% %以下の文をコメント文としたいのですが，現時点ではまだできません。
% 問題のタイトル
[Title]
303_data(2)

% 問題文
% 何も書かなければ，[Level1]等に書いたものがそのまま問題文となる。
[Problem]
次の問いに答えよ。
% フォントの大きさ。1〜10，またはTeXのコマンドを指定する。
% デフォルトは，5（\normalsize）
% 1は\tiny， 2は\scriptsize，3は\footnotesize，4は\small， 5は\normalsize
% 6は\large，7は\Large，     8は\LARGE，       9は\huge， 10は\Huge
[FontSize]
5

% プリアンブルに追加したいパッケージファイルを指定する。
[usepackage]
\usepackage{color,amssymb}
\usepackage{graphicx}

% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付ける場合は，　ON または1
% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付けない場合は，OFFまたは0
% 「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の下にある設定を
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　無視する場合に指定してください。
% 何も記述しなければ，「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　下にある設定が優先されます。
[displaystyle]
OFF


% Level1の問題を書く。以下Level7まで同様。
% 1行目には詳細設定のタイトルを書く。
% 2行目以降に問題とその解答を書く。
% 問題と解答，解答と問題は１行ずつあけて書く。
% 計算過程がある場合は，問題と解答の間に１行ずつ間隔をあけ，
% 最初にprocessという行を作り，その次の行から計算過程を書いていく。
[Level1]


[Level2]

[Level3]


[Level4]


[Level5]

[Level6]

[Level7]
標準問題
あるペットショップにチワワが6匹いる。
次のデータはそれらの体重（kg）である。\\
\begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|cccccc|}
\hline
 $3.2$ & $1.2$ & $2.3$ & $2.0$ & $2.7$ & $2.4$ \\
\hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}\\
（1）中央値と平均値を求めよ。\\
（2）上記の6個の数値のうち1個が誤りであることがわかった。
正しい数値に基づく中央値と平均値は，それぞれ2.55kgと2.4kgであるという。
誤っている数値を選び，正しい数値に訂正せよ。

process
（1）並び替えると，\\
\begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|cccccc|}
\hline
 $1.2$ & $2.0$ & $2.3$ & $2.4$ & $2.7$ & $3.2$ \\
\hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}\\
 中央値$=\displaystyle\frac{2.3+2.4}{2}=2.35$，\\
 平均値$\overline x=\displaystyle\frac{13.8}{6}=2.3$\\
（2）\\
表をつくると次のようになる。\\

\begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
  & 中央の  & 中央値 & 合計 & 平均値 \\
  & 2個の和 &        &      & \\ \hline
  誤 & 4.7  & 2.35   & 13.8 & 2.3 \\ \hline
  正 & 5.1  & 2.55   & 14.4 & 2.4 \\ \hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}\\
したがって正しいデータは誤ったデータに比べて$14.4-13.8=0.6$だけ大きい。
仮に，$2.3$を$2.9$に訂正すると，\\
\begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|cccccc|}
\hline
 $1.2$ & $2.0$ & $2.4$ & $2.7$ & $2.9$ & $3.2$ \\
\hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}
となり，正しい数値になる。

（1）$2.35,\,2.3$\\
（2）誤りは$2.3$，正しい数値は$2.9$

次の10個の変量$x$のデータについて，$s^2=\overline {x^2}-(\overline x)^2$
を利用して，分散$s^2$を求めよ。\\
\begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|c|cccccccccc|}
\hline
 $x$ & 1 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 5 & 5 & 6 & 7 \\ \hline
 $x^2$ & &   &   &   &   &   &   &   &   &   \\
\hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}

process
\begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|c|cccccccccc|}
\hline
 $x$   & 1 & 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 5 & 5 & 6 & 7 \\ \hline
 $x^2$ & 1 & 4 & 4 & 9 & 16& 25& 25& 25& 36& 49   \\
\hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}
 平均値$\overline x=\displaystyle\frac{40}{10}=4$\\
 $\overline {x^2}=\displaystyle\frac{194}{10}=19.4$\\
分散$s^2=19.4-4^2=19.4-16=3.4$

