% %以下の文をコメント文としたいのですが，現時点ではまだできません。
% 問題のタイトル
[Title]
401_三角形の性質

% 問題文
% 何も書かなければ，[Level1]等に書いたものがそのまま問題文となる。
[Problem]
次の問いに答えよ。
% フォントの大きさ。1〜10，またはTeXのコマンドを指定する。
% デフォルトは，5（\normalsize）
% 1は\tiny， 2は\scriptsize，3は\footnotesize，4は\small， 5は\normalsize
% 6は\large，7は\Large，     8は\LARGE，       9は\huge， 10は\Huge
[FontSize]
5

% プリアンブルに追加したいパッケージファイルを指定する。
[usepackage]
\usepackage{color}

% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付ける場合は，　ON または1
% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付けない場合は，OFFまたは0
% 「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の下にある設定を
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　無視する場合に指定してください。
% 何も記述しなければ，「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　下にある設定が優先されます。
[displaystyle]
OFF


% Level1の問題を書く。以下Level7まで同様。
% 1行目には詳細設定のタイトルを書く。
% 2行目以降に問題とその解答を書く。
% 問題と解答，解答と問題は１行ずつあけて書く。
% 計算過程がある場合は，問題と解答の間に１行ずつ間隔をあけ，
% 最初にprocessという行を作り，その次の行から計算過程を書いていく。
[Level1]
角度を求める
次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic53.tex}
\end{center}

135°

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。（線分$l$，$m$は平行）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic54.tex}
\end{center}

125°

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic55.tex}
\end{center}

process
四角形の内角の和は$180 \times 2=360°$なので，\\
$\angle x=360-(80+95+100)=360-275=85$

85°

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic56.tex}
\end{center}

130°

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。（線分$l$，$m$は平行）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic57.tex}
\end{center}

110°

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic58.tex}
\end{center}

process
$180-x=360-(65+65+140)$。∴$x=90$°

90°

図の∠$x$の大きさを求めよ。（線分$l$，$m$は平行）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic18.tex}
\end{center}

85°

図の∠$x$の大きさを求めよ。（線分$l$，$m$は平行）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic19.tex}
\end{center}

145°

図の∠$x$の大きさを求めよ。（線分$l$，$m$は平行）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic20.tex}
\end{center}

50°

図の∠$x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic71.tex}
\end{center}

process
ブーメラン型。$40+30+35=105°$

105°

図の∠$x$の大きさを求めよ。（線分$l$，$m$は平行）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic72.tex}
\end{center}

80°

図の∠$x$の大きさを求めよ。（線分$l$，$m$は平行）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic01.tex}
\end{center}

120°

図の∠$x$の大きさを求めよ。（線分$l$，$m$は平行）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic02.tex}
\end{center}

100°

図の∠$x$の大きさを求めよ。（線分$l$，$m$は平行）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic03.tex}
\end{center}

40°

図の∠$x$の大きさを求めよ。（線分$l$，$m$，$n$は平行）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic04.tex}
\end{center}

72°

図の∠$x$の大きさを求めよ。（線分$l$，$m$は平行）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic05.tex}
\end{center}

120°

図の∠$x$の大きさを求めよ。（線分$l$，$m$は平行）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic06.tex}
\end{center}

55°

図の∠$x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic07.tex}
\end{center}

process
ブーメラン型。$45+35+30$

110°

図の∠$x$の大きさを求めよ。（線分$l$，$m$は平行）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic08.tex}
\end{center}

30°

図の∠$x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic09.tex}
\end{center}

70°

次の図の∠$x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic10.tex}
\end{center}

110°

次の図の∠$x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic11.tex}
\end{center}

process
$100+110+152+67+x=180 \times 3$

111°

次の図の∠$x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic12.tex}
\end{center}

80°

次の図の∠$x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic13.tex}
\end{center}

65°

図で$l$//$m$のとき，∠$x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic14.tex}
\end{center}

