% %以下の文をコメント文としたいのですが，現時点ではまだできません。
% 問題のタイトル
[Title]
212A_2jifunctionA

% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付ける場合は，　ON または1
% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付けない場合は，OFFまたは0
% 「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の下にある設定を
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　無視する場合に指定してください。
% 何も記述しなければ，「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　下にある設定が優先されます。
[displaystyle]
OFF


% 問題文
% 何も書かなければ，[Level1]等に書いたものがそのまま問題文となる。
[Problem]
次の問いに答えよ。
% フォントの大きさ。1〜10，またはTeXのコマンドを指定する。
% デフォルトは，5（\normalsize）
% 1は\tiny， 2は\scriptsize，3は\footnotesize，4は\small， 5は\normalsize
% 6は\large，7は\Large，     8は\LARGE，       9は\huge， 10は\Huge
[FontSize]
5

% プリアンブルに追加したいパッケージファイルを指定する。
[usepackage]
\usepackage{color,amsmath,amssymb}
\usepackage{graphicx}

% Level1の問題を書く。以下Level7まで同様。
% 1行目には詳細設定のタイトルを書く。
% 2行目以降に問題とその解答を書く。
% 問題と解答，解答と問題は１行ずつあけて書く。
% 計算過程がある場合は，問題と解答の間に１行ずつ間隔をあけ，
% 最初にprocessという行を作り，その次の行から計算過程を書いていく。
[Level1]
グラフの概形（超基礎）
図のグラフの2次関数の式を求めよ。\\
\textcircled{\small 1}\,$y=x^2+2x+3$\\
\textcircled{\small 2}\,$y=x^2-2x+3$\\
\textcircled{\small 3}\,$y=2x^2+4x+4$\\
\textcircled{\small 4}\,$y=2x^2-4x+4$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/pic64.tex}
\end{center}

process
頂点は$(1,\,2)$だから，$y=a(x-1)^2+2$とおける。
これが点$(3,\,6)$を通るから，$6=a(3-1)^2+2$，∴$a=1$。
求める式は$y=(x-1)^2+2=x^2-2x+3$

\textcircled{\small 2}

次の図は，頂点が$\left( 0，3 \right)$で点$\left( 1，0 \right)$を通る2次関数のグラフである。
グラフがこのようになる2次関数はどれか。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/pic125.tex}
\end{center}   
\textcircled{\small 1}\,$y=3x^2+1$\\
\textcircled{\small 2}\,$y=3x^2-3$\\
\textcircled{\small 3}\,$y=-3x^2+3$\\
\textcircled{\small 4}\,$y=-x^2+3$

process
$y=ax^2+3$が$(1，0)$を通るから，
$0=a\times 1^2+3$，$\therefore a=-3$

\textcircled{\small 3}

図は，頂点が点$(2,-4)$で，原点を通る2次関数のグラフである。
グラフがこのようになる2次関数は\fbox{\bf\, イ \,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$y=(x+2)^2-4$~~~
\textcircled{\small 2}\,$y=(x-2)^2-4$\\
\textcircled{\small 3}\,$y=2(x+2)^2-4$~~~
\textcircled{\small 4}\,$y=2(x-2)^2-4$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/h3001m0301.tex}
\end{center} 

process
頂点から左に$2$のときに，上に$4$であるから，$a=1$

\textcircled{\small 2}

2次関数$y=-(x-1)^2+2$のグラフの概形として，
最も適切なものは$\fbox{\bf\,ア\,}$である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから選べ。
\begin{figure}[hbt]\begin{center}
 \includegraphics[width=70mm,clip]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/h2701m0301.eps}
 \end{center}\end{figure} 

process
頂点は$(1,\,2)$，
また，$x=0$のとき$y=-(0-1)^2+2=1$であるから
$(0,\,1)$を通る。

\textcircled{\small 2}

2次関数$y=2\left( x-3 \right)^2$のグラフの概形として，最も適切なものはどれか。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから一つ選べ。\\
\begin{figure}[hbt]\begin{center}
 \includegraphics[width=70mm,clip]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/h2402M001.eps}
 \end{center}\end{figure} 

process
 頂点は$\left(3,\,0 \right)$である。

\textcircled{\small 3}

2次関数$y=2\left(x+1 \right)^2+2$のグラフの概形として，最も適切なものはどれか。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから一つ選べ。\\
\begin{figure}[hbt]\begin{center}
 \includegraphics[width=70mm,clip]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/h2501M001.eps}
 \end{center}\end{figure} 

process
頂点は$\left(-1，2\right)$

\textcircled{\small 2}

2次関数$y=\left(x-1 \right)^2-1$のグラフの概形として，最も適切なものはどれか。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}
のうちから一つ選べ。\\
\begin{figure}[hbt]\begin{center}
 \includegraphics[width=70mm,clip]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/h2602M001.eps}
 \end{center}\end{figure} 

process
頂点は$\left( 1，-1 \right)$である。

\textcircled{\small 4}

2次関数$y=3x^2-1$のグラフの概形として，最も適切なものは\fbox{\bf\, ア \,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから一つ選べ。
\begin{figure}[hbt]\begin{center}
 \includegraphics[width=70mm,clip]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/h2702m0301.eps}
 \end{center}\end{figure} 

process
頂点は$(0,\,-1)$

\textcircled{\small 4}

2次関数$y=x^2+4x+4$のグラフの概形として最も適切なものは
\fbox{\bf\hspace{2pt} ア \hspace{2pt}}である。
\begin{figure}[hbt]\begin{center}
 \includegraphics[width=70mm,clip]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/h2801m301.eps}
 \end{center}\end{figure} 

process
$y=(x+2)^2$と変形できるから，頂点は$(-2,0)$

\textcircled{\small 1}

2次関数$y=-2x^2+3$のグラフの概形として，最も適切なものは
\fbox{\bf\, ア \,}である。次の
\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}
のうちから一つ選べ。
\begin{figure}[hbt]\begin{center}
 \includegraphics[width=70mm,clip]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/h3002301.eps}
 \end{center}\end{figure} 

\textcircled{\small 4}

2次関数$y=(x+2)^2-3$のグラフの概形として最も適切なものは
\fbox{\bf\hspace{4pt} ア \hspace{4pt}}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから一つ選べ。
\begin{figure}[hbt]\begin{center}
 \includegraphics[width=70mm,clip]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/h31m301.eps}
 \end{center}\end{figure} 

process
頂点は$(-2,-3)$

\textcircled{\small 3}

右の図は，2次関数$y=a(x-p)^2+1$のグラフである。
$a$，$p$の符号について，正しい組み合わせは\fbox{\bf\,ア\,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$a<0，p>0$~~~~
\textcircled{\small 2}\,$a<0，p<0$\\
\textcircled{\small 3}\,$a>0，p>0$~~~~
\textcircled{\small 4}\,$a>0，p<0$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/h2801m0301.tex}
\end{center}

process
例：$y=2(x+3)^2+1$

\textcircled{\small 4}

図は，頂点が$（1，0）$で，点$（0，2）$を通る2次関数のグラフである。
グラフがこのようになる2次関数はどれか。
次の\textcircled{\small 1}〜\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/pic21.tex}
\end{center}
\begin{tabbing}
　　　　　　　　　\=　　　　　　　　　\= \\ 
\textcircled{\small 1}　$y=2(x-1)^2$ \>\textcircled{\small 2}　$y=2(x+1)^2$\\
\textcircled{\small 3}　$y=(x-1)^2$ \>\textcircled{\small 4}　$y=(x+1)^2$
\end{tabbing}