$3.4$

次の4個の変量$x$のデータについて，$s^2=\overline {x^2}-(\overline x)^2$
を利用して，分散$s^2$を求めよ。\\
\begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|c|cccc|}
\hline
 $x$ & 2 & 5 & 6 & 7 \\ \hline
 $x^2$ & &   &   &   \\
\hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}

process
\begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|c|cccc|}
\hline
 $x$ & 2 & 5 & 6 & 7 \\ \hline
 $x^2$ & 4 & 25  & 36  & 49  \\
\hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}
 平均値$\overline x=\displaystyle\frac{20}{4}=5$\\
 $\overline {x^2}=\displaystyle\frac{114}{4}=28.5$\\
分散$s^2=28.5-5^2=3.5$

$3.5$

ある工場で大量に生産されている製品の重量の分布は，
平均が$5.2$kg，標準偏差が$0.1$kgであった。
$5.0$kg未満の製品は，社内検査で不合格とされる。
生産された製品の不合格品の割合は約何\%か。\\
 \\標準正規分布表\\
 \begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
 確率変数$u$ & 確率$P$ \\ \hline
 $0.0$ & $0.500$   \\
 $0.5$ & $0.309$   \\
 $1.0$ & $0.159$   \\
 $1.5$ & $0.067$   \\
 $2.0$ & $0.023$   \\
 $2.5$ & $0.006$   \\
 $3.0$ & $0.001$   \\
\hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/303_data/pic119.tex}
\end{center}
\begin{flushright}
（基本情報技術者試験H19春8）
\end{flushright}

process
標準化すると，\\
$u=\displaystyle\frac{x-平均値}{標準偏差}
=\displaystyle\frac{5.0-5.2}{0.1}=-2.0$\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/303_data/pic119p.tex}
\end{center}
グラフは左右対称なので，$u=2.0$の値を読み取る。
$0.023$だから，2.3\%\\
（別解）$5.0=5.2-2\times 0.1$であるから，$u=2.0$の値を読み取ればよい。

2.3\%

ある男子高校の生徒の身長が平均165cm，標準偏差は6cmであることがわかっているとする。
このとき，177センチ以上の人は何\%か？\,下の標準正規分布表をもとにして答えよ。\\
 \\標準正規分布表\\
 \begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
 確率変数$u$ & 確率$P$ \\ \hline
 $0.0$ & $0.500$   \\
 $0.5$ & $0.309$   \\
 $1.0$ & $0.159$   \\
 $1.5$ & $0.067$   \\
 $2.0$ & $0.023$   \\
 $2.5$ & $0.006$   \\
 $3.0$ & $0.001$   \\
\hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}

process
標準化すると，\\
$u=\displaystyle\frac{x-平均値}{標準偏差}
=\displaystyle\frac{177-165}{6}=2.0$\\
（別解）$177=165+2\times 6$より，0.023

2.3\%

ある男子高校の生徒の身長が平均165cm，標準偏差は6cmであることがわかっているとする。
このとき，174センチ以上の人は何\%か？\,下の標準正規分布表をもとにして答えよ。\\
 \\標準正規分布表\\
 \begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
 確率変数$u$ & 確率$P$ \\ \hline
 $0.0$ & $0.500$   \\
 $0.5$ & $0.309$   \\
 $1.0$ & $0.159$   \\
 $1.5$ & $0.067$   \\
 $2.0$ & $0.023$   \\
 $2.5$ & $0.006$   \\
 $3.0$ & $0.001$   \\
\hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}

process
標準化すると，\\
$u=\displaystyle\frac{x-平均値}{標準偏差}
=\displaystyle\frac{174-165}{6}=1.5$\\
（別解）$174=165+1.5\times 6$より，0.067

