% %以下の文をコメント文としたいのですが，現時点ではまだできません。
% 問題のタイトル
[Title]
302_確率

% 問題文
% 何も書かなければ，[Level1]等に書いたものがそのまま問題文となる。
[Problem]
次の問いに答えよ。
% フォントの大きさ。1〜10，またはTeXのコマンドを指定する。
% デフォルトは，5（\normalsize）
% 1は\tiny， 2は\scriptsize，3は\footnotesize，4は\small， 5は\normalsize
% 6は\large，7は\Large，     8は\LARGE，       9は\huge， 10は\Huge
[FontSize]
5

% プリアンブルに追加したいパッケージファイルを指定する。
[usepackage]
\usepackage{color,graphicx}

% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付ける場合は，　ON または1
% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付けない場合は，OFFまたは0
% 「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の下にある設定を
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　無視する場合に指定してください。
% 何も記述しなければ，「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　下にある設定が優先されます。
[displaystyle]
OFF


% Level1の問題を書く。以下Level7まで同様。
% 1行目には詳細設定のタイトルを書く。
% 2行目以降に問題とその解答を書く。
% 問題と解答，解答と問題は１行ずつあけて書く。
% 計算過程がある場合は，問題と解答の間に１行ずつ間隔をあけ，
% 最初にprocessという行を作り，その次の行から計算過程を書いていく。
[Level1]
確率（超基礎，中学レベル）
1から9までの数字が書かれたカードがある。
これをよくきって1枚取るとき，偶数になる確率を求めよ。

process
1から9までのうち偶数は2，4，6，8の4通りある。
よって求める確率は$\displaystyle \frac{4}{9}$

$\displaystyle \frac{4}{9}$

白球8個，赤球10個，青球7個が入った袋がある。
ここから球を1個取り出したとき白球が出る確率を求めよ。

process
25個から1個取る取り出し方は25通り。これらはどれも同様に確からしい。
このうち白球が出る場合の数は8通り。よって，
$\displaystyle \frac{8}{25}$

$\displaystyle \frac{8}{25}$

2つのサイコロを投げるとき，目の積が6になる確率を求めよ。

process
全ての場合の数は$6 \times 6=36通り$。
サイコロAの目をA，Bの目をBと定めるとき，積が6になる場合は\\
(A,B)=(6,1),(3,2),(2,3),(1,6)の4通り。よって求める確率は\\
$\displaystyle \frac{4}{36}=\displaystyle \frac{1}{9}$

$\displaystyle \frac{1}{9}$

2個のサイコロXとYを投げたとき，出る目の数の和が6になる確率を求めよ。

process
全ての場合の数は$6 \times 6=36通り$。
サイコロXの目をX，Yの目をYと定めるとき，和が6になる場合は\\
(X,Y)=(5,1),(4,2),(3,3),(2,4),(1,5)
の5通り。
よって，求める確率は
$\displaystyle \frac{5}{36}$

$\displaystyle \frac{5}{36}$

2つのサイコロを同時に投げたとき，2つとも奇数の目が出る確率を求めよ。

process
2個のサイコロを投げたときの全ての目の出方は，$6 \times 6=36$通り。
2つとも奇数である場合の数は，片方のサイコロが1，3，5，もう片方のサイコロも1，3，5が出ればよいから，
$3 \times 3=9$通り。\\
よって求める確率は$\displaystyle \frac{9}{36}=\displaystyle \frac{1}{4}$

$\displaystyle \frac{1}{4}$

3枚の硬貨を投げたとき，3枚とも表がでる確率を求めよ。

process
すべての場合の数は$2 \times 2 \times 2=8$通り。
3枚とも表がでる場合の数は1通り。
よって求める確率は$\displaystyle \frac{1}{8}$\\
（別）硬貨の表が出る確率は$\displaystyle \frac{1}{2}$。
3枚の硬貨を投げる試行は互いに独立だから，求める確率は\\
$\displaystyle \frac{1}{2} \times \displaystyle \frac{1}{2} \times \displaystyle \frac{1}{2}
=\displaystyle \frac{1}{8}$

$\displaystyle \frac{1}{8}$

2個のサイコロXとYを投げたとき，出る目の数の和が5になる確率を求めよ。

process
全ての場合の数は$6 \times 6=36通り$。
サイコロXの目をX，Yの目をYと定めるとき，和が5になる場合は\\
(X,Y)=(4,1),(3,2),(2,3),(1,4)
の4通り。
よって，求める確率は
$\displaystyle \frac{4}{36}=\displaystyle \frac{1}{9}$

$\displaystyle \frac{1}{9}$

A，B，C \, 3枚のコインを投げたとき，3枚とも表になる確率を求めよ。

process
図のように3枚のコインの表と裏の出方は，$2 \times 2 \times 2=8$通り。
3枚とも表になるのは1通りなので，求める確率は$\displaystyle \frac{1}{8}$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/302_kakuritsu/pic01.tex}
\end{center}