70°

次の図の∠$x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic15.tex}
\end{center}

process
$80+70+60+90+x=360$

60°

次の図の∠$x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic16.tex}
\end{center}

process
$60+55+55+65+50+x=360$

75°

次の図の∠$x$の大きさを求めよ。ただし，四角形ABCDは平行四辺形である。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic17.tex}
\end{center}

25°

図の$x，y$の値を求めなさい。ただし，$m//n$とする。\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic52.tex}
\end{center}

$x=67°，y=106°$

図のような，5個の頂点を持つ図形の内角の和を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic73.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic73p.tex}
\end{center}
a$+$b$+$c$+$d$+$e$=180$°

180°

図のように，3つの直線が1点で交わっている。
このとき，$\angle x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic81.tex}
\end{center}

$95°$

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。（線分$l$，$m$は平行）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic82.tex}
\end{center}

$90°$

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。（線分$l$，$m$は平行）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic83.tex}
\end{center}

$130°$

図の四角形ABCDは平行四辺形である。
$\angle x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic84.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic84p.tex}
\end{center}
$20°+x=60°$

$40°$

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。（線分$l$，$m$は平行）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic85.tex}
\end{center}

process
$120°-36°=84°$

$84°$

図の$\angle x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic86.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic86p.tex}
\end{center}

$60°$

図の∠$x$の大きさを求めよ。（線分$l$，$m$は平行）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic87.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic87p.tex}
\end{center}

$65°$

図の四角形ABCDは平行四辺形である。AD$=$DEのとき，$\angle x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic88.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic88p.tex}
\end{center}

$32°$

図の四角形ABCDは平行四辺形である。$\angle x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic89.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic89p.tex}
\end{center}

$30°$

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。（線分$l$，$m$は平行）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic96.tex}
\end{center}

24°

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic97.tex}
\end{center}

130°

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。（ただし，線分$l$，$m$は平行）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic98.tex}
\end{center}

process
図より，$x+50=85^{\circ}$ \\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic98p.tex}
\end{center}

35°

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic99.tex}
\end{center}

140°

下の図で$l // m$のとき，$\angle x$の大きさを求めなさい。\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic302.tex}
\end{center}

process
$100+45=145$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic302p.tex}
\end{center}

145°






[Level2]
辺の比
次の図の$x$の大きさを求めよ。（DE//BC）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic59.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{x}{4}=\displaystyle \frac{9}{6}$

6

次の図の$x$の大きさを求めよ。（AD//EF//BC）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic60.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{x}{5.4}=\displaystyle \frac{8}{6}$

7.2

次の図の$x$の大きさを求めよ。（DE//BC）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic61.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{x}{12}=\displaystyle \frac{6}{8}$

9

次の図の$x$の大きさを求めよ。（AD//EF//BC）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic62.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{x}{7.2}=\displaystyle \frac{5}{6}$

6

図で$DE//BC$のとき，$x$の値を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic21.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{x}{3}=\frac{4}{2}$

$6$

図で$BC//DE$のとき，$x$の値を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic22.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{x}{9}=\frac{4}{12}$

3

図で$l$//$m$//$n$のとき，$x$の値を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic23.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{x}{12}=\frac{6}{9}$

$8$

図で$DE$//$BC$のとき，$x$，$y$の値を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic24.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{y}{8}=\frac{6}{10}$\\
$\displaystyle \frac{x}{4.5}=\frac{10}{6}$

$x=7.5，y=4.8$

図で$l$//$m$のとき，$x$の値を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic25.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{x}{6}=\frac{6}{4}$\\
$\displaystyle x=6 \times \frac{6}{4}$

$x=9$

図で$l$//$m$//$n$のとき，$x$の値を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic26.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{x}{18-x}=\frac{14}{7}$

$x=12$

図で$l$//$m$//$n$のとき，$x$の値を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic27.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{x}{12}=\frac{6}{9}$