6.7\%

成人男子の平均身長は170センチ，標準偏差は6センチであることがわかっているとする。
このとき，182センチ以上の人は何\%か？\,下の標準正規分布表をもとにして答えよ。\\
 \\標準正規分布表\\
 \begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
 確率変数$u$ & 確率$P$ \\ \hline
 $0.0$ & $0.500$   \\
 $0.5$ & $0.309$   \\
 $1.0$ & $0.159$   \\
 $1.5$ & $0.067$   \\
 $2.0$ & $0.023$   \\
 $2.5$ & $0.006$   \\
 $3.0$ & $0.001$   \\
\hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}

process
標準化すると，\\
$u=\displaystyle\frac{x-平均値}{標準偏差}
=\displaystyle\frac{182-170}{6}=2.0$\\
（別解）$182=170+2\times 6$より，0.023

2.3\%

成人男子の平均身長は170センチ，標準偏差は6センチであることがわかっているとする。
このとき，176センチ以上の人は何\%か？\,下の標準正規分布表をもとにして答えよ。\\
 \\標準正規分布表\\
 \begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
 確率変数$u$ & 確率$P$ \\ \hline
 $0.0$ & $0.500$   \\
 $0.5$ & $0.309$   \\
 $1.0$ & $0.159$   \\
 $1.5$ & $0.067$   \\
 $2.0$ & $0.023$   \\
 $2.5$ & $0.006$   \\
 $3.0$ & $0.001$   \\
\hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}

process
標準化すると，\\
$u=\displaystyle\frac{x-平均値}{標準偏差}
=\displaystyle\frac{176-170}{6}=1.0$\\
（別解）$176=170+1\times 6$より，0.159

15.9\%

A君の学校で数学の試験をしたところ，平均が54点，標準偏差が12であった。
A君の得点が69点の時，偏差値を求めよ。

process
$50+10\times \displaystyle\frac{69-54}{12}=62.5$

$62.5$

ある学校Aにおける生徒の身長の平均は\,165.0cm\,で標準偏差は\,5.0cm\,である。
生徒数は500名で，身長は正規分布に従うものとするとき，
身長が175cm以上の生徒は何\%か？\,
下の標準正規分布表をもとにして答えよ。\\
 \\標準正規分布表\\
 \begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
 確率変数$u$ & 確率$P$ \\ \hline
 $0.0$ & $0.500$   \\
 $0.5$ & $0.309$   \\
 $1.0$ & $0.159$   \\
 $1.5$ & $0.067$   \\
 $2.0$ & $0.023$   \\
 $2.5$ & $0.006$   \\
 $3.0$ & $0.001$   \\
\hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}
\begin{flushright}
（基本情報技術者試験H11春72改）
\end{flushright}

process
標準化すると，\\
$u=\displaystyle\frac{x-平均値}{標準偏差}
=\displaystyle\frac{175-165}{5}=2.0$\\
（別解）$175=165+2\times 5$より0.023すなわち2.3\%

2.3\%

ある学校Bにおける生徒の身長の平均は\,160.0cm\,で標準偏差は\,10.0cm\,である。
生徒数は500名で，身長は正規分布に従うものとするとき，
身長が175cm以上の生徒は何\%か？
下の標準正規分布表をもとにして答えよ。\\
 \\標準正規分布表\\
 \begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
 確率変数$u$ & 確率$P$ \\ \hline
 $0.0$ & $0.500$   \\
 $0.5$ & $0.309$   \\
 $1.0$ & $0.159$   \\
 $1.5$ & $0.067$   \\
 $2.0$ & $0.023$   \\
 $2.5$ & $0.006$   \\
 $3.0$ & $0.001$   \\
\hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}
\begin{flushright}
（基本情報技術者試験H11春72改）
\end{flushright}

process
標準化すると，\\
$u=\displaystyle\frac{x-平均値}{標準偏差}
=\displaystyle\frac{175-160}{10}=1.5$\\
（別解）$175=160+1.5\times 10$より0.067すなわち6.7\%