$\displaystyle \frac{1}{8}$

1〜20までの数字を書いた20枚のカードから1枚取り出したとき，3の倍数である確率はいくらか。

process
全ての場合の数は20。3の倍数は$20 \div 3$より6。
求める確率は$\displaystyle \frac{6}{20}=\displaystyle \frac{3}{10}$

$\displaystyle \frac{3}{10}$

3枚の硬貨を同時に投げ，3枚とも表になる確率を求めよ。

process
A，B，Cの3枚のコインの，表，裏の出方は$2 \times 2 \times 2=8$通り。
3枚とも表になる場合の数は1通り。よって，求める確率は
$\displaystyle \frac{1}{8}$

$\displaystyle \frac{1}{8}$

2個のサイコロを同時に振って，同じ目が出る確率を求めよ。

process
全ての場合の数は$6 \times 6=36$通り。同じ目が出る場合の数は
(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)の6通り。よって求める確率は
$\displaystyle \frac{6}{36}=\displaystyle \frac{1}{6}$

$\displaystyle \frac{1}{6}$

1〜30までの数字を書いた30枚のカードから1枚を取り出したとき，このカードの数字が3の倍数でない確率を求めよ。

process
3の倍数は$30 \div 3 =10$個。カード1枚を取り出したとき，3の倍数である確率は$\displaystyle \frac{10}{30}=\displaystyle \frac{1}{3}$。
したがって，3の倍数でない確率は$1-\displaystyle \frac{1}{3}=\displaystyle \frac{2}{3}$

$\displaystyle \frac{2}{3}$

2個のサイコロを振るとき，出た目の和が10になる確率を求めよ。

process
全ての場合の数は$6\times 6=36通り$。
サイコロを大，小とする。
目の和が10となるのは\\
$(大，小)=(6,\,4),(5,\,5),(4,\,6)$の3通り。
よって，求める確率は\\
$\displaystyle \frac{3}{36}=\displaystyle \frac{1}{12}$

$\displaystyle \frac{1}{12}$

2個のサイコロXとYを投げたとき，出る目の数の和が9になる確率を求めよ。

process
全ての場合の数は$6 \times 6=36通り$。
サイコロXの目をX，Yの目をYと定めるとき，和が9になる場合は\\
(X,Y)=(6,3),(5,4),(4,5),(3,6)
の4通り。
よって，求める確率は
$\displaystyle \frac{4}{36}=\displaystyle \frac{1}{9}$

$\displaystyle \frac{1}{9}$

1つのサイコロを2回振ったとき、
2回目の数が1回目の数の2倍になる確率を求めよ。

process
2倍になるのは、\\
(1,2),(2,4),(3,6)の3通り。
よって、$\displaystyle\frac{3}{6\times 6}=\displaystyle\frac{1}{12}$

$\displaystyle\frac{1}{12}$

1から50までの整数が1枚ずつ書いてあるカードが50枚あるときに、
この中から1枚引いて3で割り切れる数を引く確率は何\%か。

process
3で割り切れる数は、\\
$50 \div 3=16.\cdots$より、16個。\\
$\displaystyle\frac{16}{50}\times 100=32$\%

32\%

2個のサイコロを同時に投げたとき，一方が「2」の目，他方が「6」の目が出る確率を求めよ。

process
2個のサイコロをA，Bとする。全ての場合の数は$6 \times 6=36$通り。
題意の場合の数は(A,B)=(2,6),(6,2)の2通り。よって，$\displaystyle \frac{2}{36}=\displaystyle \frac{1}{18}$

$\displaystyle \frac{1}{18}$

4個の赤球と6個の白球が入っている袋がある。
この中から1つずつ球を取り出すとき，1回目が赤球，2回目が白球である確率を求めよ。
ただし，取り出した球は袋に戻さないものとする。

process
$\displaystyle \frac{4}{10} \times \displaystyle \frac{6}{9}=\displaystyle \frac{4}{15}$

$\displaystyle \frac{4}{15}$

赤玉が2個，白玉が5個の合計7個の玉が入っている袋の中から玉を1つ
取り出すとき，赤玉を取り出す確率を求めなさい。

process
$\displaystyle\frac{{}_2 \mathrm{C}_1}{{}_7 \mathrm{C}_1}=
\displaystyle\frac{2}{7}$

$\displaystyle\frac{2}{7}$

1つのさいころを2回投げるとき，
出た目の和が11になる確率を求めなさい。

process
出た目の和が11となるのは，（1回目，2回目）$=(6,5),(5,6)$の2通りであるから，\\
$\displaystyle\frac{2}{6 \times 6}=\displaystyle\frac{1}{18}$

