% %以下の文をコメント文としたいのですが，現時点ではまだできません。
% 問題のタイトル

[Title]
403_立体図形

% 問題文
% 何も書かなければ，[Level1]等に書いたものがそのまま問題文となる。
[Problem]
次の問いに答えよ。
% フォントの大きさ。1〜10，またはTeXのコマンドを指定する。
% デフォルトは，5（\normalsize）
% 1は\tiny， 2は\scriptsize，3は\footnotesize，4は\small， 5は\normalsize
% 6は\large，7は\Large，     8は\LARGE，       9は\huge， 10は\Huge
[FontSize]
5

% プリアンブルに追加したいパッケージファイルを指定する。
[usepackage]
\usepackage{color}

% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付ける場合は，　ON または1
% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付けない場合は，OFFまたは0
% 「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の下にある設定を
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　無視する場合に指定してください。
% 何も記述しなければ，「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　下にある設定が優先されます。
[displaystyle]
OFF


% Level1の問題を書く。以下Level7まで同様。
% 1行目には詳細設定のタイトルを書く。
% 2行目以降に問題とその解答を書く。
% 問題と解答，解答と問題は１行ずつあけて書く。
% 計算過程がある場合は，問題と解答の間に１行ずつ間隔をあけ，
% 最初にprocessという行を作り，その次の行から計算過程を書いていく。
[Level1]
相似
縮尺50000分の1の地図上での4.5cmの長さは，実際には何kmか。

process
${\rm 4.5cm \times 50000=225000 cm =2250m=2.25km}$

${\rm 2.25km}$

縮尺1000分の1の地図上で面積が$4 {\rm cm^2}$の土地の実際の値は何${\rm m^2}$か。

process
面積が$4 {\rm cm^2}$より，正方形と仮定すると辺の長さ$=2cm$。
この1000倍は$2\times 1000=2000{\rm cm=20m}$。したがって，実際の面積は
$20\times 20=400{\rm m^2}$\\
（別）
${\rm 4 cm^2 \times 1000^2=4 \times 10^6 cm^2=4 \times 10^2 m^2=400m^2}$

$400 {\rm m^2}$

相似比が$2 : 3$の2つの正方形において，小さい方の正方形の面積が$20 {\rm cm^2}$のとき，
大きい方の正方形の面積を求めよ。

process
面積比は$2^2:3^2=4:9$だから，$20 \times \displaystyle \frac{9}{4}=45$

$45 {\rm cm^2}$

ある三角形の底辺の長さを変えずに高さを３倍にした。このとき面積は（ア）倍になる。

（ア）3

ある三角形の形を変えずに底辺と高さをそれぞれ３倍にした。このとき面積は（イ）倍になり，周囲の長さは（ウ）倍になる。

（イ）9，（ウ）3

ある正方形の縦と横を同じ比率でのばしたら，面積は２倍になった。辺の長さは（ア）倍になった。

process
（ア）$x^2=2$

$（ア）\sqrt{2}$

ある直方体の縦と横と高さをそれぞれ２倍にした。このとき表面積は（イ）倍になり，体積は（ウ）倍になる。

process
（イ）$2^2=4$，（ウ）$2^3=8$

（イ）4，（ウ）8

直円すい状の容器A，Bがあり，容積はともに32$\,l$である。いま，A，Bともに深さ$\displaystyle \frac{1}{2}$のところまで水が入っている。
Aの水をすべてBに入れると，Bにはあと何$l$入れられるか。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic01.tex}
\end{center}

process
水の深さが$\displaystyle \frac{1}{2}$であるから，\\
相似比$=\displaystyle \frac{1}{2}$，
体積比$=\left( \displaystyle \frac{1}{2} \right)^3=\displaystyle \frac{1}{8}$。\\
容積が$32\,l$であるから，入っている水の量はA，Bともに$32 \times \displaystyle \frac{1}{8}=4\,l$。
これをすべてBに入れると，Bの水の量は$8\,l$。よって，Bにはあと$32-8=24\,l$入る。