\textcircled{\small 1}

図は，頂点の座標が$\left( 0，-1 \right)$で，点$\left( 2，1 \right)$を通る2次関数のグラフである。
グラフがこのようになる2次関数は次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/pic126.tex}
\end{center} 
\textcircled{\small 1}\,$y=x^2-1$\\
\textcircled{\small 2}\,$y=2x^2-1$\\
\textcircled{\small 3}\,$y=\displaystyle\frac{1}{2} x^2-1$\\
\textcircled{\small 4}\,$y=\left(x-2 \right)^2-1$

process
$y=ax^2-1$が$\left( 2，1 \right)$を通るから，\\
$1=a2^2-1$，$\therefore a=\displaystyle\frac{1}{2}$

\textcircled{\small 3}

図は，頂点が点$\left(1，-1 \right)$で，点$\left(0，1 \right)$を通る2次関数のグラフである。
グラフがこのようになる2次関数はどれか。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/pic123.tex}
\end{center}
\textcircled{\small 1}\,$y=\left( x+1 \right)^2-1$\\
\textcircled{\small 2}\,$y=\left( x-1 \right)^2-1$\\
\textcircled{\small 3}\,$y=2\left( x+1 \right)^2-1$\\
\textcircled{\small 4}\,$y=2\left( x-1 \right)^2-1$

process
$y=a\left(x-1 \right)^2-1$が$\left( 0，1 \right)$を通るから，\\
$1=a\left( 0-1 \right)^2-1$，$\therefore a=2$

\textcircled{\small 4}

図は，頂点が$(2,\,4)$で，点$(0,\,0)$を通る2次関数のグラフである。
グラフがこのようになる2次関数の式を求めよ。\\
\textcircled{\small 1}\,$y=-(x-2)^2+4$~~~
\textcircled{\small 2}\,$y=-(x+2)^2+4$\\
\textcircled{\small 3}\,$y=-2(x-2)^2+4$~~~
\textcircled{\small 4}\,$y=-2(x+2)^2+4$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/pic56.tex}
\end{center}

process
$y=a(x-2)^2+4$が点$(0,\,0)$を通るから，
$0=a(-2)^2+4$，∴$a=-1$

\textcircled{\small 1}

図は，頂点が$(1,-4)$で，$y$軸との共有点が点$(0,-2)$である2次関数のグラフである。
グラフがこのようになる2次関数はどれか。
次の\textcircled{\small 1}〜\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/pic48.tex}
\end{center}
\begin{tabbing}
　　　　　　　　　　　　\=　　　　　　　　　\= \\ 
\textcircled{\small 1}　$y=2(x+1)^2-4$ \>\textcircled{\small 2}　$y=2(x-1)^2-4$\\
\textcircled{\small 3}　$y=3(x-1)^2+4$ \>\textcircled{\small 4}　$y=3(x-1)^2-4$
\end{tabbing}

\textcircled{\small 2}

頂点が点$(2,\,6)$で，点$(0,\,-2)$を通る2次関数のグラフである。
グラフがこのようになる2次関数はどれか。
次の\textcircled{\small 1}〜\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1} $ y=-(x+2)^2+6$\\
\textcircled{\small 2} $y=-(x-2)^2+6$\\
\textcircled{\small 3} $y=-2(x+2)^2+6$\\
\textcircled{\small 4} $y=-2(x-2)^2+6$\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/pic53.tex}
\end{center}

process
$y=a(x-2)^2+6$が点$(0,\,-2)$を通るから，
$-2=a(0-2)^2+6$，∴$a=-2$

\textcircled{\small 4}

図は，頂点が（$-2$，$-4$）で，点（0，4）を通る
2次関数のグラフである。グラフがこのようになる2次関数はどれか。
次の\textcircled{\small 1}〜\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/pic45.tex}
\end{center}
\begin{tabbing}
　　　　　　　　　　　\=　　　　　　　　　　　\= \\ 
\textcircled{\small 1}\,$y=(x+2)^2-4$ \>\textcircled{\small 2}\,$y=(x-2)^2-4$\\
\textcircled{\small 3}\,$y=2(x+2)^2-4$ \>\textcircled{\small 4}\,$y=2(x-2)^2-4$
\end{tabbing}

process
頂点から右への変位$2$で$y$は上に変位$8$だから，
2次関数の基本形は$y=2x^2$（$x$に$2$を代入すると$y$は$8$）。
したがって，$y=2(x+2)^2-4$

\textcircled{\small 3}

図は，頂点が点$（1,\,2）$で，点$（0,\,-1）$を通る2次関数のグラフである。
グラフがこのようになる2次関数はどれか。次の\textcircled{\small 1}〜\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/pic23.tex}
\end{center} 
\textcircled{\small 1}　$y=-2(x+1)^2+2$\\
\textcircled{\small 2}　$y=-2(x-1)^2+2$\\
\textcircled{\small 3}　$y=-3(x+1)^2+2$\\
\textcircled{\small 4}　$y=-3(x-1)^2+2$

process
頂点が（1,\,2）で，$y=-3x^2$を平行移動したものだから，\textcircled{\small 4}

\textcircled{\small 4}

次の図は，頂点の座標が$(0,\,-1)$で，点$(2,\,1)$
を通る2次関数のグラフである。
グラフがこのようになる2次関数は$\fbox{\bf\,イ\,}$
である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから選べ。
\begin{figure}[hbt]\begin{center}
 \includegraphics[width=30mm,clip]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/h2701m0302.eps}
 \end{center}\end{figure} 

process
$y=ax^2-1$が点$(2,\,1)$を通るから，\\
$1=a\times 2^2-1~~~\therefore a=\displaystyle\frac{1}{2}$\\
関数は$y=\displaystyle\frac{1}{2} x^2-1$

\textcircled{\small 3}






[Level2]
2次関数の頂点（超基礎）
2次関数$y=-2(x-2)^2+3$の頂点の座標を求めよ。

頂点は$(2，\,3)$

2次関数$y=5(x+2)^2-3$の頂点の座標を求めよ。

頂点は$(-2，\,-3)$

2次関数$y=-2(x+3)^2+2$の頂点の座標を求めよ。

$(-3，2)$

2次関数$y=x^2+10x+5$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=(x+5)^2-5^2+5=(x+5)^2-20$\\
したがって頂点は$(-5，-20)$\\
（別解）軸$x=\displaystyle\frac{-10}{2\times 1}=-5$\\
頂点の$y$座標$=(-5)^2+10\times (-5)+5=-20$\\
（別解）$x^2+10x$までを因数分解すると，$y=x(x+10)$。
この関数は$x$軸と$0$と$-10$で交わるから,頂点の$x$座標は$-5$。\\
頂点の$y$座標は,$(-5)(-5+10)+5=-20$

$(-5，-20)$

図は，2次関数$y=2x^2-4x$のグラフである。
このグラフの頂点の座標を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/pic24.tex}
\end{center}

process
頂点の$x$座標は$\displaystyle \frac{0+2}{2}=1$。
頂点の$y$座標は\\
$y=2 \times 1^2-4 \times 1=2-4=-2$