$\displaystyle\frac{1}{18}$

1つのさいころを2回投げるとき，
出た目の積が奇数となる確率を求めなさい。

process
出た目の積が奇数となるのは，\\
（1回目，2回目）\\
$=(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)$
の9通りであるから，\\
$\displaystyle\frac{9}{6 \times 6}=\displaystyle\frac{1}{4}$

$\displaystyle\frac{1}{4}$

3枚のコインを同時に投げるとき，3枚とも表が出る
確率を求めなさい。

process
3枚とも表は$\bigcirc \bigcirc \bigcirc $の1通りであるから，求める確率は，\\
$\displaystyle\frac{1}{2 \times 2 \times 2}=\displaystyle\frac{1}{8}$

$\displaystyle\frac{1}{8}$

大小2個のさいころを同時に投げるとき，
出た目の積が3の倍数となる確率を求めなさい。

process
3の倍数は$6+4+4+4=20$
$\displaystyle\frac{20}{6 \times 6}=\displaystyle\frac{5}{9}$
\begin{figure}[!hbt]\begin{center}
 \includegraphics[width=40mm,clip]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/302_kakuritsu/h30m117.eps}
 \end{center}\end{figure} 

$\displaystyle\frac{5}{9}$







[Level2]
確率（基本，高校レベル）
袋の中に赤球6個と白球4個が入っている。この中から3個の球を同時に取り出すとき，
3個とも白球である確率を求めよ。

process
全ての場合の数は$ {}_{10} \rm{C} _3 =\displaystyle \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} =120$。
3個とも白球である場合の数は，$ {}_4 \rm{C} _3 ={}_4 \rm{C} _1=4 $。
よって求める確率は，$\displaystyle \frac{4}{120}=\displaystyle \frac{1}{30}$\\
（別）1球取り出すごとに全体の数も，白球の数も減り，これらが連続して起こるので，
$\displaystyle \frac{4}{10} \times \displaystyle \frac{3}{9} \times \displaystyle \frac{2}{8}
=\displaystyle \frac{1}{30}$

$\displaystyle \frac{1}{30}$

8本のうち2本の当たりが入っているくじがある。
1本ずつ続けて2個引くとき，1回目に当たり，2回目にはずれの出る確率を求めよ。

process
$\displaystyle \frac{2}{8} \times \displaystyle \frac{6}{7}=\displaystyle \frac{3}{14}$

$\displaystyle \frac{3}{14}$

5本のうち2本の当たりが入っているくじがある。
1回目にハズレ，2回目もハズレ，そして3回目に当たりの出る確率を求めよ。
ただし，取り出したくじは元に戻さないものとする。

process
$\displaystyle \frac{3}{5} \times \displaystyle \frac{2}{4} \times \displaystyle \frac{2}{3}=\displaystyle \frac{1}{5}$

$\displaystyle \frac{1}{5}$

3個の赤球，2個の白球，3個の黄球の入っている袋がある。
この中から2個の球を取り出すとき，2個とも赤球である確率を求めよ。

process
$\displaystyle \frac{{}_3 \rm{C} _2}{{}_8 \rm{C} _2}=\displaystyle \frac{3 \times 2}{2 \times 1} \div \displaystyle \frac{8 \times 7}{2 \times 1}
=\displaystyle \frac{3}{28}$

$\displaystyle \frac{3}{28}$

3個の赤球，1個の白球，2個の青球の入っている袋がある。
この中から同時に2個の球を取り出すとき，1個が赤球，1個が青球である確率を求めよ。

process
$\displaystyle \frac{{}_3 \rm{C} _1 \times {}_2 \rm{C} _1}{{}_6 \rm{C} _2}
=3 \times 2 \div \displaystyle \frac{6 \times 5}{2 \times 1}=\displaystyle \frac{2}{5}$

$\displaystyle \frac{2}{5}$

5個の数字1，2，3，4，5から4個の数字を選んで4桁の数をつくるとき，
偶数ができる確率を求めよ。

process
すべての場合の数は，\\
${}_5 \rm{P}_4=5 \times 4 \times 3 \times 2 =120$個。
このうち，偶数は\\
$2 \times {}_4 \rm{P}_3=2 \times 4 \times 3 \times 2 =48$個。\\
したがって，求める確率は，
$\displaystyle\frac{48}{120}=\displaystyle\frac{2}{5}$

$\displaystyle\frac{2}{5}$

男子4人，女子3人を1列に並べるとき，
両端に男子が並ぶ確率を求めよ。

process
全ての場合の数は，\\
${}_7 \rm{P}_7=7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times=5040$通り。\\
このうち，両端に男子が並ぶ場合の数は，\\
${}_4 \rm{P}_2 \times {}_5 \rm{P}_5
=(4 \times 3)\times (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)\\
=12 \times 120=1440$通り。\\
であるから
$\displaystyle\frac{1440}{5040}=\displaystyle\frac{2}{7}$