$24\,l$

図の正四角すいPとQは相似である。Pの表面積が$108{\rm cm^2}$のとき，Qの表面積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic02.tex}
\end{center}

process
$108 \times \left( \displaystyle \frac{5}{3} \right)^2$

$300 \,{\rm cm^2}$

図の正四角すいPとQは相似である。Qの体積が$500{\rm \,cm^3}$のとき，Pの体積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic02.tex}
\end{center}

process
$500 \times \left( \displaystyle \frac{3}{5} \right)^3$

${\rm 108 \,cm^3}$

図のように，相似な二つの円柱${\rm P,\,Q}$がある。
${\rm P}$と${\rm Q}$の相似比が$1:2$であるとき，${\rm P}$と${\rm Q}$の体積比は$1:\fbox{ キ }$ である。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic206.tex}
\end{center}

process
「体積比」→「辺の3乗の比」より，\\$1^3:2^3=1:8$

$8$

図のように，直角三角形ABCの斜辺AC上の点Dから，二辺AB，BCに垂線を引き，それぞれの交点をE，Fとする。
AC $=9\,{\rm cm}$で三角形AEDと三角形DFCの面積比が$1:4$であるとき，ADの長さは何${\rm cm}$か。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic208.tex}
\end{center}

process
（面積比）$=1:4$より，（辺の比）$=1:2$\\
{\bf（別）}\,AD $=x$とおくと，DC $=9-x$。\\
「面積比」→「辺の2乗の比」より，\\
$1:4=x^2:(9-x)^2$\, ∴$4x^2=(9-x)^2$\\
∴$4x^2=81-18x+x^2$ ,\,$3x^2+18x-81=0$\\
$x^2+6x-27=0$,\, $(x-3)(x+9)=0$ ∴$x=3,\,-9$。
$x>0$だから，$x=3$

$3 \,{\rm cm}$

図のように，二つの相似なカップ${\rm P}$，${\rm Q}$があり，${\rm P}$の高さは${\rm 6 cm}$，${\rm Q}$の高さは${\rm 8 cm}$である。
${\rm P}$に入れることのできる水の体積が${\rm 27 \pi cm^3}$であるとき，
${\rm Q}$に入れることのできる水の体積は何${\rm cm^3}$か。\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic217.tex}
\end{center}

process
$27 \pi \times \left( \displaystyle \frac{8}{6} \right)^3
=27 \pi \times \left( \displaystyle \frac{4}{3} \right)^3
=27 \pi \times \displaystyle \frac{64}{27} $

${\rm 64 \pi cm^3}$

半径$1$cmの球${\rm P}$と半径$2$cmの球${\rm Q}$がある。
このとき，球${\rm P}$と球${\rm Q}$の体積比は$1: \fbox{\,カ\,}$

process
「体積比」→「辺の3乗の比」より，\\$1^3:2^3=1:8$

$8$

図のように，二つの正五角形があり，その相似比は$4:5$である。
正五角形${\rm P}$の面積が$32 $cm$^2$であるとき，正五角形${\rm Q}$の面積は何cm$^2$か。\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic228.tex}
\end{center}

process
「面積比」→「辺の2乗の比」より，\\
$32 \times \displaystyle \frac{5^2}{4^2}=32 \times \displaystyle \frac{25}{16}=50$