$（1，\,-2）$

2次関数$y=(x+1)^2+2$の頂点の座標を求めよ。

$(-1，\, 2)$

2次関数$y=2(x-3)^2-4$の頂点の座標を求めよ。

$(3，\, -4)$

2次関数$y=(x-3)^2+2$の頂点を求めよ。

$(3,\,2)$

2次関数$y=-(x+1)^2+2$の頂点の座標を求めよ。

$(-1，\,2)$

2次関数$y=-3(x+2)^2+1$のグラフの頂点を求めよ。

$(-2, 1)$

2次関数$y=2x^2-3$のグラフの頂点を求めよ。

$(0，\,-3)$

2次関数$y=4(x-3)^2-2$の頂点の座標を求めよ。

$(3，\,-2)$

2次関数$y=2(x+1)^2+3$のグラフの頂点の座標を求めよ。

$(-1,\,3)$

図は，2次関数$y=-x^2+6x+7$のグラフである。
このグラフの頂点の座標を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/pic52.tex}
\end{center}

process
（解法1）\\
$y=-x^2+6x+7=-(x-3)^2+3^2+7\\
=-(x-3)^2+16$\\
（解法2）
グラフより頂点の$x$座標は$\displaystyle \frac{-1+7}{2}=3$。\\
したがって，頂点の$y$座標は\\
$y=-3^2+6 \times 3+7=16$

$(3，\, 16)$

2次関数$y=x^2+6x+3$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=x^2+6x+3=(x+3)^2-3^2+3=(x+3)^2-6$\\
（別解）軸$x=\displaystyle\frac{-6}{2\times 1}=-3$\\
頂点の$y$座標$=(-3)^2+6\times (-3)+3=-6$\\
（別解）$x^2+6x$までを因数分解すると，$y=x(x+6)$。
この関数は$x$軸と$0$と$-6$で交わるから,頂点の$x$座標は$-3$。\\
頂点の$y$座標は,$(-3)(-3+6)+3=-6$

$(-3，\,-6)$

図は，2次関数$y=-x^2+4x+5$のグラフである。
このグラフの頂点の座標を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/pic42.tex}
\end{center}

process
（解法1）\\
$x$座標は$-1$と$5$の中点だから，$\displaystyle \frac{(-1)+5}{2}=2$\\
$y=-2^2+4 \times 2 +5=9$ \\
（解法2）\\
$y=-(x^2-4x)+5=-(x-2)^2+2^2+5\\ =-(x-2)^2+9$だから，\\
頂点は$（2，9）$

$（2，9）$

2次関数$y=x^2+2x+11$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=(x+1)^2-1+11=(x+1)^2+10$\\
（別解）軸$x=\displaystyle\frac{-2}{2\times 1}=-1$\\
頂点の$y$座標$=(-1)^2+2\times (-1)+11=10$\\
（別解）$x^2+2x$までを因数分解すると，$y=x(x+2)$。
この関数は$x$軸と$0$と$-2$で交わるから,頂点の$x$座標は$-1$。\\
頂点の$y$座標は,$(-1)(-1+2)+11=10$

$（-1，\,10）$

図は，2次関数$y=-x^2+6x$のグラフである。
このグラフの頂点の座標を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/pic49.tex}
\end{center}

process
図より，頂点の$x$座標は$3$。
頂点の$y$座標は，$y=-3^2+6 \times 3=9$

$(3，\,9)$

2次関数$y=x^2-2x+3$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=(x-1)^2-1+3=(x-1)^2+2$\\
（別解）軸$x=\displaystyle\frac{-(-2)}{2\times 1}=1$\\
頂点の$y$座標$=1^2-2\times 1+3=2$\\
（別解）$x^2-2x$までを因数分解すると，$y=x(x-2)$。
この関数は$x$軸と$0$と$2$で交わるから,頂点の$x$座標は$1$。\\
頂点の$y$座標は,$1\times (1-2)+3=2$

$(1，\,2)$

図は，2次関数$y=2(x+1)(x-3)$のグラフである。
このグラフの頂点の座標を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/pic57.tex}
\end{center}

process
頂点の$x$座標は，
$\displaystyle\frac{-1+3}{2}=1$，
頂点の$y$座標は，
$y=2(1+1)(1-3)=-8$

$(1，\,-8)$

2次関数$y=x^2+4x+1$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=(x+2)^2-4+1=(x+2)^2-3$\\
（別解）軸$x=\displaystyle\frac{-4}{2\times 1}=-2$\\
頂点の$y$座標$=(-2)^2+4\times (-2)+1=-3$\\
（別解）$x^2+4x$までを因数分解すると，$y=x(x+4)$。
この関数は$x$軸と$0$と$-4$で交わるから,頂点の$x$座標は$-2$。\\
頂点の$y$座標は,$(-2)(-2+4)+1=-3$

$(-2，\,-3)$

2次関数$y=x^2-4x$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=(x-2)^2-2^2=(x-2)^2-4$\\
したがって頂点は$(2，-4)$\\
（別解）軸$x=\displaystyle\frac{-(-4)}{2\times 1}=2$\\
頂点の$y$座標$=2^2-4\times 2=-4$\\
（別解）$x^2-4x$までを因数分解すると，$y=x(x-4)$。
この関数は$x$軸と$0$と$4$で交わるから,頂点の$x$座標は$2$。\\
頂点の$y$座標は,$2 \times (2-4)=-4$

$(2，-4)$

2次関数$y=x^2+8x+17$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$x^2+8x$までを因数分解すると，$y=x(x+8)$。
この関数は$x$軸と$0$と$-8$で交わるから,頂点の$x$座標は$-4$。\\
頂点の$y$座標は,$-4(-4+8)+17=1$

$(-4，1)$

2次関数$y=x^2-6x+5$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=(x-3)^2-3^2+5=(x-3)^2-4$\\
したがって頂点は$(3，-4)$\\
（別解）軸$x=\displaystyle\frac{-(-6)}{2\times 1}=3$\\
頂点の$y$座標$=3^2-6\times 3+5=-4$\\
（別解）$x^2-6x$までを因数分解すると，$y=x(x-6)$。
この関数は$x$軸と$0$と$6$で交わるから,頂点の$x$座標は$3$。\\
頂点の$y$座標は,$3\times (3-6)+5=-4$

$(3，-4)$

2次関数$y=x^2-8x$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=(x-4)^2-4^2=(x-4)^2-16$\\
したがって頂点は$(4，-16)$\\
（別解）軸$x=\displaystyle\frac{-(-8)}{2\times 1}=4$\\
頂点の$y$座標$=4^2-8\times 4=-16$\\
（別解）$x^2-8x$までを因数分解すると，$y=x(x-8)$。
この関数は$x$軸と$0$と$8$で交わるから,頂点の$x$座標は$4$。\\
頂点の$y$座標は,$4 (4-8)=-16$

$(4，-16)$

2次関数$y=x^2-4x+3$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=(x-2)^2-2^2+3=(x-2)^2-1$\\
したがって頂点は$(2，-1)$\\
（別解）軸$x=\displaystyle\frac{-(-4)}{2\times 1}=2$\\
頂点の$y$座標$=2^2-4\times 2+3=-1$\\
（別解）$x^2-4x$までを因数分解すると，$y=x(x-4)$。
この関数は$x$軸と$0$と$4$で交わるから,頂点の$x$座標は$2$。\\
頂点の$y$座標は,$2(2-4)+3=-1$