$\displaystyle\frac{2}{7}$

男子5人，女子5人，計10人から2人の委員を選ぶとき，
2人とも女子が選ばれる確率を求めなさい。

process
すべての場合の数は
${}_{10} \rm{C}_2=\displaystyle\frac{10 \times 9}{2 \times 1}=45$通り。\\
このうち，2人とも女子が選ばれる場合の数は，\\
${}_5 \rm{C}_2=\displaystyle\frac{5 \times 4}{2 \times 1}=10$通り。\\
よって，2人とも女子が選ばれる場合の確率は，\\
$\displaystyle\frac{10}{45}=\displaystyle\frac{2}{9}$

$\displaystyle\frac{2}{9}$

赤玉が5個、白玉が3個入った箱から2個取り出したときに、
2個とも赤玉になる確率を求めよ。

process
$\displaystyle \frac{{}_5 \rm{C} _2}{{}_8 \rm{C} _2}
=\displaystyle \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \div \displaystyle \frac{8 \times 7}{2 \times 1}
=\displaystyle \frac{5}{14}$\\
（別）\\
$\displaystyle\frac{5}{8}\times \displaystyle\frac{4}{7}$

$\displaystyle \frac{5}{14}$

1から50までの整数が1枚ずつ書いてあるカードが50枚あるときに、
この中から1枚引いて3でも4でも割り切れる数を引く確率は何\%か。

process
12で割り切れる数は、\\
$50 \div 12=4.\cdots$より、4個。\\
$\displaystyle\frac{4}{50}\times 100=8$\%

8\%

1から50までの整数が1枚ずつ書いてあるカードが50枚あるときに、
この中から1枚引いて3または4で割り切れる数を引く確率は何\%か。

process
3の倍数の数は、$50\div 3=16\cdots$より16個。\\
4の倍数の数は、$50\div 4=12.5$より12個。\\
12の倍数の数は、$50\div 12=4\cdots$より4個。\\
3または4の倍数は、$16+12-4=24$個。\\
$\displaystyle\frac{24}{50}\times 100=48$\%

48\%

1から50までの整数が1枚ずつ書いてあるカードが50枚あるときに、
この中から1枚引いて3または4で割り切れない数を引く確率は何\%か。

process
3の倍数の数は、$50\div 3=16\cdots$より16個。\\
4の倍数の数は、$50\div 4=12.5$より12個。\\
12の倍数の数は、$50\div 12=4\cdots$より4個。\\
3または4の倍数は、$16+12-4=24$個。\\
3または4で割り切れない数は、$50-24=26$個。
$\displaystyle\frac{26}{50}\times 100=52$\%

52\%

赤玉4個，
白玉3個，
青玉2個が入った
袋の中から，同時に3個の玉を取り出すとき，
取り出した玉の色が3色である確率を求めなさい。

process
$\displaystyle\frac{4 \times 3 \times 2}{{}_9 \mathrm{C}_3}
=\displaystyle\frac{2}{7}$

$\displaystyle\frac{2}{7}$







[Level3]
確率標準
1，2，3，4の4枚のカードを並べて4けたの数を作るとき，その数字が4200以上になる確率を求めよ。

process
4枚のカードの並べ方は$ 4 \, ! = 4 \times 3 \times 2 \times 1=24$通り。\\
4200以上は，4213，4231，4321，4312の4通り。\\
よって，求める確率は$\displaystyle \frac{4}{24}=\displaystyle \frac{1}{6}$

$\displaystyle \frac{1}{6}$

9人が1列に並ぶとき，この中のAさんとBさんが隣り合って並ぶ確率を求めよ。

process
9人の並び方は$ 9 \, ! $通り。
AさんとBさんを1人と考えると，8人を並べる並べ方は$ 8 \, ! $通り。
AとBの並べ方が2通りであるから，\\
$\displaystyle \frac{8 \, ! \times 2}{9 \, !}=\displaystyle \frac{2}{9}$

$\displaystyle \frac{2}{9}$

1，2，3，4の4枚のカードを並べて4けたの数を作るとき，その数字が2000以下になる確率を求めよ。

process
4枚のカードの並べ方は$4 \, !=4 \times 3 \times 2 \times 1=24$通りあり，
2000以下の数は，4けた目が1で，3けた，2けた，1けたに2，3，4の3枚のカードを並べればよいから，
$3 \, != 3 \times 2 \times 1=6$通り。よって，求める確率は
$\displaystyle \frac{6}{24}=\displaystyle \frac{1}{4}$

$\displaystyle \frac{1}{4}$

A，B，C \, 3枚のコインを投げたとき，1枚だけが表になる確率を求めよ。

process
A，B，Cの3枚のコインの，表，裏の出方は$2 \times 2 \times 2=8$通り。
1枚だけが表になるのは(A,B,C)=(表,裏,裏),(裏,表,裏),(裏,表,表)の3通りなので，求める確率は
$\displaystyle \frac{3}{8}$