$50\,$cm$^2$

図のように，相似な二つの直方体の容器${\rm P}$，${\rm Q}$がある。
容器${\rm P}$の深さは$3$\,cm，容器${\rm Q}$の深さは$6$\,cmである。
容器${\rm P}$にいっぱいに水を入れて，容器${\rm Q}$に水を移し替えることを繰り返すと，
何回で容器${\rm Q}$がいっぱいになるか。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic234.tex}
\end{center}

process
「体積比」→「辺の3乗の比」より，\\$1^3:2^3=1:8$

$8$

下の図の三角錐ABCDと三角錐EFGHは相似で，対応する2辺AB，EFについて，\\
AB:EF$=1:3$である。\\
三角錐ABCDの表面積が$7 {\rm cm^2}$であるとき，三角錐EFGHの表面積は何${\rm cm^2}$か。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic238.tex}
\end{center}

process
求める表面積を$S$とすると，\\
$7:S=1^2:3^2=1:9$より，$S=7 \times 9=63$

$63 {\rm cm^2}$

下の図のような円すい状のグラスに小さなグラスで水を入れたところ，
$\displaystyle \frac{1}{4}$の高さまで水が入った。
このグラスをいっぱいにするには，さらにさらに何杯の水を入れる必要があるか。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic101.tex}
\end{center}

process
大きなグラスと入った水の相似比は，\\
$1:\displaystyle \frac{1}{4}=4:1$\\
これより体積比は，\\
$4^3:1^3=64:1$\\
よって，あと$64-1=63杯$の水を入れるといっぱいになる。

63杯

図のような相似な二つの円柱P，Qがあり，
Pの高さは2\,cm，Qの高さは4\,cmである。
小さい円柱Pの体積が$6\,\rm{cm}^3$であるとき，
大きい円柱Qの体積は何$\rm{cm}^3$か。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic239.tex}
\end{center}

process
${\rm 6cm^3\times\displaystyle\frac{4^3}{2^3}
=6cm^3\times 2^3=48}$

${\rm 48 cm^3}$

図において小さい円すいと下の円すい台の体積比は
1:\fbox{　　}である。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic102.tex}
\end{center}

process
（小さい円すいの体積）：（もとの円すいの体積）\\
$=1^3:2^3=1:8$\\
（小さい円すいの体積）：（円すい台の体積）\\
$=1:(8-1)=1:7$

7

図のような円すい形の容器に${\rm 108 cm^3}$の水を入れると
$\displaystyle\frac{3}{5}$の高さになった。
あと何${\rm cm^3}$の水を入れたら容器はいっぱいになるか。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic104.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic104p.tex}
\end{center}
（大きい円すいの体積）：（小さい円すいの体積）
$=5^3:3^3$であるから，\\
（大きい円すいの体積）$=108\times \displaystyle\frac{5^3}{3^3}=500$\\
求める体積は，\\
$500-108=392$

${\rm 392 \,cm^3}$

$\triangle $ABCと$\triangle $PQRは相似な図形で，相似比は$1:2$である。
$\triangle $ABCの面積が$12\, {\rm cm^2}$であるとき，$\triangle $PQRの面積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic302.tex}
\end{center}

process
$12\times \displaystyle\frac{2^2}{1^2}=12\times 4=48$

$48 \,{\rm cm^2}$

球Aと球Bは相似な立体で，相似比は$1\,:\,3$である。
球Aの表面積が$4\pi \,{\rm cm^2}$であるとき，球Bの表面積は何${\rm cm^2}$か。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic303.tex}
\end{center}

process
$4\pi\times \displaystyle\frac{3^2}{1^2}=4\pi \times 9=36\pi$

$36 \pi {\rm cm^2}$

三角すいAと三角すいBは相似な立体で，相似比は$1\,:\,2$である。
三角すいAの体積が$8 {\rm cm^3}$であるとき，三角すいBの体積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic304.tex}
\end{center}

process
$8 \times \displaystyle\frac{2^3}{1^3}=64$

$64\,{\rm cm^3}$

図の直方体Aと直方体Bの相似比は$2\,:\,3$である。
Aの表面積が$200{\rm cm^2}$のとき，Bの表面積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic307.tex}
\end{center}