$(2，-1)$

2次関数$y=x^2-10x$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=(x-5)^2-5^2=(x-5)^2-25$\\
したがって頂点は$(5，-25)$\\
（別解）軸$x=\displaystyle\frac{-(-10)}{2\times 1}=5$\\
頂点の$y$座標$=5^2-10\times 5=-25$\\
（別解）$x^2-10x$までを因数分解すると，$y=x(x-10)$。
この関数は$x$軸と$0$と$10$で交わるから,頂点の$x$座標は$5$。\\
頂点の$y$座標は,$5 \times (5-10)=-25$

$(5，-25)$

2次関数$y=x^2+8x+10$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=(x+4)^2-4^2+10=(x+4)^2-6$\\
したがって頂点は$(-4，-6)$\\
（別解）軸$x=\displaystyle\frac{-8}{2\times 1}=-4$\\
頂点の$y$座標$=(-4)^2+8\times (-4)+10=-6$\\
（別解）$x^2+8x$までを因数分解すると，$y=x(x+8)$。
この関数は$x$軸と$0$と$-8$で交わるから,頂点の$x$座標は$-4$。\\
頂点の$y$座標は,$(-4)(-4+8)+10=-6$

$(-4，-6)$

\hspace{8pt} 次の放物線の頂点の座標を求めよ。\\
$y=-3\left( x+\displaystyle\frac{2}{3} \right)^2+\displaystyle\frac{7}{3}$

$\left( -\displaystyle\frac{2}{3} ，\,\displaystyle\frac{7}{3}\right)$

\hspace{8pt} 次の放物線の軸の方程式を求めよ。\\
$y=x^2-3x+4$

process
$y=x^2-3x$は，$y=x(x-3)$と因数分解され，$x$軸と0と3で交わるから，軸は$x=\displaystyle\frac{3}{2}$。\\
（別解）
$y=\left( x-\displaystyle\frac{3}{2} \right)^2\cdots$を思い浮かべて

$x=\displaystyle\frac{3}{2}$

\hspace{8pt} 次の放物線の頂点の座標を求めよ。\\
$y=x(x-2)-3$

process
$y=x(x-2)$は$x$軸と$0$と2で交わるから，軸は$x=1$。\\
したがって，頂点の$y$座標は\\
$y=1\times (1-2)-3=-4$

$(1，-4)$

2次関数$y=x^2-4x-5$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$x^2-4x$までを因数分解すると，$y=x(x-4)$。
この関数は$x$軸と$0$と$4$で交わるから,頂点の$x$座標は$2$。\\
頂点の$y$座標は,$2(2-4)-5=-9$

$(2，-9)$

2次関数$y=x^2+6x+5$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$x^2+6x$までを因数分解すると，$y=x(x+6)$。
この関数は$x$軸と$0$と$-6$で交わるから,頂点の$x$座標は$-3$。\\
頂点の$y$座標は,$-3(-3+6)+5=-4$

$(-3，-4)$

2次関数$y=x^2-2x-5$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=(x-1)^2-1^2-5=(x-1)^2-6$\\
したがって頂点は$(1，-6)$\\
（別解）$x^2-2x$までを因数分解すると，$y=x(x-2)$。
この関数は$x$軸と$0$と$2$で交わるから,頂点の$x$座標は$1$。\\
頂点の$y$座標は,$1^2-2\times 1-5=-6$

$(1，-6)$

\hspace{8pt} 次の放物線の頂点の座標を求めよ。\\
$y=2(x-3)(x-7)+1$

process
$y=2(x-3)(x-7)$は$x$軸と3と7で交わるから，軸は$x=\displaystyle\frac{3+7}{2}=5$\\
頂点の$y$座標は$y=2(5-3)(5-7)=-8$

$（5，-8）$

次の図は，2次関数$y=-\left(x-2 \right) \left(x+4 \right)$のグラフである。
このグラフの頂点を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/pic121.tex}
\end{center}

process
頂点の$x$座標は$-4$と$2$の中点である。\\
$\displaystyle\frac{-4+2}{2}=-1$\\
頂点の$y$座標は\\
$y=-\left(-1-2 \right) \left(-1+4 \right)=9$

$\left(-1,\,9 \right)$

2次関数$y=x^2+8x$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=x(x+8)$と因数分解でき，この2次関数は$x$軸と$0$，$-8$で交わるから，
頂点の$x$座標は$-4$。\\
頂点の$y$座標は$y=(-4) (-4+8)=-16$\\
（別解）$x^2+8x$までを因数分解すると，$y=x(x+8)$。
この関数は$x$軸と$0$と$-8$で交わるから,頂点の$x$座標は$-4$。\\
頂点の$y$座標は,$(-4)(-4+8)=-16$

$(-4，-16)$

次の図は，2次関数$y=-2x^2+4x$のグラフである。
このグラフの頂点の座標を求めよ。\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/pic124.tex}
\end{center}

process
頂点の$x$座標は$\displaystyle\frac{0+2}{2}=1$。
$y$座標は$y=-2\times 1^2+4\times 1=2$

$\left( 1，2 \right)$

2次関数$y=x^2-4x+8$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=x^2-4x$までを因数分解すると，$y=x(x-4)$となるから，
$x$軸と$0$と$4$で交わる。したがって，$x$座標は$2$。
$y$座標は$y=2^2-4 \times 2+8=4$\\
（別解）$x^2-4x$までを因数分解すると，$y=x(x-4)$。
この関数は$x$軸と$0$と$4$で交わるから,頂点の$x$座標は$2$。\\
頂点の$y$座標は,$2\times (2-4)+8=4$

$\left( 2，4 \right)$

2次関数$y=x^2-6x$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=x^2-6x$までを因数分解すると，$y=x(x-6)$となるから，
$x$軸と$0$と$6$で交わる。したがって，頂点の$x$座標は$3$。
頂点の$y$座標は$y=3\times (3-6)=-9$

$\left( 3，-9 \right)$

次の図は，2次関数$y=x^2+2x+1$のグラフである。
このグラフの頂点の座標は$\left(\fbox{\bf ウエ},\,0\right)$である。
\begin{figure}[hbt]\begin{center}
 \includegraphics[width=30mm,clip]{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/h2702m0302.eps}
 \end{center}\end{figure} 

process
$y=(x+1)^2$~~~
頂点は$(-1,\,0)$

$-1$

次の図は，2次関数$y=-\left(x+3 \right) \left(x-1 \right)$のグラフである。
このグラフの頂点を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/pic122.tex}
\end{center}

process
頂点の$x$座標は$-3$と$1$の中点である。\\
$\displaystyle\frac{-3+1}{2}=-1$\\
頂点の$y$座標は\\
$y=-\left(-1+3 \right) \left(-1-1 \right)=4$

$\left(-1,\,4 \right)$

図は，2次関数$y=-x^2+2x$のグラフである。
このグラフの頂点の座標を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/h2801m0302.tex}
\end{center}

process
頂点の$x$座標は，
$\displaystyle\frac{0+2}{2}=1$，
頂点の$y$座標は，
$y=-1^2+2\times 1=1$

