small 2}\\
\textcircled{\small 2} $\times (-20):-20x-20y=-2400$…\textcircled{\small 2}'\\
\textcircled{\small 1}+\textcircled{\small 2}':$15y=1200$。∴$y=80$。\textcircled{\small 2}に代入して，$x=40$

Aは40g，Bは80g







[EOF]