$\displaystyle \frac{3}{8}$

1から100までの番号を1つずつ書いた100枚のカードから，1枚取り出したとき，
番号が2では割り切れるが6では割り切れない確率を求めよ。

process
全ての場合の数は100。2の倍数は$100 \div 2$より50個。6の倍数は$100 \div 6$より16個。
したがって「2では割り切れるが6では割り切れない」場合の数は$50-16=34$個。
よって求める確率は，$\displaystyle \frac{34}{100}=\displaystyle \frac{17}{50}$。

$\displaystyle \frac{17}{50}$

男子8人，女子10人の中から，3人の当番を選ぶとき，男子が1人で女子が2人となる確率を求めよ。

process
3人の選び方は，$ {}_{18} \rm{C} _3 $通り。
男子1人の選び方は$ {}_8 \rm{C} _1 $通り。 女子1人の選び方は$ {}_{10} \rm{C} _2 $通りだから，\\
$\displaystyle \frac{ {}_8 \rm{C} _1 \times {}_{10} \rm{C} _2 }{ {}_{18} \rm{C} _3 }
=\displaystyle \frac{15}{34}$

$\displaystyle \frac{15}{34}$

1〜13の数字が1つずつ書かれたカード13枚の中から2枚取り出すとき，
2枚のカードの数の和が偶数になる確率を求めよ。

process
全ての場合の数は，\\
${} _{13}\rm{C}_2=\displaystyle\frac{13\times 12}{2 \times 1}=78$通り。\\
13枚のカードのうち，偶数は6枚，奇数は7枚ある。
数の和が偶数となる場合の数は，「2枚とも偶数のカード」の場合と，
「2枚とも奇数のカード」の場合があることを考えて，\\
${}_6 \rm{C}_2+{}_7 \rm{C}_2=15+21=36$通り。\\
よって，求める確率は，\\
$\displaystyle\frac{36}{78}=\displaystyle\frac{6}{13}$

$\displaystyle\frac{6}{13}$






[Level4]
じゃんけん
勇気さんと元気さんがじゃんけんをします。
勇気さんがグーで勝つ確率を求めなさい。

process
全ての場合の数は，グー，チョキ，パーの3種類を2人が出せるので
$3 \times 3=9$通り。
このうち勇気さんがグーで勝つ場合の数は\\
$（勇気，元気）=（グー，チョキ）$の1通り。
よって，求める確率は$\displaystyle \frac{1}{9}$

$\displaystyle \frac{1}{9}$

Aさん，Bさん，Cさんの3人がじゃんけんをするとき，1回のじゃんけんであいこになる確率を求めよ。
ただし，3人のグー，チョキ，パーの出し方は，それぞれ同様に確からしいとする。

process
すべての出し方は$3^3=27$通り。あいこになるのは，\\
例1：（ぐ，ち，ぱ）：\\
ぐ，ち，ぱの並べ方を考えて$ 3 \, !=6$通り。\\
例1：（ぐ，ぐ，ぐ），（ち，ち，ち），（ぱ，ぱ，ぱ）：3通り\\
合計$6+3=9$通り。
求める確率は，$\displaystyle \frac{9}{27}=\displaystyle \frac{1}{3}$

$\displaystyle \frac{1}{3}$




[Level5]
少なくとも…
当たりくじ2本，からくじ3本からできているくじがある。
このくじを同時に2本ひくとき，少なくとも1本が当たりくじである確率を求めよ。

process
5本のくじから2本をひく場合の数は，\\
$ {}_5 \rm{C} _2 =\displaystyle \frac{5 \times 4}{2 \times 1} =10$通り。
2本ともからくじをひく場合の数は，\\
$ {}_3 \rm{C} _2 =\displaystyle \frac{3 \times 2}{2 \times 1} =3$通り。
よって，求める確率は$1-（2本ともからくじの確率）=1-\displaystyle \frac{3}{10}=\displaystyle \frac{7}{10}$

$\displaystyle \frac{7}{10}$

10から15までの整数が書かれたカードが1枚ずつある。
これをよく混ぜてカードを2枚抜き取る。
2枚のカードのうち，少なくとも1枚が5の倍数である確率を求めよ。

process
全ての取り出し方は
$ {}_6 \rm{C} _2 =\displaystyle \frac{6 \times 5}{2 \times 1} =15$通り。
このうち2枚とも5の倍数でない取り出し方は11，12，13，14から2枚取り出す場合の数であるから，
$ {}_4 \rm{C} _2 =\displaystyle \frac{4 \times 3}{2 \times 1} =6$通り。
よって求める確率は，
$1-\displaystyle \frac{6}{15}=1-\displaystyle \frac{2}{5}=\displaystyle \frac{3}{5}$