$(1，\,1)$

放物線$y=x^2+ax-b$の頂点が$(-2,\,3)$であるとき，$a$，$b$の値を求めると\fbox{\hspace{8pt} 8 \hspace{8pt}}である。\\
\textcircled{\small 1}\,
$\left\{ 
\begin{array}{l}
a=-4 \\
b=-7
\end{array} \right.$~
\textcircled{\small 2}\,
$\left\{ 
\begin{array}{l}
a=-4 \\
b=7
\end{array} \right.$\\
\textcircled{\small 3}\,
$\left\{ 
\begin{array}{l}
a=4 \\
b=-7
\end{array} \right.$~
\textcircled{\small 4}\,
$\left\{ 
\begin{array}{l}
a=4 \\
b=7
\end{array} \right.$

process
$y=(x+2)^2+3=x^2+4x+7$

\textcircled{\small 3}

図は，2次関数$y=2x^2+4x$のグラフである。
このグラフの頂点の座標は$(\fbox{\bf ウエ}, \fbox{\bf オカ})$である。\\
\textcircled{\small 1}\,$(-1,\,-2)$~~
\textcircled{\small 2}\,$(-1,\,-3)$~~
\textcircled{\small 3}\,$(-1,\,-4)$~~
\textcircled{\small 4}\,$(-1,\,-5)$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/h2902m0303.tex}
\end{center}

\textcircled{\small 1}

図は，2次関数$y=-x^2+6x-5$のグラフである。
このグラフの頂点の座標は（\fbox{\bf\, ウ \,}，\fbox{\bf\, エ \,}）である。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/h2801m302.tex}
\end{center}

$(3,\,4)$

図は2次関数$y=-x^2+2x+8$のグラフである。
このグラフの頂点の座標は
\textcircled{\small 1}\,$(1,\,8)$~~
\textcircled{\small 2}\,$(1,\,9)$~~
\textcircled{\small 3}\,$(2,\,8)$~~
\textcircled{\small 4}\,$(2,\,9)$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/h2802m0302.tex}
\end{center}

\textcircled{\small 2}

次の2次関数の頂点を求めよ。\\
$y=x^2-4x+5$

process
$y=(x-2)^2-2^2+5=(x-2)^2+1$

$(2,\,1)$

2次関数$y=-3x^2+6x$のグラフの頂点の座標を求めよ。
ただし，図は2次関数$y=-3x^2+6x$のグラフである。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/h3001m0302.tex}
\end{center} 

$(1,\,3)$

2次関数$y=x^2+4x+6$のグラフの頂点の座標を求めよ。

$(-2,\,2)$

2次関数$y=x^2+6x+9+k$（$k$は定数）のグラフ
の頂点の$y$座標が$4$であるとき，$k$の値は
\fbox{\bf\hspace{4pt} ウ \hspace{4pt}}である。\\
\textcircled{\small 1}\,$1$~~~
\textcircled{\small 2}\,$2$~~~
\textcircled{\small 3}\,$3$~~~
\textcircled{\small 4}\,$4$

process
$y=x(x+6)+9+k$と変形できるから，軸は$x=-3$\\
したがって頂点は$(-3,4)$となるはずである。\\
$4=(-3)^2+6(-3)+9-k$~~~$\therefore k=4$

\textcircled{\small 4}

2次関数$y=x^2-2x-3$の
グラフの頂点の座標として正しいものを，
次の\textcircled{\small 1}$\sim$
\textcircled{\small 6}の中から1つ選び，
その番号を答えなさい。\\
\textcircled{\small 1}\,$(-1,-4)$~~~
\textcircled{\small 2}\,$(1,-4)$~~~
\textcircled{\small 3}\,$(-1,4)$\\
\textcircled{\small 4}\,$(1,4)$~~~
\textcircled{\small 5}\,$(1,-3)$~~~
\textcircled{\small 6}\,$(2,-4)$

process
$y=x^2-2x-3=x(x-2)-3$と変形できるから，軸は$x=1$

\textcircled{\small 2}

2次関数$y=x^2-2x-3$の式を$y=a(x-p)^2+q$の形に変形したときに，
正しい式はどれか。次の\textcircled{\small 1}$\sim$
\textcircled{\small 6}の中から1つ選び，
その番号を答えなさい。\\
\textcircled{\small 1}\,$y=(x-1)^2-3$~~~
\textcircled{\small 2}\,$y=(x-1)^2-2$\\
\textcircled{\small 3}\,$y=(x-1)^2-4$~~~
\textcircled{\small 4}\,$y=(x-2)^2-3$\\
\textcircled{\small 5}\,$y=(x+1)^2-3$~~~
\textcircled{\small 6}\,$y=(x+1)^2-4$

process
$y=x^2-2x-3=(x-1)^2-1-3\\ =(x-1)^2-4$

\textcircled{\small 3}







[Level3]
平行移動（超基礎）
2次関数$y=-\left( x-3 \right)^2+7$のグラフは，
2次関数$y=-x^2$のグラフをどのように平行移動したものか。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$x$軸方向に3，$y$軸方向に$7$だけ平行移動\\
\textcircled{\small 2}\,$x$軸方向に3，$y$軸方向に$-7$だけ平行移動\\
\textcircled{\small 3}\,$x$軸方向に$-3$，$y$軸方向に$-7$だけ平行移動\\
\textcircled{\small 4}\,$x$軸方向に$-3$，$y$軸方向に$7$だけ平行移動

process
$y=-x^2$の頂点は原点である。
$y=-\left( x-3 \right)^2+7$の頂点は$\left(3，7 \right)$である。

\textcircled{\small 1}

2次関数$y=2x^2$のグラフを$x$軸方向に$-5$，$y$軸方向に$-3$だけ平行移動する。
このとき，移動後の曲線をグラフとする2次関数はどれか。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$y=2\left( x-5 \right)^2-3$\\
\textcircled{\small 2}\,$y=2\left( x-5 \right)^2+3$\\
\textcircled{\small 3}\,$y=2\left( x+5 \right)^2-3$\\
\textcircled{\small 4}\,$y=2\left( x+5 \right)^2+3$

process
$y=2\{ x-(-5) \}-3$

\textcircled{\small 3}

2次関数$y=x^2-2x-3$の
グラフを$x$軸方向に$-2$，$y$軸方向に$3$だけ平行移動したとき，そのグラフは，どのような式で表されるか
正しいものを，
次の\textcircled{\small 1}$\sim$
\textcircled{\small 6}の中から1つ選び，
その番号を答えなさい。\\
\textcircled{\small 1}\,$y=x^2-2x$~~~
\textcircled{\small 2}\,$y=x^2-6x+8$\\
\textcircled{\small 3}\,$y=x^2-6x+5$~~~
\textcircled{\small 4}\,$y=x^2+2x$\\
\textcircled{\small 5}\,$y=x^2+2x+3$~~~
\textcircled{\small 6}\,$y=x^2-2x-2$

process
$y-3=(x+2)^2-2(x+2)-3$~~~
$\therefore y=x^2+2x$

\textcircled{\small 4}

2次関数$y=-2x^2$のグラフを$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$-4$だけ平行移動すると，
$y=-2(x-2)^2+q$のグラフが得られた。このとき，$p$，$q$の値として正しい組み合わせは\fbox{\hspace{2pt} {\bf ア} }である。次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$p=2，q=4$~~~
\textcircled{\small 2}\,$p=-2，q=-4$\\
\textcircled{\small 3}\,$p=-2，q=4$~~~
\textcircled{\small 4}\,$p=2，q=-4$

\textcircled{\small 4}

2次関数$y=x^2$のグラフを$y$軸方向に2だけ平行移動する。
このとき，移動後の曲線をグラフとする2次関数は\fbox{\bf\hspace{2pt} ア \hspace{2pt}}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$y=(x+2)^2$~~~
\textcircled{\small 2}\,$y=(x-2)^2$\\
\textcircled{\small 3}\,$y=x^2-2$~~~
\textcircled{\small 4}\,$y=x^2+2$

