% %以下の文をコメント文としたいのですが，現時点ではまだできません。
% 問題のタイトル
[Title]
405_sincos

% 問題文
% 何も書かなければ，[Level1]等に書いたものがそのまま問題文となる。
[Problem]
次の問いに答えよ。
% フォントの大きさ。1〜10，またはTeXのコマンドを指定する。
% デフォルトは，5（\normalsize）
% 1は\tiny， 2は\scriptsize，3は\footnotesize，4は\small， 5は\normalsize
% 6は\large，7は\Large，     8は\LARGE，       9は\huge， 10は\Huge
[FontSize]
5

% プリアンブルに追加したいパッケージファイルを指定する。
[usepackage]
\usepackage{color,amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pxrubrica}

% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付ける場合は，　ON または1
% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付けない場合は，OFFまたは0
% 「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の下にある設定を
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　無視する場合に指定してください。
% 何も記述しなければ，「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　下にある設定が優先されます。
[displaystyle]
OFF


% Level1の問題を書く。以下Level7まで同様。
% 1行目には詳細設定のタイトルを書く。
% 2行目以降に問題とその解答を書く。
% 問題と解答，解答と問題は１行ずつあけて書く。
% 計算過程がある場合は，問題と解答の間に１行ずつ間隔をあけ，
% 最初にprocessという行を作り，その次の行から計算過程を書いていく。
[Level1]
三角比
図の直角三角形で，$ \sin 30°$，$ \cos 30°$，$ \tan 30°$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic23.tex}
\end{center}

$ \sin 30°=\displaystyle \frac{1}{2}$，$ \cos 30°=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$ \tan 30°=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$

図の直角三角形で，$ \sin 45°$，$ \cos 45°$，$ \tan 45°$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic24.tex}
\end{center}

$ \sin 45°=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$，$ \cos 45°=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$，
$ \tan 45°=1$

図の直角三角形で，$ \sin 60°$，$ \cos 60°$，$ \tan 60°$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic25.tex}
\end{center}

$ \sin 60°=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$，$ \cos 60°=\displaystyle \frac{1}{2}$，
$ \tan 60°=\sqrt{3}$

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic02.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}$，
$ \tan \theta=\displaystyle \frac{1}{2}$

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic03.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{2}{\sqrt{29}}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{5}{\sqrt{29}}$，
$ \tan \theta=\displaystyle \frac{2}{5}$

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic06.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{4}{5}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{3}{5}$，
$ \tan \theta=\displaystyle \frac{4}{3}$

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic09.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{8}{17}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{15}{17}$，
$ \tan \theta=\displaystyle \frac{8}{15} $

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic10.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{2}{3}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}$，
$ \tan \theta=\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}} $

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic11.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{5}{13}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{12}{13}$，
$ \tan \theta=\displaystyle \frac{5}{12} $

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic12.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}$，
$ \tan \theta=3 $

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic15.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{3}{4}$，
$ \tan \theta=\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3} $

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic04.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{8}{17}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{15}{17}$，
$ \tan \theta=\displaystyle \frac{8}{15}$

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic05.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{12}{13}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{5}{13}$，
$ \tan \theta=\displaystyle \frac{12}{5}$

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic07.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{1}{3}$，
$ \tan \theta=2 \sqrt{2}$

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic08.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}$，
$ \tan \theta=2 $

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic13.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{6}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{5}{6}$，
$ \tan \theta=\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{5} $

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic16.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{5}{7}$，
$ \tan \theta=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{5} $

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic17.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{3}{\sqrt{13}}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{2}{\sqrt{13}}$，
$ \tan \theta=\displaystyle \frac{3}{2} $

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic18.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{2}{\sqrt{13}}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{3}{\sqrt{13}}$，
$ \tan \theta=\displaystyle \frac{2}{3} $

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic14.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{6}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{5}{6}$，
$ \tan \theta=\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{5} $

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic19.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{3}{5}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{4}{5}$，
$ \tan \theta=\displaystyle \frac{3}{4}$

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic20.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{3}{\sqrt{34}}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{5}{\sqrt{34}}$，
$ \tan \theta=\displaystyle \frac{3}{5} $

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic21.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{5}{6}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{6}$，
$ \tan \theta=\displaystyle \frac{5}{\sqrt{11}} $

図の直角三角形で，$ \sin \theta$，$ \cos \theta$，$ \tan \theta$を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic22.tex}
\end{center}

$ \sin \theta=\displaystyle \frac{\sqrt{65}}{9}$，$ \cos \theta=\displaystyle \frac{4}{9}$，
$ \tan \theta=\displaystyle \frac{\sqrt{65}}{4}$








[Level2]
長さを三角比を用いて表す
図の直角三角形で，次の長さ$x$を，角$\theta$の三角比で表せ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic301.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle\frac{x}{2}=\sin \theta$\\
$\therefore x=2\sin\theta$

$2\sin\theta$

図の直角三角形で，次の長さ$x$を，角$\theta$の三角比で表せ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic302.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle\frac{x}{3}=\tan \theta$\\
$\therefore x=3\tan\theta$

$3\tan\theta$

図の直角三角形で，次の長さ$x$を，角$\theta$の三角比で表せ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic303.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle\frac{x}{2}=\cos \theta$\\
$\therefore x=2\cos\theta$

$2\cos\theta$

図の直角三角形で，次の長さ$x$を，角$\theta$の三角比で表せ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic304.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle\frac{x}{3}=\cos \theta$\\
$\therefore x=3\cos\theta$

$3\cos\theta$

図の直角三角形で，次の長さ$x$を，角$\theta$の三角比で表せ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic305.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle\frac{x}{1}=\sin \theta$\\
$\therefore x=1\sin\theta$

$\sin\theta$

図の直角三角形で，次の長さ$x$を，角$\theta$の三角比で表せ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic306.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle\frac{x}{1}=\tan \theta$\\
$\therefore x=1\tan\theta$

$\tan\theta$

図の三角形で，$\sin A=\displaystyle\frac{1}{3}$，$c=12$のとき，BCの長さを求めよ。\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic401.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle\frac{\rm BC}{12}=\displaystyle\frac{1}{3}$\\
${\rm BC}=12 \times \displaystyle\frac{1}{3}=4$

$4$

図の三角形で，$\tan A=\displaystyle\frac{1}{2}$，$b=4$のとき，BCの長さを求めよ。\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic402.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle\frac{\rm BC}{4}=\displaystyle\frac{1}{2}$\\
${\rm BC}=4 \times \displaystyle\frac{1}{2}=2$

$2$

図の三角形で，$\cos A=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$，$c=5$のとき，ACの長さを求めよ。\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic403.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle\frac{\rm AC}{5}=\displaystyle\frac{1}{2}$\\
${\rm AC}=5 \times \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}=\displaystyle\frac{5}{\sqrt{2}}=\displaystyle\frac{5\sqrt{2}}{2}$

$\displaystyle\frac{5\sqrt{2}}{2}$













[Level3]
基本的な三角比の値（180°まで）
次の表の空欄を埋めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic_basic180s.tex}
\end{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} 
\hline
　\textcircled{\small 6}　& 　\textcircled{\small 5}　 & 　\textcircled{\small 4}　 & 　\textcircled{\small 3}　 & 　\textcircled{\small 2}　 & 　\textcircled{\small 1}　 \\ \hline
   &    &    &    &    & \\
   &    &    &    &    & \\
   &    &    &    &    & \\
\hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} 
\hline
　\textcircled{\small 6}　& 　\textcircled{\small 5}　 & 　\textcircled{\small 4}　 & 　\textcircled{\small 3}　 & 　\textcircled{\small 2}　 & 　\textcircled{\small 1}　 \\ \hline
 $\displaystyle \frac{1}{2}$  & $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ &  $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\displaystyle \frac{1}{2}$\\
   &    &    &    &    & \\
\hline
\end{tabular}

次の表の空欄を埋めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic_basic180c.tex}
\end{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} 
\hline
　\textcircled{\scriptsize 12}　& 　\textcircled{\scriptsize 11}　 & 　\textcircled{\scriptsize 10}　 & 　\textcircled{\small 9}　 & 　\textcircled{\small 8}　 & 　\textcircled{\small 7}　 \\ \hline
   &    &    &    &    & \\
   &    &    &    &    & \\
   &    &    &    &    & \\
\hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} 
\hline
　\textcircled{\scriptsize 12}　& 　\textcircled{\scriptsize 11}　 & 　\textcircled{\scriptsize 10}　 & 　\textcircled{\small 9}　 & 　\textcircled{\small 8}　 & 　\textcircled{\small 7}　 \\ \hline
 $-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$  & $-\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ & $-\displaystyle \frac{1}{2}$ & $\displaystyle \frac{1}{2}$ &  $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$\\
   &    &    &    &    & \\
\hline
\end{tabular}