process
$200 \times \displaystyle\frac{3^2}{2^2}=450$

$450 {\rm cm^2}$

2つの相似な直方体P，Qがあり，相似比は$2:3$である。
Qの表面積が${\rm 36 cm^2}$
のとき，Pの表面積を求めなさい。

process
$S=36 \times \displaystyle\frac{2^2}{3^2}=16$

${\rm 16 cm^2}$

2つの相似な長方形E，Fがあり，相似比は$2:5$である。
Eの面積が${\rm 8 cm^2}$
のとき，Fの面積を求めなさい。

process
$S=8 \times \displaystyle\frac{5^2}{2^2}=50$

${\rm 50 cm^2}$

2つの相似な長方形E，Fがあり，相似比は$3:4$である。
Fの面積が${\rm 80 cm^2}$
のとき，Fの面積を求めなさい。

process
$S=80 \times \displaystyle\frac{3^2}{4^2}=45$

${\rm 45 cm^2}$

2つの相似な三角すいP，Qがあり，相似比は$2:3$である。
Qの体積が${\rm 54 cm^3}$
のとき，Pの体積を求めなさい。

process
$V=54 \times \displaystyle\frac{2^3}{3^3}=16$

${\rm 16 cm^3}$

2つの相似な円すいP，Qがあり，相似比は$1:2$である。
Pの体積が$3\pi {\rm cm^3}$
のとき，Qの体積を求めなさい。

process
$V=3\pi \times \displaystyle\frac{2^3}{1^3}=24\pi$

$24\pi {\rm cm^3}$






[Level2]
すい体
底面の半径が3で，高さが4の円すいの体積を求めよ。（円周率は$\pi$とする）

process
$\displaystyle \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4=12 \pi$

$12 \pi$

底面の半径が3で，母線の長さが5の円すいの体積を求めよ。（円周率は$\pi$とする）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic309.tex}
\end{center}

process
三平方の定理より，円すいの高さは4。\\
$\displaystyle \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4=12 \pi$

$12 \pi$

底面の半径が4で，高さが3の円すいの体積を求めよ。（円周率は$\pi$とする）

process
$\displaystyle \frac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 3=16 \pi$

$16 \pi$

円すいの展開図が半径$6{\rm cm}$の半円のとき，この円すいの体積を求めよ（単位：${\rm cm^3}$）。

process
半円の扇形の長さは$(2 \pi \times 6) \times \displaystyle \frac{1}{2}= 6 \pi$。
底面の半径を$r$とすると，$2 \pi r=6 \pi$。∴$r=3 \,{\rm cm}$。母線が$6 \,{\rm cm}$だから，高さは$3 \sqrt{3} \,{\rm cm}$。よって，体積は，\\
$\displaystyle \frac{1}{3} \times \pi ・3^2 \times 3 \sqrt{3}$

${\rm 9 \sqrt{3} \pi \,cm^3}$

図のような正四角すいの体積を求めよ（単位${\rm cm^3}$）。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic13.tex}
\end{center}

process
高さを$h$とすると，$\sqrt{2}^2+h^2=3^2$。∴$h=\sqrt{7}$。求める体積は
$\displaystyle \frac{1}{3} \times 2^2 \times \sqrt{7}=\displaystyle \frac{4}{3} \sqrt{7}$

$\displaystyle \frac{4}{3} \sqrt{7}$

図の斜線部の台形を$y$軸の周りに１回転してできる立体の体積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic14.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic14p.tex}
\end{center}
図より，$\triangle$ CPAを回転してできる円すいは底面の半径$4$，高さ$6$の直円すい。
この直円すいの体積は\\
$\displaystyle \frac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 6=32 \pi$。
$\triangle$ CQBを回転してできる円すいは底面の半径$2$，高さ$3$の直円すいで，体積は\\
$\displaystyle \frac{1}{3} \times \pi ・2^2 \times 3 = 4 \pi$。\\
求める体積は$32 \pi -4 \pi=28 \pi$