\textcircled{\small 4}

2次関数$y=x^2$のグラフを$x$軸方向に2だけ平行移動する。
このとき，移動後の曲線をグラフとする2次関数は\fbox{\bf\hspace{2pt} ア \hspace{2pt}}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$y=(x+2)^2$~~~
\textcircled{\small 2}\,$y=(x-2)^2$\\
\textcircled{\small 3}\,$y=x^2-2$~~~
\textcircled{\small 4}\,$y=x^2+2$

\textcircled{\small 2}

2次関数$y=2x^2$のグラフを$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$3$だけ
平行移動する。このとき，移動後の曲線をグラフとする2次関数は
\fbox{\bf\, ア \,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}
のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$y=2(x-1)^2-3$~~~
\textcircled{\small 2}\,$y=2(x-1)^2+3$\\
\textcircled{\small 3}\,$y=2(x+1)^2-3$~~~
\textcircled{\small 4}\,$y=2(x+1)^2+3$

\textcircled{\small 4}

$y=x^2$のグラフを$x$軸方向に$3$だけ平行移動した式を求めよ。

process
はじめの頂点（0，\,0），移動（3，\,0），後の頂点（3，\,0）

$y=(x-3)^2=x^2-6x+9$

$y=-x^2$のグラフを$y$軸方向に$5$だけ平行移動した式を求めよ。

process
はじめの頂点（0,\,0），移動（0,\,5），後の頂点（0,\,5）

$y=-x^2+5$

$y=3x^2$のグラフを$x$軸方向に$-2$，$y$軸方向に$-4$だけ平行移動した式を求めよ。

process
はじめの頂点（0,\,0），移動$（-2,\,-4）$，後の頂点$（-2,\,-4）$\\
$y=3(x+2)^2-4=3(x^2+4x+4)-4=3x^2+12x+8$

$y=3(x+2)^2-4=3x^2+12x+8$

2次関数$y=2x^2$のグラフを$x$軸方向に$4$，$y$軸方向に$-3$だけ平行移動する。
このとき，移動後の曲線をグラフとする2次関数はどれか。
次の\textcircled{\small 1}〜\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\begin{tabbing}
　　　　　　　　　　　\=　　　　　　　　　\= \\ 
\textcircled{\small 1} $y=2(x-4)^2+3$ \>\textcircled{\small 2} $y=2(x-4)^2-3$\\
\textcircled{\small 3} $y=2(x+4)^2+3$ \>\textcircled{\small 4} $y=2(x+4)^2-3$
\end{tabbing}

process
頂点は図のように$（4,-3）$だから，グラフは\\
$y=2(x-4)^2-3$\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/pic41.tex}
\end{center}

\textcircled{\small 2}

$y=x^2$の頂点が$(2,\,1)$になるように平行移動したときの2次関数の式を求めよ。

process
はじめの頂点（0,\,0），移動$（2,\,1）$，後の頂点$（2,\,1）$

$y=(x-2)^2+1=x^2-4x+5$

$y=-2x^2$を$x$軸方向に$-2$，$y$軸方向に3だけ平行移動したときの2次関数の式を求めよ。

process
はじめの頂点（0,\,0），移動$（-2,\,3）$，後の頂点$（-2,\,3）$

$y=-2(x+2)^2+3=-2x^2-8x-5$
















[Level4]
2次関数の軸（a>=2,-1，基礎）
\hspace{8pt} 次の放物線の軸の方程式を求めよ。\\
$y=-x^2-4x+5$

process
$y=-x^2-4x$は，$y=-x(x+4)$と因数分解され，$x$軸と0と$-4$で交わるから，軸は$x=-2$。\\
（別解）$y=-(x+2)^2\cdots$を思い浮かべて

$x=-2$

\hspace{8pt} 次の放物線の軸の方程式を求めよ。\\
$y=-3x^2+3x+1$

process
$y=-3x^2+3x$は，$y=-3x(x-1)$と因数分解され，$x$軸と0と$1$で交わるから，軸は$x=\displaystyle\frac{1}{2}$。\\
（別解）$y=-3\left(x-\displaystyle\frac{1}{2} \right)^2\cdots$を思い浮かべて

$x=\displaystyle\frac{1}{2}$

\hspace{8pt} 次の放物線の軸の方程式を求めよ。\\
$y=\displaystyle\frac{1}{2}x^2+11x+9$

process
$y=\displaystyle\frac{1}{2}x^2+11x$は，$y=\displaystyle\frac{1}{2}x(x+22)$と因数分解され，$x$軸と0と$-22$で交わるから，軸は$x=-11$。\\
（別解）$y=\displaystyle\frac{1}{2}\left(x+11\right)^2\cdots$を思い浮かべて

$x=-11$

\hspace{8pt} 次の放物線の軸の方程式を求めよ。\\
$y=-3x^2+(\sqrt{3}+1)x+1$

process
与式$=-3\left( x^2-\displaystyle\frac{\sqrt{3}+1}{3}x \right)+1\\
=-3\left( x-\displaystyle\frac{\sqrt{3}+1}{6} \right)^2+\cdots$を思い浮かべて

$x=\displaystyle\frac{\sqrt{3}+1}{6}$

\hspace{8pt} 次の放物線の軸の方程式を求めよ。\\
$y=ax^2+(a+1)x+a^2-1$

process
与式$=a\left( x^2+\displaystyle\frac{a+1}{a}x \right)+a^2-1\\
=a\left( x+\displaystyle\frac{a+1}{2a}\right)^2+\cdots$を思い浮かべて\\
軸は$x=-\displaystyle\frac{a+1}{2a}$

$x=-\displaystyle\frac{a+1}{2a}$

\hspace{8pt} 次の放物線の軸の方程式を求めよ。\\
$y=\pi x^2+(1-2\pi)x+1-\pi^2$

process
$y=\pi \left( x^2+\displaystyle\frac{1-2\pi}{\pi}\right)+\cdots\\
=\pi \left( x+\displaystyle\frac{1-2\pi}{2\pi}\right)^2\cdots$を思い浮かべて\\
軸は$x=-\displaystyle\frac{1-2\pi}{2\pi}$

$x=-\displaystyle\frac{1-2\pi}{2\pi}=1-\displaystyle\frac{1}{2\pi}$

\hspace{8pt} 次の放物線の軸の方程式を求めよ。\\
$y=3x^2+7x-8$

process
$y=3\left(x^2+\displaystyle\frac{7}{3}x \right)+\cdots\\
=3\left(x+\displaystyle\frac{7}{6} \right)+\cdots$

$x=-\displaystyle\frac{7}{6}$





[Level5]
2次関数の頂点，平行移動（a>=2,-1基礎）
$y=-2x^2+4$のグラフを$x$軸方向に$-4$，$y$軸方向に$3$だけ平行移動した式を求めよ。

process
はじめの頂点（0,\,4），移動$（-4,\,3）$，後の頂点$（-4,\,7）$\\
$y=-2(x+4)^2+7=-2(x^2+8x+16)+7=-2x^2-16x-25$

$y=-2(x+4)^2+7=-2x^2-16x-25$

$y=-x^2+4x+3$のグラフを$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$-2$だけ平行移動した式を求めよ。

process
$y=-(x^2-4x)+3=-(x-2)^2+4+3=-(x-2)^2+7$のグラフを$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$-2$だけ平行移動すると，\\
はじめの頂点（2,\,7），移動$（1,\,-2）$，後の頂点$（3,\,5）$\\
$y=-(x-3)^2+5=-x^2+6x-4$\\
（別解）$y=-(x-1)^2+4(x-1)+3-2$