[Level4]
30°，45°，60°
$\cos ^2 30^\circ\times\tan ^2 30^\circ$の値は$\displaystyle\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{\,エ\,}}$である。

process
$\left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2\times\left( \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2=\displaystyle\frac{3}{4}\times\displaystyle\frac{1}{3} =\displaystyle\frac{1}{4}$

$\displaystyle\frac{1}{4}$

次の式の値を求めなさい。\\
$\sin 30°-\cos 60°+\tan 45°$

process
$\displaystyle \frac{1}{2}-\displaystyle \frac{1}{2}+1$

$1$

次の式の値を求めなさい。\\
$\sin 60°\times \cos 30°\times \tan 45°$

$\displaystyle \frac{3}{4}$

次の式の値を求めなさい。\\
$\sin 30°+ \cos 60°$

process
$\displaystyle \frac{1}{2}+\displaystyle \frac{1}{2}$

$1$

次の式の値を求めなさい。\\
$\tan 45°- \cos 60°$

process
$1-\displaystyle \frac{1}{2}$

$\displaystyle \frac{1}{2}$

次の式の値を求めなさい。\\
$\sin 30°+ \cos 60°+\tan 45°$

process
$\displaystyle \frac{1}{2}+\displaystyle \frac{1}{2}+1$

$2$

次の式の値を求めなさい。\\
$\tan 45°\sin 60°$

process
$1 \times \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

次の式の値を求めなさい。\\
$4(\sin 30°)(\cos 45°)$

process
$4 \times \displaystyle \frac{1}{2} \times \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2}$

次の式の値を求めなさい。\\
$(1+\sin 45°+\sin 30°)(1-\cos 45°+\cos 60°)$

process
$\left( 1+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}+\displaystyle \frac{1}{2} \right)
\left( 1-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}+\displaystyle \frac{1}{2} \right)
=\left( \displaystyle \frac{3}{2}+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \right)
\left( \displaystyle \frac{3}{2}-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$

$\displaystyle \frac{7}{4}$

図の三角形ABCにおいて，\\ $\angle A=45°,\,\angle B=30°,\,$ BC$=6cm$\\ である。
このときACの長さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic237.tex}
\end{center}

process
点Cから線分ABへ下した垂線の足をHとすると，\\
CH:CB$=1:2$より，CH=3 cm，CH:AC=$1:\sqrt{2}$より，CH=$3 \sqrt{2}$\\
$\displaystyle\frac{\rm AC}{\sin 30^\circ}=\displaystyle\frac{6}{\sin 45^\circ}$\\
$\displaystyle\frac{\rm AC}{1/2}=\displaystyle\frac{6}{\sqrt{2}/2}$\\
${\rm AC}= \displaystyle\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$

$3 \sqrt{2} cm$

図の三角形ABCにおいて，\\ $\angle A=30°,\,\angle B=45°,\,$ BC$=4cm$\\ である。
このときACの長さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic205.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic205p.tex}
\end{center}
$\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}} \times 2=4 \sqrt{2}$

$4 \sqrt{2} cm$

次の式の値を求めなさい。\\
$\sin 30^\circ  \cos 30 ^\circ$

process
$\displaystyle\frac{1}{2}\times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}$

次の式の値を求めなさい。\\
$\left( \sin 60^\circ + \cos 45 ^\circ\right)\left( \cos 30^\circ - \sin 45 ^\circ\right)$

process
$\left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} + \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$\\
$=\left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 - \left( \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\displaystyle\frac{1}{4}$

$\displaystyle\frac{1}{4}$

$\cos 45^\circ\times\tan 45^\circ$の値は
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\fbox{\,ウ\,}}}$である。

process
$\cos 45^\circ=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$，
$\tan 45^\circ=1$であるから，\\
$\cos 45^\circ\times\tan 45^\circ =\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \times 1=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$

2

次の式の値を求めよ。\\
$\sin {30}^\circ \cos {60}^\circ +\sin {60}^\circ\cos {30}^\circ $

process
$\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}=1$

$1$

次の式の値を求めよ。\\
$\sin 30°+ \cos 60°-\tan 45°$

process
$\displaystyle \frac{1}{2}+\displaystyle \frac{1}{2}-1=0$

$0$

次の式の値を求めよ。\\
$\sin 45°\times \cos 45°-\tan 60°\times \tan 30°$

process
$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \times \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} 
-\sqrt{3}\times \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}=-\displaystyle \frac{1}{2} $

$-\displaystyle \frac{1}{2} $

$\sin{30}^{\circ} \cos{60}^{\circ}+\cos{30}^{\circ} \sin{60}^{\circ}$
の値は\fbox{\bf \hspace{2pt} ウ \hspace{2pt}}である。

process
$\displaystyle\frac{1}{2} \times \displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\times \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}=1$

$1$





[Level5]
三角比の利用
図のように，傾斜角が20°で水平距離ABが$10m$のエスカレーターがある。
このとき，このエスカレーターで上る高さBCはおよそ何$m$か。
小数第1位まで求めよ。
必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 20°=0.3420,\, \cos 20°=0.9397,\, \\ \tan 20°=0.3640$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic203.tex}
\end{center}

process
$\tan 20°=\displaystyle \frac{x}{10}$,\\
∴$x=10\times \tan 20°=10 \times 0.3640=3.64 \fallingdotseq 3.6$

$3.6m$

図のような川原がある。堤防の斜面の角度が40°で，斜面の長さが$5m$であったとき，
河川敷（かせんしき）から土手までの高さABはおよそ何$m$か。小数第1位まで求めよ。
必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 40°=0.6428,\, \cos 40°=0.7660,\, \\ \tan 40°=0.8391$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic211.tex}
\end{center}

process
$\sin 40°=\displaystyle \frac{y}{5}$,\\
∴$y=5\times \sin 40°=5 \times 0.6428=3.214 \fallingdotseq 3.2$

$3.2m$

図のような，脚の長さが$2m$の脚立（きゃたつ）がある。
開いた脚の間隔が$1.2m$であるとき，脚と地面のつくる角$\theta$の大きさは，
次の\textcircled{\small 1}〜\textcircled{\small 4}のうちどの範囲にあるか。
最も適切なものを一つ選べ。\\
\begin{tabbing}
　　　　　　　　　　　\=　　　　　　　　　　　\= \\ 
\textcircled{\small 1} $71°以上72°未満$ \>\textcircled{\small 2} $72°以上73°未満$\\
\textcircled{\small 3} $73°以上74°未満$ \>\textcircled{\small 4} $74°以上75°未満$
\end{tabbing}
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic210.tex}
\end{center}
必要であれば，次の三角比の表を利用すること。\\
\begin{table}[!h]
\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccc}
 \hline
 角 & 正弦($\sin$) & 余弦($\cos$) & 正接($\tan$) \\
 \hline
 71° & 0.9455 & 0.3256 & 2.9042 \\
 \hline
 72° & 0.9511 & 0.3090 & 3.0777 \\
 \hline
 73° & 0.9563 & 0.2924 & 3.2709 \\
 \hline
 74° & 0.9613 & 0.2756 & 3.4874 \\
 \hline
 75° & 0.9659 & 0.2588 & 3.7321 \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

process
$\cos \theta =\displaystyle \frac{0.6}{2}=0.3$\\
表の$\cos \theta$の列により，$72°以上73°未満$

\textcircled{\small 2}

公園に図のようなブランコがあり，支柱の高さABは$3.5m$，
鎖（くさり）の長さACは$3.0m$である。
このブランコに乗って勢いよくこいだところ
$\angle $BACが$33°$になった。
このとき，踏み板の地面からの高さCDはおよそ何$m$か。
小数第1位まで求めよ。必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 33°=0.5446, \ \cos 33°=0.8387,\\
\tan 33°=0.6494$\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic218.tex}
\end{center}

process
$\cos 33°=\displaystyle \frac{3.5-x}{3}$\\
∴$3.5-x=3 \cos 33°=3 \times 0.8387=2.5161$\\
$x=3.5-2.516 \fallingdotseq 1.0$

$1.0$

ある少年が\ruby{凧}{たこ}\ruby{揚}{あ}げをしたところ，図のように，凧糸の長さABが$30 $m，凧糸と水平方向のなす角は$41°$であった。
凧糸を持つ少年の手が，地面から$1.4$mの高さにあるとき，凧の地面からの高さBCはおよそ何mか。整数値で答えよ。
必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 41°=0.6561,\, \cos 41°=0.7547,\\
\tan 41°=0.8693$\\
ただし，凧糸にはたるみがなく，直線上に張られているものとする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic224.tex}
\end{center}

process
BCの長さを$x$とすると，$\sin 41°=\displaystyle \frac{x-1.4}{30}$\\
$x-1.4=30 \times \sin 41°=30 \times 0.6561=19.683$\\
∴$x=21.083 \fallingdotseq 21$