$x=8$

図で$l$//$m$//$n$のとき，$y$の値を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic28.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{y}{2}=\frac{6}{3}$

$y=4$

図で$l$//$m$//$n$のとき，$x$の値を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic29.tex}
\end{center}

process
図のように補助線を引いて，\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic30.tex}
\end{center}
$\displaystyle \frac{18-x}{12-x}=\frac{32}{12}$\\
$3(18-x)=8(12-x)$\\
$x=8.4$

$x=8.4$

次の図において，$PA$//$QB$//$RC$，$PA=12 cm$，$QB=4 cm$であるとき，$RC$の長さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic46.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic46p.tex}
\end{center}
$\displaystyle \frac{QB}{PA}=\frac{1}{3}より，\displaystyle \frac{CB}{CA}=\frac{1}{3}$ \\
$∴\displaystyle \frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}, \displaystyle \frac{BQ}{CR}=\frac{2}{3} $
$∴\displaystyle \frac{CR}{BQ}=\frac{3}{2},\displaystyle \frac{CR}{4}=\frac{3}{2} $ \\
$∴\displaystyle CR=4 \times \frac{3}{2}=6 cm$ 

$6 cm$

次の図の$x$の大きさを求めよ。（DE//BC）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic63.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{x}{6}=\displaystyle \frac{10}{4}$

15

次の図の$x$の大きさを求めよ。（$\angle$ ADE $=\angle$ ACB）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic64.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{x}{6}=\displaystyle \frac{4}{3}$

8

次の図の$x$の大きさを求めよ。（AD//EF//BC，AE$=$EB）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic65.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic65p.tex}
\end{center}
$\displaystyle \frac{x-3}{4}=\displaystyle \frac{1}{2}$

5




[Level3]
三平方の定理
次の長さ$x$を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic801.tex}
\end{center}

$\sqrt{5}$

次の長さ$x$を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic802.tex}
\end{center}

process
$\sqrt{9^2+6^2}=\sqrt{(3\cdot 3)^2+(3\cdot 2)^2}=3\sqrt{13}$

$3\sqrt{13}$

次の長さ$x$を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic803.tex}
\end{center}

process
$\sqrt{11^2-7^2}=\sqrt{(11-7)(11+7)}\\ =\sqrt{2\times 2\times 2\times 9}=6\sqrt{2}$

$6\sqrt{2}$

次の長さ$x$を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic804.tex}
\end{center}

process
$\sqrt{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$

次の長さ$x$を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic805.tex}
\end{center}

process
$\sqrt{6^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}$

次の長さ$x$を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic807.tex}
\end{center}

process
$\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{(8-6)(8+6)}\\ =\sqrt{2\times 2\times 7}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$

$2\sqrt{7}$

ひし形ABCDの対角線の長さが${\rm AC=4cm}$
，${\rm BD=6cm}$である。辺ABの長さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic703.tex}
\end{center}

process
$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$

$\sqrt{13}$cm

図で辺BC上の点を通ってAからGへ行く最短距離は\fbox{（オ）}cmである。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic103.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic103p.tex}
\end{center}
図より，
$AG^2=5^2+4^2=41$，∴$AG=\sqrt{41}$

$\sqrt{41}$

図の$x$の値を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic41.tex}
\end{center}

process
△ABCは$1:1:\sqrt{2}$の直角三角形だから，$AC=6\sqrt{2}$。\\
△ACDは$1:2:\sqrt{3}$の直角三角形だから，\\
$\displaystyle \frac{x}{6\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

$x=4\sqrt{6}$

図の$x$の値を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic42.tex}
\end{center}

process
△ABCにおいて，$AC^{2}=5^{2}+4^{2}=41$…\textcircled{\small 1} \\
△ACDにおいて，$AC^{2}=6^{2}+x^{2}$　…\textcircled{\small 2} \\
\textcircled{\small 1}，\textcircled{\small 2}より$41=6^{2}+x^{2}　x=\sqrt{5}$