$y=-(x-3)^2+5=-x^2+6x-4$

2次関数$y=2x^2-8x-5$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=2(x^2-4x)-5=2(x-2)^2-2\cdot 2^2-5=2(x-2)^2-13$\\
したがって頂点は$(2,-13)$\\
（別解）軸$x=\displaystyle\frac{-(-8)}{2\times 2}=2$\\
頂点の$y$座標$=2^2-8\times 2-5=-13$\\

$(2,-13)$

2次関数$y=-x^2-6x-4$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=-(x^2+6x)-4=-(x+3)^2+3^2-4=-(x+3)^2+5$\\
したがって頂点は$(-3,5)$\\
（別解）軸$x=\displaystyle\frac{-(-6)}{2\times (-1)}=-3$\\
頂点の$y$座標$=-(-3)^2-6\times (-3)-4=5$\\

$(-3,5)$

2次関数$y=2x^2-4x+3$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=2(x^2-2x)+3=2(x-1)^2-2\cdot 1^2+3=2(x-1)^2+1$\\
したがって頂点は$(1,1)$\\
（別解）軸$x=\displaystyle\frac{-(-4)}{2\times 2}=1$\\
頂点の$y$座標$=2\times 1^2-4\times 1+3=1$\\

$(1,1)$

2次関数$y=-x^2-4x-1$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=-(x^2+4x)-1=-(x+2)^2+2^2-1=-(x+2)^2+3$\\
したがって頂点は$(-2,3)$\\
（別解）軸$x=\displaystyle\frac{-(-4)}{2\times (-1)}=-2$\\
頂点の$y$座標$=-(-2)^2-4\times (-2)-1=3$\\

$(-2,3)$

2次関数$y=3x^2+6x+5$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=3(x^2+2x)+5=3(x+1)^2-3\cdot 1^2+5=3(x+1)^2+2$\\
したがって頂点は$(-1,2)$\\
（別解）軸$x=\displaystyle\frac{-6}{2\times 3}=-1$\\
頂点の$y$座標$=3\times (-1)^2+6\times (-1)+5=2$\\

$(-1,2)$

2次関数$y=-x^2+2x-4$のグラフの頂点の座標を求めよ。

process
$y=-(x^2-2x)-4=-(x-1)^2+1^2-4=-(x-1)^2-3$\\
したがって頂点は$(1,-3)$\\
（別解）軸$x=\displaystyle\frac{-2}{2\times (-1)}=1$\\
頂点の$y$座標$=-1^2+2\times 1-4=-3$\\

$(1,-3)$

図は，2次関数$y=-(x+2)(x-4)$のグラフである。
このグラフの頂点の座標を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/212_2jifunction/pic22.tex}
\end{center}

process
頂点の$x$座標は$\displaystyle \frac{-2+4}{2}=1$だから，
頂点の$y$座標は$-(1+2)(1-4)=-3 \times (-3)=9$

(1,\,9)

$y=\displaystyle\frac{1}{2}x^2-2x+3$の頂点を求めよ。

process
$y=\displaystyle\frac{1}{2}x^2-2x+3=\displaystyle\frac{1}{2}(x^2-4x)+3\\
=\displaystyle\frac{1}{2}(x-2)^2-\displaystyle\frac{1}{2}\times 2^2+3\\
=\displaystyle\frac{1}{2}(x-2)^2+1$

$(2，1)$

$y=2x^2-8x+3$の頂点を求めよ。

process
$y=2(x^2-4x)+3=2(x-2)^2-2\times 2^2+3\\
=2(x-2)^2-5$

$(2，-5)$

\hspace{8pt} 次の放物線の頂点の座標を求めよ。\\
$y=-\displaystyle\frac{1}{3}(x-1)(x-3)$

process
与式は$x$軸と1と3で交わるから，軸は$x=2$。\\
したがって，頂点の$y$座標は$y=-\displaystyle\frac{1}{3}(2-1)(2-3)=\displaystyle\frac{1}{3}$

$\left( 2，\,\displaystyle\frac{1}{3} \right)$

\hspace{8pt} 次の放物線の頂点の座標を求めよ。\\
$y=(x+4)(x-1)$

process
与式は$x$軸と$-4$と1で交わるから，軸は$x=\displaystyle\frac{-4+1}{2}=-\displaystyle\frac{3}{2}$。\\
したがって，頂点の$y$座標は\\
$y=\left(-\displaystyle\frac{3}{2}+4 \right)\left(-\displaystyle\frac{3}{2}-1\right)=-\displaystyle\frac{25}{4}$

$\left( -\displaystyle\frac{3}{2}，\,-\displaystyle\frac{25}{4} \right)$







[Level6]
2次関数の対称移動（基礎）
放物線$y=x^2+6x+5$を
原点に関して対称移動した放物線をグラフとする2次関数を求めなさい。

process
$(x,y)$を原点に関して対称移動した点は$(X,Y)=(-x, -y)$であるから，
$x=-X, y=-Y$となる。したがって，求める放物線は\\
$-Y=(-X)^2+6(-X)+5$\\
$\therefore -Y=x^2-6X+5$~~~
$Y=-X^2+6X-5$

$y=-x^2+6x-5$

$y=-x^2+2x+3$のグラフを$x$軸について対称移動したグラフの式を求めよ。

process
$y$を$-y$と置き換えると，$-y=-x^2+2x+3$，∴$y=x^2-2x-3$

$y=x^2-2x-3$

$y=-x^2+2x+3$のグラフを$y$軸について対称移動したグラフの式を求めよ。

process
$x$を$-x$と置き換えると，$y=-(-x)^2+2(-x)+3$，∴$y=x^2-2x+3$

$y=x^2-2x+3$

$y=-x^2+2x+3$のグラフを原点について対称移動したグラフの式を求めよ。

process
$x$を$-x$，$y$を$-y$と置き換えると，$-y=-(-x)^2+2(-x)+3$，∴$y=-x^2+2x-3$

$y=-x^2+2x-3$

$y=-x^2+2x+3$のグラフを$y=x$について対称移動したグラフの式を求めよ。

process
$x$を$y$に，$y$を$x$に置き換えると，$x=-y^2+2y+3$

$x=-y^2+2y+3$

放物線$y=x^2+8x+17$を$y$軸に関して対称移動した放物線をグラフとする
2次関数を求めよ。

process
$y=(-x)^2+8(-x)+17$より，$y=x^2-8x+17$

$y=x^2-8x+17$











[Level7]
通る点（超基礎）
2次関数$y=2(x-1)^2-k$（$k$は定数）のグラフが点$(3,\,5)$を通るとき，
$k$の値は\fbox{\bf\, イ \,}である。

process
$5=2(3-1)^2-k$より$k=3$

3

2次関数$y=x^2+kx-2$（$k$は定数）のグラフが点$(-3,\,1)$を通るとき，
$k$の値を求めよ。

process
$1=(-3)^2+k\times(-3)-2$より$k=2$

2

2次関数$y=a\left(x-2\right)^2+1$（$a$は定数）のグラフが
点$\left(3，0 \right)$を通るとき，$a$の値を求めよ。

process
$0=a(3-2)^2+1$，$\therefore a=-1$

$-1$

2次関数$y=a(x-2)^2-4$（$a$は定数）のグラフが点$(3,\,0)$を通るとき，
$a$の値は$\fbox{\bf\,イ\,}$である。

process
$0=a(3-2)^2-4$~~~
$0=a-4$

$4$

2次関数$y=-\left( x-2 \right)^2+k$（$k$は定数）のグラフが原点を通るとき，
$k$の値を求めよ。

process
$0=-\left( 0-2 \right)^2+k$，$k=4$

$4$

２次関数の頂点の座標が$（1，-2）$であり，点$（0，-1）$を通るとき，この２次関数の方程式を求めよ。

process
$y=a(x-1)^2-2$が点$（0，-1）$を通るから$-1=a(0-1)^2-2$\hspace{8pt}$\therefore a=1$\\
$y=(x-1)^2-2=x^2-2x-1$