$21$m

図のような坂道がある。
この坂道の傾斜角$\theta$の大きさは次の\textcircled{\small 1}〜\textcircled{\small 4}のうちどの範囲にあるか。
最も適切なものを一つ選べ。\\
\begin{tabbing}
　　　　　　　　　　　\=　　　　　　　　　　　\= \\ 
\textcircled{\small 1} $15°以上16°未満$ \>\textcircled{\small 2} $16°以上17°未満$\\
\textcircled{\small 3} $17°以上18°未満$ \>\textcircled{\small 4} $18°以上19°未満$
\end{tabbing}
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic230.tex}
\end{center}
必要であれば，次の三角比の表を利用すること。\\
\begin{table}[!h]
\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccc}
 \hline
 角 & 正弦($\sin$) & 余弦($\cos$) & 正接($\tan$) \\
 \hline
 15° & 0.2588 & 0.9659 & 0.2679 \\
 \hline
 16° & 0.2756 & 0.9613 & 0.2867 \\
 \hline
 17° & 0.2924 & 0.9563 & 0.3057 \\
 \hline
 18° & 0.3090 & 0.9511 & 0.3249 \\
 \hline
 19° & 0.3256 & 0.9455 & 0.3443 \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

process
$\cos \theta =\displaystyle \frac{19}{20}=0.95$\\
表より，$18°以上19°未満$

\textcircled{\small 4}

次の問いに答えよ。
必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 35°=0.5736$，$\cos 35°=0.8192$，\\
$\tan 35°=0.7002$\\
　下の図のように，ある建物の高さを測るため，その建物から水平に$20m$離れた地点で，
建物の上端を見上げる角を測ったところ35°であった。\\
　目の高さが1.7mのとき，建物の高さABはおよそ何mか。
次の\textcircled{\small 1}〜\textcircled{\small 4}のうちから最も適当なものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}13.2m，　\textcircled{\small 2}14.0m，　\textcircled{\small 3}15.7m，　\textcircled{\small 4}18.1m\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic235.tex}
\end{center}

process
$AB-1.7=20 \times \tan 35°\\
=20 \times 0.7002=14.004\\
∴\,AB=14.001+1.7=15.701$

\textcircled{\small 3}

次のようなつり橋がある。
このつり橋の中央の支柱から張られたワイヤーAB，ACの長さはそれぞれ70mであり，
これらのワイヤーと橋の道路面のつくる角が40°である。
このとき，橋の長さBCは次の\textcircled{\small 1}〜\textcircled{\small 4}のうちどの範囲にあるか。最も適当なものを一つ選べ。
ただし，ワイヤーは直線上に張られているものとする。
必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 40°=0.6428$，$\cos 40°=0.7660$，\\
$\tan 40°=0.8391$\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic213.tex}
\end{center}
\textcircled{\small 1}$80$m以上$90$m未満\\
\textcircled{\small 2}$90$m以上$100$m未満\\
\textcircled{\small 3}$100$m以上$110$m未満\\
\textcircled{\small 4}$110$m以上$120$m未満\\

process
BC$=2 \times 70 \cos 40°=2 \times 70 \times 0.7660\\
=107.24$\\

\textcircled{\small 3}

下の図のようなサッカー場で，コーナーの地点Aからボールを蹴ったところ，
ボールがゴールラインから20°の方向に40m飛んだ。
このとき，ボールの落下地点Bからゴールラインまでの最短距離BCはおよそ何mか。
次の\textcircled{\small 1}〜\textcircled{\small 4}のうちから最も適切なものを一つ選べ。\\
必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 20°=0.3420,\,\cos 20°=0.9397,$\\
$\tan 20°=0.3640$\\
\textcircled{\small 1} 13.7m~~~
\textcircled{\small 2} 14.6m~~~
\textcircled{\small 3} 18.8m~~~
\textcircled{\small 4} 37.6m
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic221.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle\frac{\rm{BC}}{40}=\sin 20°$\\
∴$\rm{BC}=40 \times 0.3420=13.68$

\textcircled{\small 1}

下の図は，ビルの屋上に設置してある太陽光発電パネルを，真横から見たものである。
パネルの長さABが5mで，$\angle \rm{BAC}$の大きさが37°であるとき，高さBCはおよそ何mか。
次の\textcircled{\small 1}〜\textcircled{\small 4}のうちから最も適切なものを選べ。\\
必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 37°=0.6018,\,\cos 37°=0.7986,$\\
$\tan 37°=0.7536$\\
\textcircled{\small 1} 3.0m~~~
\textcircled{\small 2} 3.4m~~~
\textcircled{\small 3} 3.8m~~~
\textcircled{\small 4} 4.0m
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic223.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle\frac{\rm{BC}}{5}=\sin 37°$，∴$\rm{BC}=5 \sin 37°=5\times 0.6018=3.009$

\textcircled{\small 1}

下の図のように，気球が地面と10mのロープでつながれた状態で静止している。
ロープの端Aから気球の影Bまでの距離が13mであるとき，太陽高度$\theta$はおよそ何度か。
必要であれば，次の三角比の表を利用すること。\\
\begin{table}[!h]
\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccc}
 \hline
 角 & 正弦($\sin$) & 余弦($\cos$) & 正接($\tan$) \\
 \hline
 36° & 0.5878 & 0.8090 & 0.7265 \\
 \hline
 37° & 0.6018 & 0.7986 & 0.7536 \\
 \hline
 38° & 0.6157 & 0.7880 & 0.7813 \\
 \hline
 39° & 0.6293 & 0.7771 & 0.8098 \\
 \hline
 40° & 0.6428 & 0.7660 & 0.8391 \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic227.tex}
\end{center}
\textcircled{\small 1} 36°以上37°未満\\
\textcircled{\small 2} 37°以上38°未満\\
\textcircled{\small 3} 38°以上39°未満\\
\textcircled{\small 4} 39°以上40°未満

process
$\tan \theta=\displaystyle\frac{10}{13}=0.7692$\\
$0.7536<0.7692<0.7813$

\textcircled{\small 2}

\hspace{8pt} ある山のケーブルカーの軌道は水平面と$22^\circ $の傾きになっている。
このケーブルカーの\ruby{麓}{ふもと}の駅Aと山頂駅Bとの直線距離が500mであるとき，
山頂駅Bの地点は麓の駅Aの地点よりも何m高いか。\\
ただし，$\sin 22 ^\circ =0.3746$，$\tan 22^\circ=0.4040$とせよ。

process
$\displaystyle\frac{h}{500}=\sin 22^\circ$\\
$h=500 \times 0.3746=187.3$

187.3m

\hspace{8pt} 
図のようなドーム球場がある。
地点Aから頂上Bを見上げたところ，
水平方向とのなす角が31$^\circ$になった。
頂上Bの真下の地点Cから地点Aまで
距離ACは88mである。
このとき，ドームの高さBCはおおよそ何mか。
次の\textcircled{\small 1}〜\textcircled{\small 4}のうちから最も適切なものを選べ。\\
\textcircled{\small 1} 27.3~~~
\textcircled{\small 2} 45.3~~~
\textcircled{\small 3} 52.9~~~
\textcircled{\small 4} 75.4\\
ただし，必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 31^\circ = 0.5150$，$\cos 31^\circ = 0.8572$，$\tan 31^\circ = 0.6009$
\begin{figure}[!hbt]\begin{center}
  \includegraphics[width=70mm]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic261.eps}
 \end{center}\end{figure} 

process
$\displaystyle\frac{x}{88}=\tan 31^\circ$\\
$\therefore x=88 \times 0.6009 = 52.8792$

\textcircled{\small 3}

図のようにA地点でテニスのサーブを打ったところ，
ボールがB地点に着地した。
サーブの打点Pの高さは地面から2.8mであり，AB間の距離は16mだった。
このとき，$\angle $PBAの大きさは\fbox{\,ア\,}である。
ただし，$\angle $PAB$=90^\circ$とする。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを１つ選べ。\\
\hspace{8pt}ただし，必要であれば，次の三角比の表を利用すること。\\
\begin{table}[htb]
  \begin{tabular}{|c||c|c|c|} \hline
    角 & 正弦(sin) & 余弦(cos) & 正接(tan) \\ \hline \hline
    $9 ^\circ $ & 0.1564 & 0.9877 & 0.1584 \\ \hline
    $10 ^\circ $ & 0.1736 & 0.9848 & 0.1763 \\ \hline
    $11 ^\circ $ & 0.1908 & 0.9816 & 0.1944 \\ \hline
    $12 ^\circ $ & 0.2079 & 0.9781 & 0.2126 \\ \hline
    $13 ^\circ $ & 0.2250 & 0.9744 & 0.2309 \\ \hline
  \end{tabular}
\end{table} \\
\textcircled{\small 1}\,$9^\circ$以上$10^\circ$未満\\
\textcircled{\small 2}\,$10^\circ$以上$11^\circ$未満\\
\textcircled{\small 3}\,$11^\circ$以上$12^\circ$未満\\
\textcircled{\small 4}\,$12^\circ$以上$13^\circ$未満\\
\begin{figure}[!hbt]\begin{center}
  \includegraphics[width=40mm]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/h2702m0501.eps}
 \end{center}\end{figure} 

process
$\tan \angle {\rm PBA} =\displaystyle\frac{2.8}{16}=0.175$\\
$\tan 9^\circ =0.1584 < \tan \angle {\rm PBA} < 0.1763=\tan 10 ^\circ$