$x=\sqrt{5}$

図の$x$の値を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic43.tex}
\end{center}

process
$AB:BC=30:18=5:3$より，△ABCは辺の比が$5:3:4$の直角三角形であるから，$CA=24$。
すると，$CD:CA=26:24=13:12$となるので，△CDAは３辺の長さが，$5:12:13$の直角三角形。したがって，\\
$\displaystyle \frac{x}{24}=\frac{5}{12}$

$x=10$

図の$x$の値を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic45.tex}
\end{center}

process
$BD=\sqrt{3^{2}+5^{2}}=\sqrt{34}$ \\
$x=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{34})^{2}}=\sqrt{2+34}=\sqrt{36}=6$ 

$6 cm$

下図のような直方体において，頂点AからDまで糸を張ったとき，最短のときの糸の長さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic47.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic47p.tex}
\end{center}
${\rm AD}=\sqrt{{16}^2+(16\times 2)^2}=16\sqrt{1+2^2}=16\sqrt{5}$

$16 \sqrt{5}$

図のような直方体があり，a $=4$，b$=3$，c $=3$のとき，AGの長さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic48.tex}
\end{center}

process
EG $^2=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。\\
AG $^2=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$。

$\sqrt{34}$

図のような直方体の対角線XYの長さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic205.tex}
\end{center}

process
$XY^2=XZ^2+ZY^2=3^2+ZY^2$\\
ここで，$ZY^2=4^2+2^2$であるから，\\
$XY^2=3^2+4^2+2^2=29$，∴$XY=\sqrt{29}$

$\sqrt{29}$

図のような円すいがある。$x$の長さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic49.tex}
\end{center}

process
\begin{eqnarray*}
 x &=& \sqrt{4^2+(2 \sqrt{2})^2}=\sqrt{16+4 \times 2}=\sqrt{24}\\
 &=& \sqrt{2^2 \times 6}
\end{eqnarray*}

$2 \sqrt{6} cm$

図は，周の長さが$20 cm$で，対角線BDが$8 cm$のひし形ABCDである。
このとき，対角線ACの長さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic74.tex}
\end{center}

process
AB$=5$，BO$=4$より，$\triangle $ABOは$3:4:5$の直角三角形だから，AO$=3$。

6

図において，AB$=10m$，$\angle $DAB$=30°$，$\angle$DBC$=45°$のとき，
DCの長さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic91.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic91p.tex}
\end{center}
$\displaystyle \frac{x}{1}=\displaystyle \frac{10}{\sqrt{3}-1}$\\
$x=5\left( \sqrt{3}+1 \right)$

$5\left( \sqrt{3}+1 \right)$\ (m)

$\angle B=90°$である直角三角形ABCにおいて，
AB$=12$cm，BC$=16$cmである。
Bから辺ACに引いた垂線の足をHとするとき，CHの長さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic102.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic102p.tex}
\end{center}
$\displaystyle \frac{x}{16}=\displaystyle\frac{16}{20}$，
∴$x=16\times \displaystyle\frac{16}{20}=12.8$

$12.8$cm

図のように，半径$4\,cm$の円Oと，半径$6\,cm$の円O$'$が互いに外接しているとき，
共通接線ABの長さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic93.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic93p.tex}
\end{center}
図において，\\
AB$=$OH$=\sqrt{10^2-2^2}=\sqrt{(10-2)(10+2)}\\ =\sqrt{4\times 2\times 4\times 3}=\sqrt{16\times 6}=4\sqrt{6}$

$4\sqrt{6}$\, (cm)

図のような直方体ABCD$-$EFGHがある。点Aから辺BF上の点を通って点Gにいく最短距離を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic101.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic101p.tex}
\end{center}
求める最短距離を$x$とすると，\\
$x=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$