6.7\%

ある工場で製造している部品の長さの誤差は平均0mm，
標準偏差0.5mmの正規分布に従っている。
誤差の許容範囲が$\pm 1$mmのとき，不良品の発生率は何\%になるか。
標準正規分布表を用いて小数第1位まで求めよ。\\
 \\標準正規分布表\\
 \begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
 確率変数 & 分布関数値 & 確率密度関数値 \\ \hline
 $0.00$ & $0.5000$ & $0.3938$   \\
 $0.50$ & $0.6915$ & $0.3521$  \\
 $1.00$ & $0.8413$ & $0.2420$   \\
 $1.50$ & $0.9332$ & $0.1296$   \\
 $2.00$ & $0.9773$ & $0.0540$  \\
 $2.50$ & $0.9938$ & $0.0175$   \\
 $3.00$ & $0.9987$ & $0.0044$  \\
 $3.50$ & $0.9998$ & $0.0009$  \\
\hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}

process
$1.0=0+2\times 0.5$より，$+1$mm以上の発生率は，図の右側の斜線部を考えて，$1-0.9773=0.0227$\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/303_data/pic120p.tex}
\end{center}
$-1$mm以下の場合も同じ値であるから，\\
$0.0227\times 2=0.0454$\\
（別解）標準化すると，\\
$u=\displaystyle\frac{x-平均値}{標準偏差}
=\displaystyle\frac{1.0-0}{0.5}=2.0$

4.5\%

2000人が試験を受けたとき，その結果が正規分布するとして，
偏差値が75点の人は，上からだいたい何番目か。\\
 \\標準正規分布表\\
 \begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
 確率変数$u$ & 確率$P$ \\ \hline
 $0.0$ & $0.500$   \\
 $0.5$ & $0.309$   \\
 $1.0$ & $0.159$   \\
 $1.5$ & $0.067$   \\
 $2.0$ & $0.023$   \\
 $2.5$ & $0.006$   \\
 $3.0$ & $0.001$   \\
\hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}

process
平均点が50点で標準偏差が10点だから，\\
標準化すると，\\
$u=\displaystyle\frac{x-平均値}{標準偏差}
=\displaystyle\frac{75-50}{10}=2.5$\\
$2000\times 0.006=12$\\
確率が0.0063のような値のときは13番目となる。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/303_data/pic121p.tex}
\end{center}

だいたい12番目

2000人が試験を受けたとき，その結果が正規分布するとして，
上位から46番以内に入るためには，偏差値が何点ぐらいあればよいか。\\
 \\標準正規分布表\\
 \begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
 確率変数$u$ & 確率$P$ \\ \hline
 $0.0$ & $0.500$   \\
 $0.5$ & $0.309$   \\
 $1.0$ & $0.159$   \\
 $1.5$ & $0.067$   \\
 $2.0$ & $0.023$   \\
 $2.5$ & $0.006$   \\
 $3.0$ & $0.001$   \\
\hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}

process
$\displaystyle\frac{46}{2000}=0.023$\\
このときの確率変数は表より2.0。\\
平均点が50点で標準偏差が10点だから，\\
$50+2\times 10=70$

70点以上あればよい。

300人の生徒の数学の成績が，
平均65点，標準偏差12点で正規分布に近い分布をしているとき，
83点以上の生徒は，約何人いるか。\\
 \\標準正規分布表\\
 \begin{table}[!htb]
\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
 確率変数$u$ & 確率$P$ \\ \hline
 $0.0$ & $0.500$   \\
 $0.5$ & $0.309$   \\
 $1.0$ & $0.159$   \\
 $1.5$ & $0.067$   \\
 $2.0$ & $0.023$   \\
 $2.5$ & $0.006$   \\
 $3.0$ & $0.001$   \\
\hline
\end{tabular}\end{center}\end{table}

process
標準化すると，\\
$u=\displaystyle\frac{x-平均値}{標準偏差}
=\displaystyle\frac{83-65}{12}=1.5$\\
$300\times 0.067=20.1$\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/303_data/pic122p.tex}
\end{center}

約20人



[EOF]
% ファイルの最後につける