\textcircled{\small 1}

図のような道路の橋脚塔がある。
道路の端の地点Aから橋脚塔の先端Bを見上げたところ，
水平方向とのなす角が$85^\circ$であった。
橋脚塔の先端Bの真下の地点Cから地点Aまでの距離ACが17mであるとき，道路から
橋脚塔の先端までの高さBCはおよそ\fbox{\,ア\,}mである。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから最も適切なものを選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,194~~~
\textcircled{\small 2}\,207~~~
\textcircled{\small 3}\,388~~~
\textcircled{\small 4}\,414\\
\hspace{8pt} 必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 85^\circ=0.9962$，$\cos 85^\circ=0.0872$，\\
$\tan 85^\circ=11.4301$\\
\begin{figure}[!hbt]\begin{center}
  \includegraphics[width=60mm]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/h2701m0501.eps}
\end{center}\end{figure} 

process
$\displaystyle\frac{\rm BC}{17}=\tan 85^\circ=11.4301$\\
${\rm BC}=17\times 11.4301=194.\cdots$

\textcircled{\small 1}

下の図は，ある日の明け方に東の空で金星が輝くときの，太陽と金星と地球の位置を表した図である。太陽と地球の距離ABを1天文単位としたとき，
太陽と金星の距離ACは\fbox{\,ア\,}天文単位になる。\\
\hspace{8pt}ただし，$\angle {\rm ABC}=46^\circ$，$\angle {\rm ACB}=90^\circ$とする。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから最も適切なものを一つ選べ。\\
\hspace{8pt}必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 46^\circ=0.7193$，~~~
$\cos 46^\circ=0.6947$，\\
$\tan 46^\circ=1.0355$\\
\textcircled{\small 1}\,0.6947~~~
\textcircled{\small 2}\,0.7193~~~
\textcircled{\small 3}\,0.8165~~~
\textcircled{\small 4}\,0.9657\\
\begin{figure}[!hbt]\begin{center}
  \includegraphics[width=50mm]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/h2601m0501.eps}
 \end{center}\end{figure} 

process
$\displaystyle\frac{\rm AC}{\rm AB}=\sin 46^\circ$\\
${\rm AC=AB}\times \sin 46^\circ=1 \times 0.7193=0.7193$

\textcircled{\small 2}

下の図のようにドローンを地点Aから飛ばした。
地点Bからドローンを見上げたところ，水平方向となす角が${43}^\circ$
になった。ドローンの真下の地点Aから地点Bまでの水平距離ABは400mである。
このとき，ドローンの高さACはおよそ\fbox{\bf\,ア\,}\,$\rm m$である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから最も適切なものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,273~~~
\textcircled{\small 2}\,293~~~
\textcircled{\small 3}\,373~~~
\textcircled{\small 4}\,429\\
\hspace{8pt} 必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 43^\circ=0.6820$，$\cos 43^\circ=0.7314$，\\
$\tan 43^\circ=0.9325$\\
\begin{figure}[!hbt]\begin{center}
  \includegraphics[width=60mm]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/h2801501.eps}
\end{center}\end{figure} 

process
$\displaystyle\frac{\rm AC}{400}=\tan 43^\circ=0.9325$\\
${\rm AC}=400\times 0.9325=373$

\textcircled{\small 3}

図のように，天井から${\rm 50cm}$のひもABで球が\ruby{吊}{つ}り下げられている。
球を弾いたところ，ひもが鉛直方向と${52}^\circ$の角をなす位置まで，球が振れた。
図で，最初の位置より上方へ動いた距離BCはおよそ\fbox{\,\bf ア\,}cmである。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから最も適切なものを一つ選べ。\\
\hspace{8pt}なお必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin{52}^{\circ}=0.7880$，$\cos{52}^{\circ}=0.6157$，$\tan{52}^{\circ}=1.2799$\\
\textcircled{\small 1}\,$10.6$~~~
\textcircled{\small 2}\,$19.2$~~~
\textcircled{\small 3}\,$30.8$~~~
\textcircled{\small 4}\,$39.4$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/h29020501.tex}
\end{center}

process
${\rm AC}=50\times \cos{52}^{\circ}=30.785$\\
${\rm AC}=50-30.785=19.215$

\textcircled{\small 2}

必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
\hspace{8pt} 山の斜面を一気に駆け上がる登山レースが行われた。
スタート地点Aからゴール地点Bまでの直線距離${\rm AB}$は$10000{\rm m}$
，山の標高差BCは$2100{\rm m}$である。
このとき$\angle {\rm BAC}$は\fbox{\bf ア}である。
ただし，$\angle {\rm ACB}={90}^{\circ}$とする。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,${11}^{\circ}$以上${12}^{\circ}$未満~~~
\textcircled{\small 2}\,${12}^{\circ}$以上${13}^{\circ}$未満\\
\textcircled{\small 3}\,${13}^{\circ}$以上${14}^{\circ}$未満~~~
\textcircled{\small 4}\,${14}^{\circ}$以上${15}^{\circ}$未満
\begin{figure}[!hbt]\begin{center}
  \includegraphics[width=40mm]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/h2802m501.eps}
 \end{center}\end{figure} 
 \begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|c||c|c|c|}
\hline
 角 & 正弦(sin) & 余弦(cos) & 正接(tan) \\ \hline
 ${11}^{\circ}$ & $0.1908$ & $0.9816$ & $0.1944$ \\ \hline
  ${12}^{\circ}$ & $0.2079$ & $0.9781$ & $0.2126$ \\ \hline
   ${13}^{\circ}$ & $0.2250$ & $0.9744$ & $0.2309$ \\ \hline
  ${14}^{\circ}$ & $0.2419$ & $0.9703$ & $0.2493$ \\ \hline
  ${15}^{\circ}$ & $0.2588$ & $0.9659$ & $0.2679$ \\ \hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}

process
$0.2079<\sin {\rm A}=\displaystyle\frac{2100}{10000}=0.21<0.2250$

\textcircled{\small 2}

必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin {75}^{\circ}=0.9659$，$\cos {75}^{\circ}=0.2588$，$\tan {75}^{\circ}=3.7321$\\
\hspace{8pt} 図は，
ある川の岸の地点Aから反対側の岸の地点Bに船で向かう様子である。
この後，船は流されて地点Cに到着した。2点B，C間の距離が${\rm 40m}$で
$\angle {\rm ACB}={75}^{\circ}$，$\angle {\rm ABC}={90}^{\circ}$であるとき，
2点A，B間の距離はおよそ\fbox{\bf\hspace{2pt} ア \hspace{2pt}}\, mである。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから最も適切なものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$10.4$~~~
\textcircled{\small 2}\,$38.6$~~~
\textcircled{\small 3}\,$149.3$~~~
\textcircled{\small 4}\,$154.6$
\begin{figure}[!hbt]\begin{center}
  \includegraphics[width=40mm]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/h2801m501.eps}
 \end{center}\end{figure}

process
$\displaystyle\frac{\rm AB}{40}=\tan {75}^{\circ}$\\
${\rm AB}=40\times 3.7321=149.284 \fallingdotseq  149.3$