$10$

図の長方形において，
AB$=15$，BD$=30$とする。
BDを$1:2$の比に分ける点EにおいてBDに垂直な線が交わる点をFとする。
EFの長さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic206.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic206p.tex}
\end{center}
$AB:BD=1:2$より，$\angle BDA =30°$，\\
∴$AD=15\sqrt{3}$。
$\displaystyle\frac{EF}{BE}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}$であるから，\\
$EF=10\times \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}=\displaystyle\frac{10}{3}\sqrt{3}$

$\displaystyle\frac{10}{3}\sqrt{3}$

外接する2円O，O$'$の半径がそれぞれ6cm，5cmのとき，共通接線PQの長さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic207.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic207p.tex}
\end{center}
O$'$からOPに下ろした垂線の足をHとすると，\\
OH$=6-5=1$cm，OO$'=6+5=11$cm，\\
O$'$H$=\sqrt{11^2-1^2}=2\sqrt{30}$

$2\sqrt{30}$

図のような$\angle$C$=\angle$Rの直角三角形において，AB$=5cm$，
AC$:$BC$=1:2$。このとき，Cから線分ABに下ろした垂線の足をHとおく。
CHの長さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic208.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic208p.tex}
\end{center}
$\displaystyle\frac{AC}{AB}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}$
，∴$AC=AB\times\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}=5\times\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$
$\displaystyle\frac{HC}{AC}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}$\\
，∴$AC=AC\times\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\times\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}=2$

$2$

図において，${\rm BC=6\,cm}$のとき，${\rm CD}$の長さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic9301.tex}
\end{center}

process
${\rm AC}=\displaystyle\frac{6}{\sqrt{3}}$\\
${\rm CD}=\displaystyle\frac{6}{\sqrt{3}}\times \sqrt{2}=2\sqrt{6}$

$2\sqrt{6}$

図は，${\rm \angle BAC}={90}^\circ$，${\rm AB=4\,cm}$，${\rm AC=3\,cm}$，
${\rm BE=6\,cm}$の三角柱ABC-DEFで，点Pは辺BE上の点とする。このとき，${\rm AP+PF}$の長さが最も小さくなるとき，その長さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic9701.tex}
\end{center}

process
$\triangle {\rm ABC}$は$3:4:5$の直角三角形であるから，${\rm BC}=5{\rm cm}$\\
${\rm AF}=\sqrt{9^2+6^2}=3\sqrt{13}$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic9701p.tex}
\end{center}

$3\sqrt{13}$

図は，${\rm \angle BAC}={90}^\circ$，${\rm AB=4\,cm}$，${\rm AC=3\,cm}$，
${\rm BE=3cm}$の三角柱ABC-DEFで，点Pは辺BE上の点とする。このとき，${\rm AP+PF}$の長さが最も小さくなるとき，その長さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic9702.tex}
\end{center}

process
$\triangle {\rm ABC}$は$3:4:5$の直角三角形であるから，${\rm BC}=5{\rm cm}$\\
${\rm AF}=\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic9702p.tex}
\end{center}

$3\sqrt{10}$

次の長さ$x$を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic821.tex}
\end{center}

process
$\sqrt{7^2-5^2}=\sqrt{(7+5)\cdot (7-5)}\\ =\sqrt{12\cdot 2}=2\sqrt{6}$

$2\sqrt{6}$

次の長さ$x$を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic822.tex}
\end{center}

process
${\rm OH=9}$，${\rm AH=12}$であるから，$3:4:5$の三角形である。

$15$

次の長さ$x$を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic824.tex}
\end{center}

process
$\sqrt{7^2-3^2}=\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10}$

$2\sqrt{10}$

次の長さ$x$を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic825.tex}
\end{center}

process
$\sqrt{7^2-1^2}=\sqrt{6\cdot 8}=4\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}$






[Level4]
三角形の面積
図で$AD$と$BC$は直角である。△ABCの面積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic44.tex}
\end{center}

process
\begin{eqnarray*}
 AD &=& \sqrt{17^{2}-15^{2}}=\sqrt{(17-15)(17+15)}\\
 &=& \sqrt{2\times32}=\sqrt{64}=8 \\
\end{eqnarray*}
△ABCの面積は，\\
$\displaystyle \frac{1}{2} \times 21 \times 8 = 84 cm^{2}$