$\displaystyle \frac{3}{5}$

サイコロを3回振ったとき，6が少なくとも1回は出る確率を求めよ。

process
6が1回も出ない確率は，\\
$\displaystyle \frac{5}{6} \times \displaystyle \frac{5}{6} \times \displaystyle \frac{5}{6}=\displaystyle \frac{125}{216}$
である。そうでない確率は\\
$1-\displaystyle \frac{125}{216}=\displaystyle \frac{91}{216}$

$\displaystyle \frac{91}{216}$

赤玉5個と白玉3個が入った袋がある。
この袋から2個の玉を同時に取り出すとき，少なくとも1個は赤玉である確率を求めよ。

process
玉の取り出し方は$ {}_8 \rm{C} _2 = 28$通り。2個とも白玉の取り出し方は$ {}_3 \rm{C} _2 = {}_3 \rm{C} _1 = 3$通り。
求める確率は$1-\displaystyle \frac{3}{28}=\displaystyle \frac{25}{28}$

$\displaystyle \frac{25}{28}$

2個の赤球，3個の白球，1個の黒球の入っている袋がある。
この中から1個の球を取り出すとき，白球または黒球が出る確率を求めよ。

process
全ての場合の数は，$ {}_6 \rm{C} _1 = 6$通り。
「白球または黒球が出る」の余事象は「赤球が出る」であり，この場合の数は，$ {}_2 \rm{C} _1 = 2$通り。
よって，求める確率は$1-\displaystyle \frac{2}{6}=\displaystyle \frac{2}{3}$

$\displaystyle \frac{2}{3}$

不透明な袋の中に赤玉4個と白玉6個が入っている。
この袋の中から3個の玉を取り出すとき，赤玉が少なくとも1個取り出される確率を求めよ。

process
「赤玉が1個以上取り出される」の余事象は「赤玉が0個」すなわち「白玉が3個」
求める確率は$1-\displaystyle \frac{{}_6\rm{C}_3}{{}_{10}\rm{C}_3}
=1-\displaystyle \frac{6\times 5\times 4}{3\times 2 \times 1}\times 
\displaystyle\frac{3\times 2 \times 1}{10\times 9 \times 8}\\
=1-\displaystyle\frac{6\times 5 \times 4}{10\times 9 \times 8}
=1-\displaystyle\frac{1}{6}=\displaystyle\frac{5}{6}$

$\displaystyle\frac{5}{6}$

赤球6個，白球5個の合計11個の球が入っている袋がある。
この中から同時に4個取り出すとき，
少なくとも1個が白球である確率を求めよ。

process
「1個以上が白」の余事象は「4個全て赤球」。\\
全ての場合の数は，\\
${}_{11} \rm{C}_4
=\displaystyle\frac{11\times 10 \times 9 \times 8}{4\times 3 \times 2 \times 1}=330$通り。\\
4個が赤球となる場合の数は，\\
${}_6 \rm{C}_4={}_6 \rm{C}_2
=\displaystyle\frac{6 \times 5}{2 \times 1}=15$通り。\\
よって，求める確率は，\\
$1-\displaystyle\frac{15}{330}=1-\displaystyle\frac{1}{22}=\displaystyle\frac{21}{22}$

$\displaystyle\frac{21}{22}$

1から14までの14個の数字から，異なる3個の数字を選ぶとき，
選ばれた3個の数字の積が偶数となる確率を求めよ。

process
「3個の数字が積」となるためには，「3個の数字のうち少なくとも1つが偶数」であればよい。\\
全ての場合の数は，\\
${}_{14} \rm{C}_3=\displaystyle\frac{14\times 13\times 12}{3 \times 2 \times 1}=364$通り\\
「3個の数字の全てが奇数」となるのは，\\
${}_7 \rm{C}_3=\displaystyle\frac{7\times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}=35$通り\\
よって，求める確率は，\\
$1-\displaystyle\frac{35}{364}=1-\displaystyle\frac{5}{52}=\displaystyle\frac{47}{52}$

$\displaystyle\frac{47}{52}$

Ａ，Ｂ，Ｃの3人の生徒が，就職試験で合格する確率はそれぞれ$\displaystyle\frac{2}{3}$，$\displaystyle\frac{2}{5}$，$\displaystyle\frac{5}{6}$
である。このとき少なくとも1人は合格する確率を求めなさい。

process
「1人以上合格」の余事象は「0人合格」すなわち「3人とも不合格」。\\
よって，$1-\displaystyle\frac{1}{3} \times \displaystyle\frac{3}{5} \times \displaystyle\frac{1}{6}=\displaystyle\frac{29}{30}$

$\displaystyle\frac{29}{30}$

三択問題が4問ある。
この問題にてきとうに答えたとき，
少なくとも1問は正解する確率を求めなさい。

process
「1問以上正解」の余事象は「0問正解」すなわち「4問不正解」である。\\
$1-\left(\displaystyle\frac{2}{3} \right)^4=
1-\displaystyle\frac{16}{81}=\displaystyle\frac{65}{81}$