\textcircled{\small 3}

図は，スキーのジャンプ台を横から見た図である。
ある選手が踏切地点Aでジャンプし，Aから距離${\rm 110m}$，
水平面から\ruby{俯角}{ふ|かく}${35}^\circ$
の地点Bに着地した。
このとき，着地点と踏切地点との高低差BCは，およそ\fbox{\bf\, ア \,}\,${\rm m}$である。
ただし，$\angle {\rm ACB}={90}^\circ$とする。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから最も適切なものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$63.1$~~~
\textcircled{\small 2}\,$77.0$~~~
\textcircled{\small 3}\,$90.1$~~~
\textcircled{\small 4}\,$191.8$\\
\hspace{8pt}
ただし，必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin {35}^\circ=0.5736$~~~
$\cos {35}^\circ=0.8192$\\
$\tan {35}^\circ=0.7002$
\begin{figure}[!hbt]\begin{center}
  \includegraphics[width=70mm]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/h3001501.eps}
 \end{center}\end{figure} 

process
${\rm BC}=110\times \sin{35}^\circ=110\times 0.5736\fallingdotseq 63.1$

\textcircled{\small 1}

必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin {57}^\circ=0.8387$，$\cos {57}^\circ=0.5446$，$\tan {57}^\circ=1.5399$\\
\hspace{8pt} 下の図のような観覧車がある。
観覧車の最も高い位置にあるゴンドラAの真下の地点Bから$20{\rm m}$離れた地点をCとする。\\
$\angle {\rm ACB}={57}^\circ$
，$\angle {\rm ABC}={90}^\circ$であるとき，高さABはおよそ\fbox{\bf\hspace{4pt} ア \hspace{4pt}}\,mである。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから最も適切なものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$10.9$~~~
\textcircled{\small 2}\,$16.8$~~~
\textcircled{\small 3}\,$30.8$~~~
\textcircled{\small 4}\,$36.7$
\begin{figure}[!hbt]\begin{center}
  \includegraphics[width=50mm]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/h31m501.eps}
 \end{center}\end{figure}

process
$20 \times \tan{57}^\circ=20\times 1.5399=30.7980$

\textcircled{\small 3}

次の図のような木造の建物がある。
地点AからBまでは階段があり，建物の高さCDについて，${\rm CD=2BD}$である。
AB間の距離は$100{\rm m}$，$\angle {\rm BAD}={14}^\circ$，
$\angle {\rm ADB}={90}^\circ$であった。
このとき，建物の高さCDはおよそ\fbox{\bf\, ア \,}mである。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}
のうちから最も適切なものを一つ選べ。
必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin {14}^\circ=0.2419$，$\cos {14}^\circ=0.9703$，
$\tan {14}^\circ=0.2493$\\
\textcircled{\small 1}\,$24.2$~~~
\textcircled{\small 2}\,$48.4$~~~
\textcircled{\small 3}\,$49.9$~~~
\textcircled{\small 4}\,$97.0$
\begin{figure}[!hbt]\begin{center}
  \includegraphics[width=50mm]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/h3101m501.eps}
 \end{center}\end{figure} 

process
$\sin {14}^\circ=\displaystyle\frac{BD}{100}$~~~
$BD=100\times 0.2419=24.19$

\textcircled{\small 2}





[Level6]
三角比の相互関係（θは鋭角）
Aが鋭角で，$\sin A=\displaystyle \frac{2}{5}$のとき，
$\cos A$の値を求めよ。

process
$x^2+2^2=5^2$，∴$x=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$

$\cos A=\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{5}$

$\cos \theta =\displaystyle \frac{3}{4}$のとき，$\sin \theta$，$\tan \theta$の値を求めよ。
ただし，$\theta$は鋭角とする。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic41.tex}
\end{center}
$x=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$。

$\sin \theta=\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}$，$\tan \theta=\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}$

$\sin \theta =\displaystyle \frac{3}{5}$のとき，$\cos \theta$，$\tan \theta$の値を求めよ。
ただし，$\theta$は鋭角とする。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic42.tex}
\end{center}
$3:4:5$の比だから，$x=4$。

$\cos \theta=\displaystyle \frac{4}{5}$，$\tan \theta=\displaystyle \frac{3}{4}$

$\sin \theta =\displaystyle \frac{1}{3}$（0°$< \theta <$ 90°）のとき，$\cos \theta$，$\tan \theta$の値を求めよ。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic43.tex}
\end{center}
$x=\sqrt{3^2-1^2}=\sqrt{9-1}=\sqrt{8}=\sqrt{2^2 \times 2}\\
=2 \sqrt{2}$。

$\cos \theta=\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\tan \theta=\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}$

$\tan \theta =\displaystyle \frac{4}{3}$のとき，$\sin \theta$，$\cos \theta$の値を求めよ。
ただし，$\theta$は鋭角とする。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic44.tex}
\end{center}
$3:4:5$の比だから，$x=5$。

$\sin \theta=\displaystyle \frac{4}{5}$，$\cos \theta=\displaystyle \frac{3}{5}$

$\tan \theta =3$のとき，$\sin \theta$，$\cos \theta$の値を求めよ。
ただし，$\theta$は鋭角とする。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic45.tex}
\end{center}
$x=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$。

$\sin \theta=\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}$，$\cos \theta=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}$

$\tan \theta =\displaystyle \frac{3}{2}$のとき，$\sin \theta$，$\cos \theta$の値を求めよ。
ただし，$\theta$は鋭角とする。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic46.tex}
\end{center}
$x=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$。

$\sin \theta=\displaystyle \frac{3}{\sqrt{13}}$，$\cos \theta=\displaystyle \frac{2}{\sqrt{13}}$

$\sin \theta =\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}$のとき，$\cos \theta$，$\tan \theta$の値を求めよ。
ただし，$\theta$は（0°$< \theta <$ 90°）とする。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic47.tex}
\end{center}
$x=\sqrt{3^2-5}=\sqrt{9-5}=\sqrt{4}=2$。

$\cos \theta=\displaystyle \frac{2}{3}$，$\tan \theta=\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}$

$\sin \theta =\displaystyle \frac{4}{5}$のとき，$\cos \theta$，$\tan \theta$の値を求めよ。
ただし，$\theta$は鋭角とする。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic48.tex}
\end{center}
$3:4:5$の比だから，$x=3$。

$\cos \theta=\displaystyle \frac{3}{5}$，$\tan \theta=\displaystyle \frac{4}{3}$

$\cos \theta =\displaystyle \frac{5}{6}$のとき，$\sin \theta$，$\tan \theta$の値を求めよ。
ただし，$\theta$は鋭角とする。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic49.tex}
\end{center}
$x=\sqrt{6^2-5^2}=\sqrt{36-25}=\sqrt{11}$。

$\sin \theta=\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{6}$，$\tan \theta=\displaystyle \frac{\sqrt{11}}{5}$

$\sin \theta =\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}$のとき，$\cos \theta$，$\tan \theta$の値を求めよ。
ただし，$\theta$は鋭角とする。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic50.tex}
\end{center}
$x=\sqrt{3^2-2^2 \times 2}=\sqrt{9-8}=1$。

$\cos \theta=\displaystyle \frac{1}{3}$，$\tan \theta=2\sqrt{2}$

$\cos \theta =\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}$のとき，$\sin \theta$，$\tan \theta$の値を求めよ。
ただし，$\theta$は鋭角とする。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic51.tex}
\end{center}
$x=\sqrt{5-2^2}=\sqrt{5-4}=1$。

$\sin \theta=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}$，$\tan \theta=\displaystyle \frac{1}{2}$

$\sin A=\displaystyle \frac{15}{17}$，$\cos A=\displaystyle \frac{8}{17}$のとき，$\tan A$の値を求めよ。

process
$\tan A=\displaystyle \frac{\sin A}{\cos A}=\displaystyle \frac{15}{17} \div \displaystyle \frac{8}{17}
=\displaystyle \frac{15}{17} \times \displaystyle \frac{17}{8}=\displaystyle \frac{15}{8}$

$\displaystyle \frac{15}{8}$

$\sin A=\displaystyle \frac{3 \sqrt{5}}{7}$，$\cos A =\displaystyle \frac{2}{7}$のとき，
$\tan A$の値を求めよ。

process
$\tan A=\displaystyle \frac{\sin A}{\cos A}=\displaystyle \frac{3 \sqrt{5}}{7} \div \displaystyle \frac{2}{7}
=\displaystyle \frac{3 \sqrt{5}}{7} \times \displaystyle \frac{7}{2}$

$\displaystyle \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

$\sin A=\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3},\, \cos A=\displaystyle \frac{1}{3}$のとき，$\tan A$の値を求めよ。

process
$\tan A=\displaystyle \frac{\sin A}{\cos A}=\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}\div \displaystyle \frac{1}{3}=2\sqrt{2}$

$2\sqrt{2}$

$\sin A=\displaystyle\frac{\sqrt{15}}{4},\,\cos A=\displaystyle\frac{1}{4}$のとき，
$\tan A$の値を求めよ。

process
$\tan A=\displaystyle\frac{\sin A}{\cos A}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{\sqrt{15}}{4}}{\displaystyle\frac{1}{4}}
=\sqrt{15}$

$\sqrt{15}$

$A$が鋭角で，$\sin A=\displaystyle\frac{3}{4}$のとき，$\cos A$の値を求めよ。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic229.tex}
\end{center}
$x^2+3^2=4^2$，∴$x=\sqrt{7}$\\
$\cos A=\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{4}$