$28 \pi$

底面の半径が$5 {\rm cm}$，母線の長さが$13 {\rm cm}$の円すいがある。
この円すいの体積を求めよ。ただし，円周率は$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic15.tex}
\end{center}

process
円すいの高さを$h$とおくと，\\
$h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12$。
求める体積は，\\
$\displaystyle \frac{1}{3} \times\pi \times 5^2 \times 12=100 \pi$

${\rm 100 \pi cm^3}$

図は底面積$50 {\rm cm^2}$，高さ$12 \,{\rm cm}$の正四角すいである。この正四角すいの体積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic16.tex}
\end{center}

process
${\rm \displaystyle \frac{1}{3} \times 50 \times 12=200 cm^3}$

${\rm 200 \, cm^3}$

底面の半径が$3 {\rm cm}$，母線の長さが$6 {\rm cm}$の円すいについて，高さと体積を求めなさい。
ただし，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic17.tex}
\end{center}

process
$1:2:\sqrt{3}$の比だから，高さ$h=3\sqrt{3}{\rm cm}$。\\
体積=$\displaystyle \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times (3\sqrt{3})=9\sqrt{3}$

$高さh=3\sqrt{3}{\rm cm}，体積=9\sqrt{3}{\rm cm^3}$

高さが10cm，底面の半径が6cmの円すいの体積を求めなさい。ただし，円周率は$\pi$とする。

process
$\displaystyle \frac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 10$

$120 \pi$

高さが12cm，底面の半径が6cmの円すいの体積を求めなさい。ただし，円周率は$\pi$とする。

process
$\displaystyle \frac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 12$

$144 \pi$

図は，底面が1辺$3\,{\rm cm}$の正方形で，
高さが$6 \,{\rm cm}$の四角すいである。
この四角すいの体積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic305.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle\frac{1}{3} \times 4^2 \times 6=32$

$32\,{\rm cm^3}$

図のような，円すいと半球を組み合わせた立体の体積を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic240.tex}
\end{center}

process
円すい部分の体積は，$\displaystyle\frac{1}{3} \,\pi\times3^2\times 4=12\pi\,\rm{cm^3}$\\
半球部分の体積は，$\displaystyle\frac{1}{2}\times\displaystyle\frac{4}{3} \,\pi\times 3^3=18\pi\,\rm{cm^3}$

$30\pi\,\rm{cm^3}$

図のような，円すいと半球を組み合わせた立体の表面積を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic240.tex}
\end{center}

process
円すい部分の表面積は，$\pi 5^2 \times \displaystyle\frac{2\pi\times 3}{2\pi \times 5}
=\pi\times 5 \times 3=15\pi\,\rm{cm^2}$\\
半球部分の表面積は，$\displaystyle\frac{1}{2}\times 4\pi\times 3^2=18\pi\,\rm{cm^2}$

$33\pi\,\rm{cm^2}$







[Level3]
球の表面積，体積
半径が$5\,{\rm cm}$の球の表面積を求めよ（単位：${\rm cm^2}$）。

process
球の表面積=$4 \pi \times 5^2=100 \pi$

$100\pi$

半径3cmの球の体積と表面積を求めなさい。ただし，円周率を$\pi$とする。

process
$体積V=\displaystyle \frac{4}{3} \pi r^3=\displaystyle \frac{4}{3} \times\pi \times 3^3=36 \pi$\\
$表面積S=4 \pi r^2=4 \pi \times 3^2=36 \pi$

体積${\rm =36 \pi\,cm^3}$，表面積${\rm=36\pi\,cm^2}$

半径が$2\,{\rm cm}$の半球の表面積を求めよ（単位：${\rm cm^2}$）。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic21.tex}
\end{center}

process
円の面積+$\displaystyle \frac{1}{2} \times$球の表面積=$\pi・2^2+\displaystyle \frac{1}{2} \times 4\pi \times 2^2$

$12\pi$

半径が$2\,{\rm cm}$の半球の体積を求めよ（単位：${\rm cm^3}$）。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic21.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{1}{2} \times$球の体積=$\displaystyle \frac{1}{2} \times \displaystyle \frac{4}{3} \times\pi \times 2^3$