$84 cm^{2}$

図において，$\triangle$AOCの面積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic77.tex}
\end{center}

process
OA$=5$。$\triangle$OACは$1:2:\sqrt{3}$の直角三角形だから，\\
AC$=5 \sqrt{3}$。$\displaystyle \frac{1}{2} \times 5 \times 5 \sqrt{3}=\displaystyle \frac{25}{2} \sqrt{3}$

$\displaystyle \frac{25}{2} \sqrt{3}$

図において，Oは半円の中心で，CAはAを接点とする接線である。
$\angle$OCA$=30°$で，半円の半径が$6$cmであるとき，$\triangle $OABの面積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic90.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic90p.tex}
\end{center}
$\angle$OAC$=90°$，$\angle$OCA$=30°$より，$\angle$COA$=60°$。
OA$=$OBより，$\angle$OAB$=\angle $OBA。したがって，$\triangle$OABは正三角形となる。
$\triangle$OABの面積は\\
$\displaystyle \frac{1}{2} \times 6 \times 3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$

$9\sqrt{3}(cm^2)$

図のような正六角形がある。
1辺の長さが12cmのとき，図の斜線部分の面積を求めよ。
Oは正六角形の中心である。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic106.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic106p.tex}
\end{center}
$HA=6,\,OH=6\sqrt{3}$\\
$\triangle$OHAの面積$=\displaystyle\frac{1}{2} \times 6 \times 6\sqrt{3}=18\sqrt{3}$\\
斜線部分の面積$=3\times 18\sqrt{3}=54\sqrt{3}$

$54\sqrt{3}$

図のような6つの正方形でできた長方形の中に$\triangle$ABCがある場合，
長方形と$\triangle$ABCの面積の比を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic202.tex}
\end{center}

process
長方形を構成する6つの正方形の1辺の長さを1とすると，長方形の面積は
$2 \times 3=6$。\\
$\triangle$ABCの面積は\\
$6-\left( \displaystyle \frac{1}{2} \times 1 \times 2 \right)
-\left( \displaystyle \frac{1}{2} \times 1 \times 2 \right)
-\left( \displaystyle \frac{1}{2} \times 1 \times 3 \right)
=\displaystyle \frac{5}{2}$\\
よって，長方形と$\triangle$ABCの面積の比は
$6:\displaystyle \frac{5}{2}=12:5$

長方形の面積：$\triangle$ABCの面積$=12:5$




[Level5]
台形，長方形の面積
上底が4，下底が6，高さが5の台形の面積を求めよ。

process
$\displaystyle \frac{1}{2} \times 5 \times (4+6)=25$

25

上底が2，下底が8，高さが6の台形の面積を求めよ。

process
$\displaystyle \frac{1}{2} \times 6 \times (2+8)=30$

30

図のような正方形の土地がある。
縦，横の辺にそれぞれ平行に幅$2m$，$4m$の道をつけて残りを花壇にしたら，花壇の面積が$440m^2$になった。
正方形の1辺の長さを求めなさい。\\
A $16m$ B $18m$ C $20m$ D $22m$ E $24m$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic51.tex}
\end{center}

process
$\,(x-2)(x-4)=440$\, ∴\,$x^2-6x-432=0$\\ ∴\,$(x-24)(x+18)=0$ ∴\, $x=24,-18$

E $ 24m$

図の面積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic50.tex}
\end{center}

process
台形と三角形に分けて考える。\\
$\displaystyle \frac{1}{2} \times 24 \times (20+27)+\displaystyle \frac{1}{2} \times 15 \times 20$