$\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{4}$

$\cos A=\displaystyle\frac{4}{5}$のとき，$\sin A，\tan A$の値を求めよ。
ただし，$A$は鋭角とする。

$\sin A=\displaystyle\frac{3}{5}$，$\tan A=\displaystyle\frac{3}{4}$

$\sin A=\displaystyle\frac{12}{13}$のとき，$\cos A，\tan A$の値を求めよ。
ただし，$A$は鋭角とする。

$\cos A=\displaystyle\frac{5}{13}$，$\tan A=\displaystyle\frac{12}{5}$

$\sin A=\displaystyle\frac{4}{5}$，$\cos A=\displaystyle\frac{3}{5}$のとき，
$\tan A=$ \fbox{\,ウ\,} である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$\displaystyle\frac{4}{3}$~~~
\textcircled{\small 2}\,$\displaystyle\frac{3}{4}$~~~
\textcircled{\small 3}\,$\displaystyle\frac{7}{5}$~~~
\textcircled{\small 2}\,$\displaystyle\frac{12}{25}$

process
$\tan A=\displaystyle\frac{\sin A}{\cos A}=\displaystyle\frac{4}{5}\div \displaystyle\frac{3}{5}=\displaystyle\frac{4}{3}$

\textcircled{\small 1}

$\sin 44^\circ$の値は\fbox{\,イ\,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから最も適切なものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,0.6947~~~
\textcircled{\small 2}\,$-0.6947$~~~
\textcircled{\small 3}\,$0.7193$~~~
\textcircled{\small 4}\,$-0.7193$\\
必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 46^\circ=0.7193$，~~~
$\cos 46^\circ=0.6947$，\\
$\tan 46^\circ=1.0355$

process
$\sin 44^\circ=\sin(90^\circ-46^\circ)\\
=\cos 46^\circ=0.6947$

\textcircled{\small 1}

$\cos 35°$と同じ値になるものはどれか。
次の\textcircled{\small 1}〜\textcircled{\small 4}のうちから最も適当なものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}$\sin 55°$，　\textcircled{\small 2}$\cos 55°$，　\textcircled{\small 3}$\sin 145°$，　\textcircled{\small 4}$\cos 145 °$\\

process
$\cos 35°=\cos(90°-55°)=\sin 55°$

\textcircled{\small 1}

$\cos 15°$の値を求めよ。\\
必要であれば，次の三角比の表を利用すること。\\
\begin{table}[!h]
\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccc}
 \hline
 角 & 正弦($\sin$) & 余弦($\cos$) & 正接($\tan$) \\
 \hline
 71° & 0.9455 & 0.3256 & 2.9042 \\
 \hline
 72° & 0.9511 & 0.3090 & 3.0777 \\
 \hline
 73° & 0.9563 & 0.2924 & 3.2709 \\
 \hline
 74° & 0.9613 & 0.2756 & 3.4874 \\
 \hline
 75° & 0.9659 & 0.2588 & 3.7321 \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

process
$\cos 15^{\circ}=\cos (90^{\circ}-75^{\circ})=\sin 75^{\circ}=0.9659$

$0.9659$

$\cos 57°$の値を求めよ。
必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 33°=0.5446, \ \cos 33°=0.8387, \\
\tan 33°=0.6494$\\

process
$\cos 57°=\cos (90°-33°)=\sin 33°=0.5446 $

$0.5446$

必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin {57}^\circ=0.8387$，$\cos {57}^\circ=0.5446$，$\tan {57}^\circ=1.5399$\\
$\sin {33}^\circ$の値は\fbox{\bf\hspace{4pt} イ \hspace{4pt}}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから最も適切なものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$0.8387$~~~
\textcircled{\small 2}\,$0.5446$~~~
\textcircled{\small 3}\,$1.5399$~~~
\textcircled{\small 4}\,$-0.8387$

process
$\sin {33}^\circ=\sin ({90}^\circ-{57}^\circ)=\cos{57}^\circ=0.5446$

\textcircled{\small 2}

$\sin 49°$の値を求めよ。必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 41°=0.6561,\, \cos 41°=0.7547,\\
\tan 41°=0.8693$

process
$\sin 49°=\sin(90°-41°)=\cos 41°=0.7547$

$0.7547$

$\sin 72°$の値を求めよ。
必要であれば，次の三角比の表を利用すること。\\
\begin{table}[!h]
\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccc}
 \hline
 角 & 正弦($\sin$) & 余弦($\cos$) & 正接($\tan$) \\
 \hline
 15° & 0.2588 & 0.9659 & 0.2679 \\
 \hline
 16° & 0.2756 & 0.9613 & 0.2867 \\
 \hline
 17° & 0.2924 & 0.9563 & 0.3057 \\
 \hline
 18° & 0.3090 & 0.9511 & 0.3249 \\
 \hline
 19° & 0.3256 & 0.9455 & 0.3443 \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

process
$\sin 72^{\circ}=\sin(90^{\circ}-18^{\circ})=\cos 18^{\circ}=0.9511$

$0.9511$

$\sin 5^\circ$の値は\fbox{\,イ\,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから最も適切なものを選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,0.9962~~~
\textcircled{\small 2}\,0.0872~~~
\textcircled{\small 3}\,$-0.9962$~~~
\textcircled{\small 4}\,$-0.0872$\\
\hspace{8pt} 必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 85^\circ=0.9962$，$\cos 85^\circ=0.0872$，\\
$\tan 85^\circ=11.4301$

process
$\sin 5^\circ=\sin(90^\circ-85^\circ)=\cos 85^\circ=0.0872$

\textcircled{\small 2}

$A$が鋭角で，
$\sin A=a$，$\cos A=b$であるとき，
$\tan A=$\fbox{\,ウ\,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから最も適当なものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$ab$~~~
\textcircled{\small 2}\,$\displaystyle\frac{b}{a}$~~~
\textcircled{\small 3}\,$\displaystyle\frac{a}{b}$~~~
\textcircled{\small 4}\,$a^2+b^2$

\textcircled{\small 3}

$\cos 15°$の値は，次の\textcircled{\small 1}〜\textcircled{\small 4}のうちどれか。
最も適当なものを一つ選べ。
必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 75°=0.9659$，$\cos 75°=0.2588$\\
$\tan 75°=3.7321$\\
\begin{tabbing}
　　　　　\=　　　　　　\=　　　　　\=　　　　　\\ 
\textcircled{\small 1} $0.9659$ \>\textcircled{\small 2} $-0.9659$ \> \textcircled{\small 3} $0.2588$ \> \textcircled{\small 4} $-0.2588$
\end{tabbing}

process
$\cos 15°=\cos(90°-75°)=\sin 75°=0.9659$

\textcircled{\small 1}

$\sin A=\displaystyle\frac{12}{13}$，$\cos A=\displaystyle\frac{5}{13}$のとき，
$\tan A$の値は\fbox{\hspace{2pt} {\bf ウ} \hspace{2pt}}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$-\displaystyle\frac{5}{12}$~~~
\textcircled{\small 2}\,$-\displaystyle\frac{12}{5}$~~~
\textcircled{\small 3}\,$\displaystyle\frac{5}{12}$~~~
\textcircled{\small 4}\,$\displaystyle\frac{12}{5}$

process
$\tan A=\displaystyle\frac{\sin A}{\cos A}=\displaystyle\frac{12}{5}$

\textcircled{\small 4}

$A$は鋭角とする。$\sin A=\displaystyle\frac{2}{3}$のとき，$\cos A=$\fbox{\bf\hspace{2pt} ウ \hspace{2pt}}である。\\
\textcircled{\small 1}\,$\displaystyle\frac{2}{3}$~~~
\textcircled{\small 2}\,$\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}$~~~
\textcircled{\small 3}\,$\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}$~~~
\textcircled{\small 4}\,$\displaystyle\frac{2\sqrt{5}}{3}$

\textcircled{\small 3}

$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$で，$\tan \theta =2\sqrt{2}$
のとき，$\cos \theta =$
\fbox{\hspace{8pt} 14 \hspace{8pt}}である。\\
\textcircled{\small 1}\,$-\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}$~~~
\textcircled{\small 2}\,$-\displaystyle\frac{1}{3}$~~~
\textcircled{\small 3}\,$\displaystyle\frac{1}{3}$~~~
\textcircled{\small 4}\,$\displaystyle\frac{2\sqrt{2}}{3}$

process
$\tan \theta =2\sqrt{2}$よりヨコ$=1$，
タテ$=2\sqrt{2}$と定めると，ナナメ$=3$\\
したがって，$\cos \theta =\displaystyle\frac{1}{3}$