$\displaystyle \frac{16}{3} \pi$

半径$2\, {\rm cm}$の球の表面積と体積を求めよ。ただし円周率を$\pi$とする。

process
$S=4 \pi r^2=4 \pi \times 2^2=16 \pi$\\
$V=\displaystyle \frac{4}{3} \pi r^3=\displaystyle \frac{4}{3}\times \pi\times 2^3=\displaystyle \frac{32}{3} \pi$

$表面積=16 \pi\,{\rm cm^2}$，$体積=\displaystyle \frac{32}{3} \pi\,{\rm cm^3}$

底面の円の半径が$5 \,{\rm cm}$の円柱は，高さが何${\rm cm}$のとき，半径$5{\rm cm}$の球と同じ体積になるか。

process
円柱の高さを$x \,{\rm cm}$とすると，$\pi ・5^2 \times x =\displaystyle \frac{4}{3} \pi ・5^3$

$\displaystyle \frac{20}{3}$

図の半球の表面積を求めよ。ただし，円周率は$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic25.tex}
\end{center}

process
$(4 \times \pi \times 8^2) \times \displaystyle \frac{1}{2}+\pi \times8^2=128 \pi+64 \pi=192 \pi$

$192\pi \,{\rm cm^2}$

図の半径$3\,{\rm cm}$の半球の表面積を求めなさい。（ただし，円周率を$\pi$とする。）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic26.tex}
\end{center}

process
$(4 \times \pi \times 3^2) \times \displaystyle \frac{1}{2}+\pi \times 3^2=18 \pi+9 \pi=27 \pi$

$27\pi \,{\rm cm^2}$

半径$6 \,{\rm cm}$の球の体積を求めよ。

process
$\displaystyle \frac{4}{3} \times \pi\times 6^3=288 \pi$

$288 \pi({\rm cm^3})$

半径3cmの球の表面積と等しい表面積を持つ立方体の，
1つの面の面積を求めなさい。ただし，円周率は$\pi$とする。

process
球の表面積は$4\pi \times 3^2$であるから，
$\displaystyle\frac{4\pi \times 3^2}{6}=6\pi$

$6\pi$








[Level4]
応用
底面の半径が4 cm，高さが8 cmの円柱に，半径4 cmの球がちょうどおさまっている。球と円柱の体積の比を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic22.tex}
\end{center}

process
球の体積は${\rm \displaystyle \frac{4}{3} \pi \times 4^3=\displaystyle \frac{256}{3} \pi \,cm^3}$。\\
円柱の体積は${\rm \pi \times 4^2 \times 8=128 \pi \,cm^3}$。
したがって，\\
（球の体積）：（円柱の体積）$=\displaystyle \frac{256}{3} \pi : 128 \pi=2:3$

（球の体積）：（円柱の体積）$=\displaystyle \frac{256}{3} \pi : 128 \pi=2:3$

底面の半径が4 cm，高さが8 cmの円柱に，半径4 cmの球がちょうどおさまっている。球の表面積と円柱の側面積の比を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic22.tex}
\end{center}

process
球の表面積は$4 \times \pi \times 4^2=64 \pi \,{\rm cm^2}$。\\
円柱の側面積は$(2 \times \pi \times 4)\times 8=64 \pi \,{\rm cm^2}$。\\
したがって，\\
（球の表面積）：（円柱の側面積）\\
$=64 \pi:64 \pi=1:1$

（球の表面積）：（円柱の側面積）$=1:1$

図の斜線の部分を直線$l$を軸として１回転したときにできる立体について体積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic23.tex}
\end{center}

process
孤ABを１回転すると，半径6cmの半球ができる。この体積を求めると，\\
$\left( \displaystyle \frac{4}{3} \times \pi \times 6^3 \right) \times \displaystyle \frac{1}{2}=144 \pi \,{\rm cm^3}$。\\
孤DCを１回転すると，半径3cmの半球ができる。この体積を求めると，\\
$\left( \displaystyle \frac{4}{3} \times \pi \times 3^3 \right) \times \displaystyle \frac{1}{2}=18 \pi \,{\rm cm^3}$。\\
したがって，求める体積は$144 \pi-18 \pi=126 \pi \,cm^3$