$\displaystyle\frac{65}{81}$






[Level6]
確率応用
2つのサイコロを投げるとき，目の積が20以上になる確率を求めよ。

process
全ての場合の数は$6 \times 6=36通り$。
サイコロAの目をA，Bの目をBと定めるとき，\\
積が20となる場合は(A,B)$=$(5,4),(4,5)\\
積が24となる場合は(A,B)$=$(6,4),(4,6)\\
積が25となる場合は(A,B)$=$(5,5)\\
積が30となる場合は(A,B)$=$(6,5),(5,6)\\
積が36となる場合は(A,B)$=$(6,6)\\
$\displaystyle \frac{8}{36}=\displaystyle \frac{2}{9}$

$\displaystyle \frac{2}{9}$

赤玉が4個，白玉が2個入った袋から，同時に2個の玉を取り出すとき，
2個とも同じ色になる確率を求めよ。

process
2個とも赤になる確率は，\\
$\displaystyle \frac{{}_4 \rm{C} _2}{{}_6 \rm{C} _2}
=\displaystyle \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \div \displaystyle \frac{6 \times 5}{2 \times 1}
=\displaystyle \frac{6}{15}$\\
2個とも白になる確率は，\\
$\displaystyle \frac{{}_2 \rm{C} _2}{{}_6 \rm{C} _2}
=1 \div \displaystyle \frac{6 \times 5}{2 \times 1}
=\displaystyle \frac{1}{15}$\\
よって，求める確率は，$\displaystyle\frac{7}{15}$\\
（別）\\
2個とも赤になる確率は，$\displaystyle\frac{4}{6}\times \displaystyle\frac{3}{5}$\\
2個とも白になる確率は，$\displaystyle\frac{2}{6}\times \displaystyle\frac{1}{5}$\\
よって，$\displaystyle\frac{14}{30}=\displaystyle\frac{7}{15}$

$\displaystyle\frac{7}{15}$

赤玉が5個，白玉が3個の合計8個の玉が入っている袋の中から，
玉を同時に2個の玉を取り出すとき，
2個とも同じ色になる確率を求めなさい。

process
2個とも赤になる確率は，\\
$\displaystyle \frac{{}_5 \rm{C} _2}{{}_8 \rm{C} _2}
=\displaystyle \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \div \displaystyle \frac{8 \times 7}{2 \times 1}
=\displaystyle \frac{5}{14}$\\
2個とも白になる確率は，\\
$\displaystyle \frac{{}_3 \rm{C} _2}{{}_8 \rm{C} _2}
=\displaystyle \frac{3 \times 2}{2 \times 1} \div \displaystyle \frac{8 \times 7}{2 \times 1}
=\displaystyle \frac{3}{28}$\\
よって，求める確率は，$\displaystyle\frac{13}{28}$\\
（別）\\
2個とも赤になる確率は，$\displaystyle\frac{5}{8}\times \displaystyle\frac{4}{7}=\displaystyle\frac{5}{14}$\\
2個とも白になる確率は，$\displaystyle\frac{3}{8}\times \displaystyle\frac{2}{7}=\displaystyle\frac{3}{28}$\\
よって，$\displaystyle\frac{10+3}{28}=\displaystyle\frac{13}{28}$

$\displaystyle\frac{13}{28}$

6個の赤玉と4個の白玉の入っている袋がある。
この中から2個の玉を取り出すとき，2個とも同じ色である確率を求めよ。

process
10個の中から2個取り出す取り出し方は，\\
$ {}_{10} \rm{C} _2 =\displaystyle \frac{10 \times 9}{2 \times 1} =45$通り。\\
2個とも赤玉を取り出す場合の数は，\\
$ {}_6 \rm{C} _2 =\displaystyle \frac{6 \times 5}{2 \times 1} =15$通り。\\
2個とも白玉を取り出す場合の数は，\\
$ {}_4 \rm{C} _2 =\displaystyle \frac{4 \times 3}{2 \times 1} =6$通り。\\
「2個とも赤玉を取り出す場合」と「2個とも白玉を取り出す場合」は同時には起こらないので，
2個とも同じ色になる場合の数は$15+6=21$通り。
よって，求める確率は$\displaystyle \frac{21}{45}$

$\displaystyle \frac{21}{45}$

8個の赤球と12個の白玉の入っている袋がある。
この中から1個ずつ玉を取り出し，取り出した玉を袋にもどさないものとした場合，
1回目に白玉，2回目に赤玉が出る確率を求めよ。

process
20個の玉から白玉を取り出す確率は$\displaystyle \frac{12}{20}$。\\
残りの19個の玉から赤玉を取り出す確率は$\displaystyle \frac{8}{19}$，\\
よって，求める確率は
$\displaystyle \frac{12}{20} \times \displaystyle \frac{8}{19}=\displaystyle \frac{24}{95}$