\textcircled{\small 3}

$\cos A=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{13}}$，$\tan A=\displaystyle\frac{2}{3}$
のとき，$\sin A$の値は\fbox{\bf\, ウ \,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$-\displaystyle\frac{2}{\sqrt{13}}$~~~
\textcircled{\small 2}\,$\displaystyle\frac{2}{\sqrt{13}}$~~~
\textcircled{\small 3}\,$-\displaystyle\frac{9}{2\sqrt{13}}$~~~
\textcircled{\small 4}\,$\displaystyle\frac{9}{2\sqrt{13}}$

process
$\tan A=\displaystyle\frac{\sin A}{\cos A}$より，
$\sin A=\tan A \times \cos A=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{13}} \times \displaystyle\frac{2}{3}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{13}}$

\textcircled{\small 2}








[Level7]
三角比の相互関係（θは鈍角）
$\cos{166}^\circ$の値は\fbox{\bf\, イ \,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}
のうちから最も適切なものを一つ選べ。\\
必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin {14}^\circ=0.2419$，$\cos {14}^\circ=0.9703$，
$\tan {14}^\circ=0.2493$\\
\textcircled{\small 1}\,$0.2419$~~~
\textcircled{\small 2}\,$-0.2419$~~~
\textcircled{\small 3}\,$0.9703$~~~
\textcircled{\small 4}\,$-0.9703$

process
$\cos {160}^\circ=\cos({180}^\circ-{14}^\circ)=-\cos{14}^\circ=-0.9703$

\textcircled{\small 4}

$A$が鈍角で，$\sin A=\displaystyle \frac{4}{5}$のとき，$\cos A$の値を求めよ。

process
図により，\\
$\cos A=\displaystyle \frac{-3}{5}$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic215.tex}
\end{center}

$\cos A=-\displaystyle \frac{3}{5}$

$\sin \theta=\displaystyle \frac{4}{5}$のとき，$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。
ただし，$90°<\theta<180°$とする。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic61.tex}
\end{center}
$\cos \theta=\displaystyle \frac{-3}{5}$，$\tan \theta=\displaystyle \frac{4}{-3}$

$\cos \theta=-\displaystyle \frac{3}{5}$，$\tan \theta=-\displaystyle \frac{4}{3}$

$\sin \theta=\displaystyle \frac{3}{5}$のとき，$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。
ただし，$90°<\theta<180°$とする。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic62.tex}
\end{center}
$\cos \theta=\displaystyle \frac{-4}{5}$，$\tan \theta=\displaystyle \frac{3}{-4}$

$\cos \theta=-\displaystyle \frac{4}{5}$，$\tan \theta=-\displaystyle \frac{3}{4}$

$\sin \theta=\displaystyle \frac{1}{3}$のとき，$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。
ただし，$90°<\theta<180°$とする。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic63.tex}
\end{center}
$x^2=3^2-1^2=9-1=8$。\\
∴$x=-\sqrt{8}=-\sqrt{2^2 \times 2}=-2\sqrt{2}$。\\
$\cos \theta=\displaystyle \frac{-2\sqrt{2}}{3}$，$\tan \theta=\displaystyle \frac{1}{-2\sqrt{2}}$

$\cos \theta=-\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\tan \theta=-\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}$

$\cos \theta=-\displaystyle \frac{3}{4}$のとき，$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。
ただし，$90°<\theta<180°$とする。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic64.tex}
\end{center}
$y^2=4^2-(-3)^2=16-9=7$。∴$y=\sqrt{7}$。\\
$\sin \theta=\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}$，$\tan \theta=\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{-3}$

$\sin \theta=\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}$，$\tan \theta=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}$

$\cos \theta=-\displaystyle \frac{5}{13}$のとき，$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。
ただし，$90°<\theta<180°$とする。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic65.tex}
\end{center}
$y^2=13^2-5^2=169-25=144$。∴$y=12$。\\
$\sin \theta=\displaystyle \frac{12}{13}$，$\tan \theta=\displaystyle \frac{12}{-5}$

$\sin \theta=\displaystyle \frac{12}{13}$，$\tan \theta=-\displaystyle \frac{12}{5}$

$\sin \theta=\displaystyle \frac{2}{3}$のとき，$\cos \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。
ただし，$90°<\theta<180°$とする。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic66.tex}
\end{center}
$x^2=3^2-2^2=9-4=5$。$x=-\sqrt{5}$。\\
$\cos \theta=\displaystyle \frac{-\sqrt{5}}{3}$，$\tan \theta=\displaystyle \frac{2}{-\sqrt{5}}$

$\cos \theta=-\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}$，$\tan \theta=-\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}$

$\cos \theta=-\displaystyle \frac{1}{3}$のとき，$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。
ただし，$90°<\theta<180°$とする。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic67.tex}
\end{center}
$y^2=3^2-(-1)^2=9-1=8$。\\
$y=\sqrt{2^2 \times 2}=2 \sqrt{2}$。\\
$\sin \theta=\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\tan \theta=\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{-1}$

$\sin \theta=\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\tan \theta=-2\sqrt{2}$

$\cos \theta=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}$のとき，$\sin \theta$と$\tan \theta$の値を求めよ。
ただし，$90°<\theta<180°$とする。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic68.tex}
\end{center}
$y^2=5-(-1)^2=5-1=4$。$y=2$。\\
$\sin \theta=\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}$，$\tan \theta=\displaystyle \frac{2}{-1}$

$\sin \theta=\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}$，$\tan \theta=-2$

$0°\le \theta \le 180°$のとき，次のような$\theta$を求めよ。\\
$\sin \theta =\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic71.tex}
\end{center}

$\theta =60°，120°$

$0°\le \theta \le 180°$のとき，次のような$\theta$を求めよ。\\
$\cos \theta =-\displaystyle \frac{1}{2}$

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic72.tex}
\end{center}

$\theta =120°$

$0°\le \theta \le 180°$のとき，次のような$\theta$を求めよ。\\
$\tan \theta =1$

process
$1=\displaystyle \frac{1}{1}$であるから，求める$\theta$は図のようである。\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic73.tex}
\end{center}

$\theta =45°$

$0°\le \theta \le 180°$のとき，次のような$\theta$を求めよ。\\
$\tan \theta =-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic74.tex}
\end{center}

$\theta =150°$

$0°\le \theta \le 180°$のとき，次のような$\theta$を求めよ。\\
$\tan \theta =\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic75.tex}
\end{center}

$\theta =30°$

$0°\le \theta \le 180°$のとき，次のような$\theta$を求めよ。\\
$\tan \theta =-1$

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic76.tex}
\end{center}

$\theta =135°$

$\sin 160°$の値を求めよ。
なお，必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 20°=0.3420,\, \cos 20°=0.9397,\\
\tan 20°=0.3640$

process
$\sin 160°=\sin(180°-20°)=\sin 20°=0.3420$

0.3420

$\sin ^2 150°+\cos ^2 150°$の値を求めよ。

process
$\sin 150°=\sin(180°-30°)=\sin 30 °=\displaystyle \frac{1}{2}$\\
$\cos 150°=\cos(180°-30°)=-\sin 30 °=-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$\\
$\sin ^2 150°+\cos ^2 150°
=\left( \displaystyle \frac{1}{2}\right)^2+\left( -\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2
=1$

$1$

次の\textcircled{\small 1}〜\textcircled{\small 4}のうちから，正しいものを一つ選べ。\\
\begin{tabbing}
　　　　　　　　　　　\=　　　　　　　　　　　\= \\ 
\textcircled{\small 1}　$\sin 80°=\sin 10°$ \>\textcircled{\small 2}　$\cos 80°=\cos 10°$\\
\textcircled{\small 3}　$\sin 100°=\sin 80°$ \>\textcircled{\small 4}　$\cos 100°=\cos 80°$
\end{tabbing}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic212.tex}
\end{center}
図より，$\sin 100°=\sin 80°$

\textcircled{\small 3}

$\cos 120°$の値を求めよ。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic72.tex}
\end{center}
$\displaystyle \frac{-1}{2}$

$-\displaystyle \frac{1}{2}$

$A$が鈍角で，$\sin A=\displaystyle \frac{3}{5}$のとき，$\cos A$の値を求めよ。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic62.tex}
\end{center}
図より，$\cos A=\displaystyle \frac{-4}{5}=-\displaystyle \frac{4}{5}$

$-\displaystyle \frac{4}{5}$

$\tan 150°$の値を求めよ。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic225.tex}
\end{center}
図より，$\displaystyle \frac{1}{-\sqrt{3}}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$

$0°\le \theta \le 180°$とする。$\cos \theta =\displaystyle \frac{2}{3}$のとき，
$\sin \theta$の値を求めよ。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic226.tex}
\end{center}

$\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}$

$0°<A<180°$のとき，等式$\cos A=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$を満たす$A$を求めよ。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic231.tex}
\end{center}