$126 \pi \,{\rm cm^3}$

1辺の長さが1である正八面体の体積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic103.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic103p.tex}
\end{center}
${\rm BG=\displaystyle\frac{1}{2}\times BD=\displaystyle\frac{1}{2}\times BC\times \sqrt{2}=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}}$\\
${\rm AG=\sqrt{1^2-\left( \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2}}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$\\
求める体積は$2\times \displaystyle\frac{1}{3}\times 1^2 \times \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}
=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3}$

$\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3}$

図のように，1辺の長さが12，体積が$144\sqrt{2}$の正四面体があり，その４つの面すべてに接する球があるとき，球の半径と球の体積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic24.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic24p.tex}
\end{center}
正四面体を，球の中心を頂点とする４つの合同な三角錐が合わさったものとみる。球の半径を$r$とすると，
$\left \{ \displaystyle \frac{1}{3} \times \left( \displaystyle \frac{1}{2} \times 12 \times 6 \sqrt{3} \right) \times r \right \} \times 4=144 \sqrt{2}$。
$\sqrt{3} r=3 \sqrt{2}$。$r=\sqrt{6}$。
球の体積は \\
$\displaystyle \frac{4}{3} \pi (\sqrt{6})^3=8 \sqrt{6} \pi$

半径は$\sqrt{6}$，体積は$8 \sqrt{6} \pi$

図のような展開図を組み立てたときにできる
1辺の長さが6の正四角すいの体積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic105.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic105p.tex}
\end{center}
${\rm BF:BC}=1:\sqrt{2}$より，
${\rm BF}=\displaystyle\frac{6}{\sqrt{2}}$\\
${\rm AF}
=\sqrt{6^2-\left( \displaystyle\frac{6}{\sqrt{2}} \right)^2}\\
=6\sqrt{1-\left( \displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \right) ^2}
=\displaystyle\frac{6}{\sqrt{2}}$\\
求める体積は，\\
$\displaystyle\frac{1}{3} \times 6 \times 6 \times \displaystyle\frac{6}{\sqrt{2}}=36\sqrt{2}$

$36\sqrt{2}$





[Level5]
円柱，三角柱の表面積，体積
図の三角柱の体積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic306.tex}
\end{center}

process
$\left( \displaystyle\frac{1}{2}\times 6\times  3\right)\times 5=45$

$45\,{\rm cm^3}$

次の円柱の体積を求めよ。
ただし円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic301.tex}
\end{center}

process
$(\pi \times 20^2)\times 60$

$24000\pi \, {\rm cm^3}$

次の円柱の表面積を求めよ。
ただし円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic301.tex}
\end{center}

process
$(\pi \times 20^2)\times 2+(2\pi \times 20)\times 60=800\pi+2400\pi=3200\pi$

$3200\pi \, {\rm cm^2}$

図の三角柱の体積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic306.tex}
\end{center}

process
$\left( \displaystyle\frac{1}{2}\times 6\times  3\right)\times 5=45$

$45\,{\rm cm^3}$

図の円柱の表面積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic308.tex}
\end{center}

process
$(\pi \times 6^2)\times 2+(2\pi \times 6) \times 12\\
=72\pi +144\pi=216\pi$

$216\pi \,{\rm cm^2}$

次の円柱の体積を求めよ。
ただし円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/403_立体図形/pic310.tex}
\end{center}

process
$(\pi \times 2^2)\times 5$

$20\pi \, {\rm cm^3}$




[Level6]


[Level7]


[EOF]
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