$\displaystyle \frac{24}{95}$

5枚の硬貨を同時に投げるとき，表の出る確率の枚数が偶数となる確率を求めよ。

process
5枚の硬貨の表・裏の出方の総数は$2^5=32$通り。
このうち表が偶数枚である場合の数を考えると，\\
ア：表が0枚，すなわち全て裏の場合は1通り。\\
イ：表が2枚の場合は$ {}_5 \rm{C} _2 =\displaystyle \frac{5 \times 4}{2 \times 1} =10$通り。\\
ウ：表が4枚の場合は$ {}_5 \rm{C} _4 ={}_5 \rm{C} _1 =5$通り。\\
合計16通り。よって求める確率は，
$\displaystyle \frac{16}{32}=\displaystyle \frac{1}{2}$

$\displaystyle \frac{1}{2}$

3つのサイコロを同時に振ったとき，出た目の数の和が5以下になる確率を求めよ。

process
3つのサイコロの目$(a，b，c)$の出方は，\\
$3^3=216$通り。\\
5以下の場合は，\\
$(a, \, b, \, c)=\\
(1, \, 1, \, 1),(1, \, 1, \, 2),(1, \, 1, \, 3)\\
(1, \, 2, \, 1),(1, \, 2, \, 2),(1, \, 3, \, 1)\\
(2, \, 1, \, 1),(2, \, 1, \, 2),(2, \, 2, \, 1)\\
(3, \, 1, \, 1)$
の合計10通り。\\
よって，$\displaystyle \frac{10}{216}=\displaystyle \frac{5}{108}$

$\displaystyle \frac{5}{108}$

袋の中に，青，赤，白の球がそれぞれ20個，25個，30個入っている。
2回続けて球を取り出すとき，2回とも同じ色を出す確率はどれか。
ただし，取り出した球は元に戻さないものとする。

process
2回とも青の確率$=\displaystyle \frac{20}{75} \times \displaystyle \frac{19}{74}=\displaystyle \frac{38}{555}$\\
2回とも赤の確率$=\displaystyle \frac{20}{75} \times \displaystyle \frac{24}{74}=\displaystyle \frac{60}{555}$\\
2回とも白の確率$=\displaystyle \frac{30}{75} \times \displaystyle \frac{29}{74}=\displaystyle \frac{87}{555}$\\
$\displaystyle \frac{38}{555}+\displaystyle \frac{60}{555}+\displaystyle \frac{87}{555}
=\displaystyle \frac{185}{555}=\displaystyle \frac{1}{3}$

$\displaystyle \frac{1}{3}$

箱の中に1から5までの数字を1つずつ書いた5枚のカードがある。
この箱の中から2枚のカードを取り出したとき，その和が偶数になる確率を求めよ。

process
2枚のカードの取り出し方は，$ {}_5 \rm{C} _2 =10$通り。このうち和が偶数になるのは，\\
偶数と偶数…(2,4)の1通り。\\
奇数と奇数…1，3，5から2個選べばよいから，$ {}_3 \rm{C} _2 ={}_3 \rm{C} _1=3$通り。\\
合計4通り。\\
よって， 求める確率は$\displaystyle \frac{4}{10}=\displaystyle \frac{2}{5}$

$\displaystyle \frac{2}{5}$

1，2，3，4の4枚のカードがある。
このカードを1枚ずつ2回続けて取り出し，取り出した順に左から右へ並べて2けたの整数をつくるとき，
この整数が23より小さい確率を求めよ。

process
全ての場合の数は，$ {}_4 \rm{P} _2 = 4 \times 3 =12$通り。
23より小さいのは，12，13，14，21の4通りだから，求める確率は
$\displaystyle \frac{4}{12}=\displaystyle \frac{1}{3}$。

$\displaystyle \frac{1}{3}$

袋の中に赤球5個と白球3個が入っている。
この中から2個の球を同時に取り出すとき，1個が赤球，1個が白球である確率を求めよ。

process
全ての場合の数は$ {}_8 \rm{C} _2 =\displaystyle \frac{8 \times 7 }{ 2 \times 1} =28$通り。
1個が赤球，1個が白球である場合の数は，$5 \times 3=15$通り。
よって，求める確率は，$\displaystyle \frac{15}{28} $\\
（別）赤球，白球の順に出る確率は$\displaystyle \frac{5}{8} \times \displaystyle \frac{3}{7}$であるが，
白球，赤球の順に出る確率も同じなので，求める確率は，
$\displaystyle \frac{5}{8} \times \displaystyle \frac{3}{7} \times 2=\displaystyle \frac{15}{28}$

$\displaystyle \frac{15}{28} $






[Level7]

[Level8]

[EOF]
% ファイルの最後につける

＜ボツ簡単すぎ＞

サイコロを1つ投げて3が出る確率を求めよ。

process
サイコロの目の出方は6通り。そのうち3が出るのは1通りなので，求める確率は
$\displaystyle \frac{1}{6}$

$\displaystyle \frac{1}{6}$