$714cm^2$

図のように，長方形の1辺上にその辺の両端から等しい距離にある2点をとって台形を作る。
台形の面積が，元の長方形の面積の$\displaystyle\frac{3}{5}$になるとき，
図の$a$と$b$の長さの比を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic203.tex}
\end{center}

process
台形両端の2つの三角形の和$=a\times c$\\
長方形の面積$=(2a+b) \times c$\\
題意より，\\
$\displaystyle \frac{a\times c}{(2a+b) \times c}=\displaystyle \frac{a}{2a+b}
=\displaystyle \frac{2}{5}$\\
∴$2(2a+b)=5a$，∴$2b=a$，∴$a:b=2:1$

$a:b=2:1$

図において，台形ABCDの面積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic75.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic75p.tex}
\end{center}
EC$=3$。$\triangle$DECは$3:4:5$の直角三角形だから，DE$=4$。\\
$\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times (2+5)=14$

14

図の斜線部の面積を求めよ。
ただし，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic301.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic301p.tex}
\end{center}
$\displaystyle\frac{1}{2}\times 2\times 8+\displaystyle\frac{1}{2}\times 3\times 4=14$

14



[Level6]
応用
図において，\\
$\rm{PA} // \rm{QB} // \rm{RC}$，$\rm{PA}=12 cm,\,\rm{QB}=4\,cm$ であるとき，
RCの長さを求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic104.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle\frac{\rm{QB}}{\rm{CA}}=\displaystyle\frac{1}{3}$より，
$\displaystyle\frac{\rm{CB}}{\rm{CA}}=\displaystyle\frac{1}{3}$\\
∴$\displaystyle\frac{3}{2}=\displaystyle\frac{\rm{AC}}{\rm{AB}}=\displaystyle\frac{\rm{CR}}{\rm{BQ}}=\displaystyle\frac{\rm{CR}}{4}$\\
∴$\rm{CR}=4\times\displaystyle\frac{3}{2}=6\,$cm

$6$\,cm

図で，$\triangle$ABCの高さADと面積を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic201.tex}
\end{center}

process
BD$=x$とおくと，\\
AD$^2=16-x^2$。
また，DC$=6-x$であるから，\\
$(6-x)^2+16-x^2=5^2$，$x=\displaystyle\frac{9}{4}$\\
∴AD$^2=4^2-\left(\displaystyle\frac{9}{4}\right)^2
=\left( 4-\displaystyle\frac{9}{4} \right)\left( 4+\displaystyle\frac{9}{4} \right)$\\
∴AD$=\displaystyle\frac{5}{4} \sqrt{7}$\\
面積は\\
$\displaystyle\frac{1}{2} \times 6 \times \displaystyle\frac{5}{4} \sqrt{7}
=\displaystyle\frac{15}{4} \sqrt{7}$

AD$=\displaystyle\frac{5}{4} \sqrt{7}$，面積は$\displaystyle\frac{15}{4} \sqrt{7}$

図のような正方形の折り紙がある。
これに半分の折り目をつけ，
さらに図のように折ったとき，$a$の角度を求めよ。
（地方初級・平成14年度）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic204.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic204p.tex}
\end{center}
PB$=$PC$=$BCより$\triangle$PBCは正三角形であるから，\\
$\angle$PCB$=60°$，$\angle$PCD$=30°$\\
$\angle$PCE$=\displaystyle\frac{1}{2} \angle$PCD
$=\displaystyle\frac{1}{2} \times 30°=15°$\\
$\triangle$PCEにおいて\\
$a+90°+15°=180°$，∴$a=75°$

$75°$

図は，幅$4 cm$の紙テープをABで折り曲げたものである。
$\angle$ACB$=45°$のとき，$\triangle$ACBの面積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic92.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic92p.tex}
\end{center}
図において，CA$=$DA，CB$=$DBであり，AD//CB，AC//DBであるから，
四角形ACBDはひし形である。したがって，CA$=$CB。
$\triangle$ACHにおいて，AH:CA$=1:\sqrt{2}$であるから，
AC$=4\sqrt{2}$。\\
∴CB$=4\sqrt{2}$。求める面積は，\\
$\displaystyle \frac{1}{2}\times  4\sqrt{2} \times 4=8 \sqrt{2}$