$135°$

$ \sin 150°$の値を求めよ。

process
$\sin 150°=\sin(180°-30°)=\sin 30°=\displaystyle \frac{1}{2}$

$\displaystyle \frac{1}{2}$

$\tan 140°$の値は，次の\textcircled{\small 1}〜\textcircled{\small 4}のうちどれか。
最も適切なものを一つ選べ。
ただし，必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 40°=0.6428$，$\cos 40°=0.7660$，\\
$\tan 40°=0.8391$\\\\
\textcircled{\small 1}$-0.8391$\ \textcircled{\small 2}\ $0.8391$\ \textcircled{\small 3}$-0.7660$\ \textcircled{\small 4}$0.6428$

process
図により，\\
$\tan 140°=\tan(180°-40°)=-\tan 40°=-0.8391$\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic213p.tex}
\end{center}

\textcircled{\small 1}

$\cos ^2 45°+\sin ^2 135°$の値を求めよ。

process
$\left( \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2+\left( \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2=1$

$1$

$A$が鈍角で，$\sin A=\displaystyle\frac{\sqrt{5}}{3}$のとき，
$\cos A$の値を求めよ。

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/405_sincos/pic228.tex}
\end{center}
$x^2+(\sqrt{5})^2=3^2$，∴$x=-2$

$-\displaystyle\frac{2}{3}$

$\sin 168^\circ$の値は\fbox{\,イ\,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを１つ選べ。
なお，必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 12^\circ=0.2079$~~~
$\cos 12^\circ=0.9781$\\
$\tan 12^\circ=0.2126$\\
\textcircled{\small 1}\,$0.9781$~~~
\textcircled{\small 2}\,$0.2079$~~~
\textcircled{\small 3}\,$-0.2079$~~~
\textcircled{\small 4}\,$-0.9781$

process
$\sin 168^\circ =\sin (180^\circ -12^\circ)=\sin 12^\circ =0.2079$

\textcircled{\small 2}

$\cos 149^\circ$の値は\fbox{\,イ\,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから最も適当なものを一つ選べ。
なお，必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 31^\circ=0.5150$~~~
$\cos 31^\circ=0.8572$\\
$\tan 31^\circ=0.6009$\\
\textcircled{\small 1}\,0.5150~~~
\textcircled{\small 2}\,$-0.5150$~~~
\textcircled{\small 3}\,0.8572~~~
\textcircled{\small 4}\,$-0.8572$

process
$\cos 149^\circ=\cos (180^\circ-31^\circ)
=-\cos 31^\circ\\ =-0.8572$

\textcircled{\small 4}

$\sin 137°$の値は，次の\textcircled{\small 1}〜\textcircled{\small 4}のうちどれか。
最も適切なものを一つ選べ。
ただし，必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin 43^\circ=0.6820$，$\cos 43^\circ=0.7314$，\\
$\tan 43^\circ=0.9325$\\
\textcircled{\small 1}\ $0.6820$~~~\textcircled{\small 2}\ $-0.6820$~~~\ \textcircled{\small 3}\ $0.7314$~~~\textcircled{\small 4}\ $-0.7314$

process
図により，\\
$\sin 137°=\sin(180°-43°)=\sin 43°=0.6820$

\textcircled{\small 1}

次の式の値を求めよ。\\
$\sin {45}^\circ \cos {45}^\circ -\sin {120}^\circ\cos {150}^\circ $

process
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\times\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}\times \left( -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=\displaystyle\frac{5}{4}$

$\displaystyle\frac{5}{4}$

次の式の値を求めよ。\\
$\sin {150}^\circ +\tan {150}^\circ\sin {120}^\circ $

process
$\displaystyle\frac{1}{2} +\left(-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \right)\times \left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=0$

$0$

次の式の値を求めよ。\\
$\sin {150}^\circ -\tan {150}^\circ\sin {120}^\circ $

process
$\displaystyle\frac{1}{2} -\left(-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} \right)\times \left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=1$

$1$

次の値を求めよ。\\
$\cos 60 °\sin 150°+\cos 150°\tan 30°$

process
$\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \displaystyle \frac{1}{2}-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}
=-\displaystyle \frac{1}{4}$

$-\displaystyle \frac{1}{4}$

$\sin{128}^{\circ}$の値は\fbox{\,\bf イ\,}cmである。
なお，必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin{52}^{\circ}=0.7880$，$\cos{52}^{\circ}=0.6157$\\
，$\tan{52}^{\circ}=1.2799$\\
\textcircled{\small 1}\,$0.7880$~~~
\textcircled{\small 2}\,$-0.7880$~~~
\textcircled{\small 3}\,$0.6157$~~~
\textcircled{\small 4}\,$-0.6157$

process
$\sin({180}^{\circ}-{52}^{\circ})=\sin{52}^{\circ}=0.7880$

\textcircled{\small 1}

$\tan {165}^{\circ}$の値は\fbox{\hspace{2pt} イ \hspace{2pt}}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。
必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin {15}^{\circ}=0.2588$，$\cos {15}^{\circ}=0.9659$，$\tan {15}^{\circ}=0.2679$\\
\textcircled{\small 1}\,$0.2679$~~~
\textcircled{\small 2}\,$-0.2588$~~~
\textcircled{\small 3}\,$-0.2679$~~~
\textcircled{\small 4}\,$0.9659$

process
$\tan {165}^{\circ}=\tan (180-15)^{\circ}=-\tan {15}^{\circ}=-0.2679$

\textcircled{\small 3}

$\cos {105}^{\circ}$の値は\fbox{\bf\hspace{2pt} イ \hspace{2pt}}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから最も適切なものを一つ選べ。
なお，必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin {75}^{\circ}=0.9659$，$\cos {75}^{\circ}=0.2588$，$\tan {75}^{\circ}=3.7321$\\
\textcircled{\small 1}\,$0.2588$~~~
\textcircled{\small 2}\,$-0.2588$~~~
\textcircled{\small 3}\,$0.9659$~~~
\textcircled{\small 4}\,$-0.9659$

process
$\cos {105}^{\circ}=\cos ({180}^{\circ}-{75}^{\circ})=-\cos {75}^{\circ}\\ =-0.2588$

\textcircled{\small 2}

$\cos {145}^{\circ}$の値は\fbox{\bf\, イ\,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}
のうちから最も適切なものを一つ選べ。
なお，必要であれば，次の三角比の値を利用すること。\\
$\sin {35}^{\circ}=0.5736, \ \cos {35}^{\circ}=0.8192, \\
\tan {35}^{\circ}=0.7002$\\
\textcircled{\small 1}\,$0.5736$~~~
\textcircled{\small 2}\,$-0.5736$~~~
\textcircled{\small 3}\,$0.8192$~~~
\textcircled{\small 4}\,$-0.8192$

process
$\cos {145}^{\circ}=\cos ({180}^{\circ}-{35}^{\circ})=-\cos {35}^{\circ}=-0.8192 $

\textcircled{\small 4}

$A$が鈍角であるとき，$A$の三角比の符号の組合せは
\fbox{\bf\, ウ\,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}
のうちから正しいものを一つ選べ。
\begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
  & $\sin A$ & $\cos A$ & $\tan A$  \\ \hline
  \textcircled{\small 1} & $+$ & $+$ & $+$ \\ \hline
 \textcircled{\small 2} & $+$ & $-$ & $+$ \\ \hline
 \textcircled{\small 3} & $+$ & $-$ & $-$ \\ \hline
 \textcircled{\small 4} & $+$ & $+$ & $-$ \\ \hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}

\textcircled{\small 3}

次の式を簡単にしなさい。\\
$\sin {70}^\circ+\cos {60}^\circ+\cos{120}^\circ-\sin{110}^\circ$

process
$\sin{110}^\circ=\sin({180}^\circ-{70}^\circ)=\sin {70}^\circ$であるから，\\
与式$=\cos {60}^\circ+\cos{120}^\circ=\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}=0$

$0$

次の式を簡単にしなさい。\\
$\sin ({180}^\circ-x)+\cos ({90}^\circ-x)$

process
与式$=\sin x+\sin x=2\sin x$

$2\sin x$

${\sin}^2 {120}^\circ+{\cos}^2{30}^\circ$の値を求めよ。

process
$\left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2+\left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2=\displaystyle\frac{3}{2}$

$\displaystyle\frac{3}{2}$

${\sin}^2 {120}^\circ+{\cos}^2{60}^\circ$の値を求めよ。

process
$\left( \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2+\left( \displaystyle\frac{1}{2} \right)^2=1$

$1$

$\sin {120}^\circ$の値は\fbox{\bf\, ウ \,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$\displaystyle\frac{1}{2}$~~~
\textcircled{\small 2}\,$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$~~~
\textcircled{\small 3}\,$-\displaystyle\frac{1}{2}$~~~
\textcircled{\small 4}\,$-\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$

\textcircled{\small 2}





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