$8 \sqrt{2}\,(cm^2)$

図は1辺の長さが$8cm$の正方形であり，頂点Aを辺BC上の点Mに重ねるように
折り曲げたものである。BM$=4 cm$のとき，PBの長さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic76.tex}
\end{center}

process
PB$=x$とおくと，AP$=8-x$。∴MP$=8-x$。三平方の定理により，\\
$x^2+4^2=(8-x)^2$。$x=3$

3

図の三角形において，ACの長さを求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic94.tex}
\end{center}

process
図のような点Dをとると，\\
$\rm{BC}:\rm{DC}=2:\sqrt{3}$より，$\rm{DC}=5\sqrt{3}$\\
$\rm{CD}:\rm{AC}=1:\sqrt{2}$より，$\rm{AC}=5\sqrt{6}$\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic94p.tex}
\end{center}

$5\sqrt{6}$

$\rm{AB}=3\rm{cm}$，$\rm{BC}=6\rm{cm}$の長方形ABCDをEFを折り目として，
CとAが重なるように折るとき，BEの長さを求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic95.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/401_三角形の性質/pic95p.tex}
\end{center}
BE$=x$とおき，$\triangle$ABEにおいて三平方の定理を用いると，\\
$x^2+3^2=(6-x)^2$\\
$\displaystyle\frac{9}{4}$

$\displaystyle\frac{9}{4}$


[Level7]
三平方の定理を含む円の面積
図において，1/4円に２つの半円が接している。斜線部の面積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic42.tex}
\end{center}

process
Pの半円の半径を$x$とおく。
$ \triangle $OPQで三平方の定理を用いると，
$(6-x)^2+3^2=(x+3)^2 $。∴$x=2$。\\
$ \displaystyle \frac{1}{4} \pi \times 6^2- \displaystyle \frac{1}{2}(\pi \times 3^2+ \pi \times 2^2) 
= \displaystyle \frac{18}{2} \pi-\displaystyle \frac{13}{2} \pi= \displaystyle \frac{5}{2} \pi $

$\displaystyle \frac{5}{2} \pi$

斜線部の面積を求めよ。（円周率には$\pi$を用いよ）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic43.tex}
\end{center}

process
ABは円の直径なので，$\angle$ BCA $= 90°$。\\
CA$=\sqrt{6^2-2^2}=4 \sqrt{2} $。\\
$\triangle $AOC $= \triangle $ ABC $ \times \displaystyle \frac{1}{2}
=\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \times 4 \sqrt{2} \times  \displaystyle \frac{1}{2}$

$2 \sqrt{2}$

図の斜線部の面積を求めよ。ただし，ABCは半径$6 cm$の扇形である。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic47.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic47p.tex}
\end{center}
扇形の面積$=\pi \times 6^2 \times \displaystyle \frac{120°}{360°}=12 \pi$。\\
$\triangle$ ABCの面積 $=\displaystyle \frac{1}{2} \times 6 \sqrt{3} \times 3=9 \sqrt{3}$。

$12\pi-9\sqrt{3}$

図の斜線部分の面積を求めなさい。（ただし，円周率を$\pi$とする。）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic55.tex}
\end{center}

process
$(60°の扇形) \times 2-(底辺6，高さ3\sqrt{3}の三角形)\\
=\left( \pi \times 6^2 \times \displaystyle \frac{60°}{360°} \right)\times 2
-\displaystyle \frac{1}{2} \times 6 \times 3 \sqrt{3}$

$12 \pi-9\sqrt{3} cm^2$

図の斜線部の面積を求めよ。ただし，\\
AB $=2$cm，AC $=4$cm，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic109.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{1}{2} \times(\pi \cdot 1^2+\pi \cdot 2^2)
+\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \times 4
-\displaystyle \frac{1}{2} \times \pi (\sqrt{5})^2\\
=4$

$4 \, cm^2$



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