$y=(x-1)^2-2=x^2-2x-1$

ある２次関数が$x$軸と点$（0，0）$，$（2，0）$で交わり，点$（-1，3）$を通るとき，この２次関数の方程式を求めよ。

process
$y=ax(x-2)$が点$（-1，3）$を通るから，
$3=a(-1)(-1-2)$\hspace{8pt}$\therefore a=1$\\
$\therefore y=x(x-2)=x^2-2x$

$y=x^2-2x$

2次関数$y=a\left(x+2\right)^2-3$（$a$は定数）のグラフが
点$\left(-4，5 \right)$を通るとき，$a$の値を求めよ。

process
$5=a(-4+2)^2-3$，$\therefore a=2$

2

2次関数$y=2(x-3)^2+k$（kは定数）のグラフが点(0,\,13)を通るとき，
$k$の値を求めよ。

process
$13=2(0-3)^2+k$，$13=2 \times 9 +k$，\\
$\therefore k=13-18=-5$

$-5$

２次関数の頂点の座標が$（1，2）$であり，点$（2，3）$を通るとき，この２次関数の方程式を求めよ。

process
$y=a(x-1)^2+2$が点$（2，3）$を通るから$3=a(2-1)^2+2$\hspace{8pt}$\therefore a=1$\\
$y=(x-1)^2+2=x^2-2x+3$

$y=(x-1)^2+2=x^2-2x+3$

ある２次関数が$x$軸と点$（-1，0）$，$（1，0）$で交わり，点$（0，1）$を通るとき，この２次関数の方程式を求めよ。

process
$y=a(x+1)(x-1)$が点$（0，1）$を通るから，
$1=a(0+1)(0-1)$\hspace{8pt}$\therefore a=-1$\\
$\therefore y=-(x+1)(x-1)=-x^2+1$

$y=-x^2+1$

$y=ax^2$のグラフが$(2,\,12)$を通るとき，このグラフの式を求めよ。

process
$12=a \times 2^2$，$\therefore a=3$

$y=3x^2$

点$(4,\,5)$を頂点とし，点$(6,\,-7)$を通る2次関数の式を求めよ。

process
$y=a(x-4)^2+5$が点$(6,\,-7)$を通るから，
$-7=a(6-4)^2+5$，$\therefore a=-3$。求める式は
$y=-3(x-4)^2+5=-3x^2+24x-43$

$y=-3x^2+24x-43$

2次関数$y=a(x+2)^2+1$（$a$は定数）のグラフが点$(0,\,9)$を通るとき，
$a$の値は\fbox{\hspace{4pt} イ \hspace{4pt}}である。

process
$9=a(0+2)^2+1$

$2$

2次関数$y=ax^2-3x+1$（$a$は定数）のグラフが点$(1,1)$を通るとき，
$a$の値は\fbox{\bf\hspace{4pt} イ \hspace{4pt}}である。\\
\textcircled{\small 1}\,$1$~~~
\textcircled{\small 2}\,$2$~~~
\textcircled{\small 3}\,$3$~~~
\textcircled{\small 4}\,$4$

process
$1=a-3+1$~~~$\therefore a=3$

\textcircled{\small 3}

2次関数$y=x^2-2x+k$（$k$は定数）のグラフが点（3,\,2）を通るとき，$k$の値を求めよ。

process
$2=3^2-2 \times 3+k$\\
∴$k=-1$

$k=-1$

2次関数$y=a(x+1)^2-2（aは定数）$のグラフが点（$0$，$1$）を通るとき，
$a$の値を求めよ。

process
$1=a(0+1)^2-2$,\ $1=a-2$

$3$

2次関数$y=a(x-1)^2+a$（aは定数）のグラフが点$(0,\,4)$を通るとき，
$a$の値を求めよ。

process
$4=a(0-1)^2+a$より，$a=2$

2

頂点が原点にあり，点$(3,\,27)$を通る2次関数の式を求めよ。

process
$y=ax^2$が点$(3,\,27)$を通るから，$27=a\times 3^2$，∴$a=3$

$y=3x^2$

グラフの頂点が$(4,\,-3)$で，点$(3,\,-1)$を通る2次関数は\fbox{\bf\,イ\,}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから正しいものを一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$y=(x+4)^2-3$~~~
\textcircled{\small 2}\,$y=(x-4)^2-3$\\
\textcircled{\small 3}\,$y=2(x-4)^2-3$~~~
\textcircled{\small 4}\,$y=2(x+4)^2-3$

process
$y=a(x-4)^2-3$が点$(3,\,-1)$を通るから，
$-1=a(3-4)^2-3$，$\therefore a=2$\\
$y=2(x-4)^2-3$

\textcircled{\small 3}

2次関数$y=a(x-1)(x+3)$（$a$は定数）のグラフが点$(0,\,-6)$を通るとき，
$a$の値は\fbox{\hspace{2pt} {\bf イ} \hspace{2pt}}である。
次の\textcircled{\small 1}$\sim$\textcircled{\small 4}のうちから一つ選べ。\\
\textcircled{\small 1}\,$2$~~~
\textcircled{\small 2}\,$-2$~~~
\textcircled{\small 3}\,$3$~~~
\textcircled{\small 4}\,$-3$

process
$-6=a(0-1)(0+3)$

\textcircled{\small 1}

$y=3x^2$が点$(-1,\,11)$，点$(1,\,-1)$を通るように平行移動したときの2次関数の式を求めよ。

process
$y=3x^2+bx+c$が点$(-1,\,11)$，点$(1,\,-1)$を通るから，\\
$11=3\times (-1)^2+b\times (-1)+c$，$\therefore -b+c=8\cdots$\textcircled{\small 1}\\
$-1=3\times 1^2+b\times 1+c$，$\therefore b+c=-4\cdots$\textcircled{\small 2}\\
\textcircled{\small 1}，\textcircled{\small 2}より$b=-6,\,c=2$

$y=3x^2-6x+2$





[Level8]
通る点（3点基礎）
ある２次関数が３点$(-1，2)$，$（0，1）$，$（1，-2）$を通る。

process
求める２次関数を$y=ax^2+bx+c$とおくと，\\
$\left\{ 
\begin{array}{l}
 2=a-b+c\cdots \textcircled{1}\\
 1=c\cdots \textcircled{2}\\
 -2=a+b+c\cdots \textcircled{3}
\end{array} \right.$ \\
\textcircled{1} $-$ \textcircled{2}：$1=a-b\cdots$\textcircled{4}\\
\textcircled{3} $-$ \textcircled{2}：$-3=a+b\cdots$\textcircled{5}\\
とにより，$a=-2\cdots$\textcircled{5}\\
\textcircled{4}，\textcircled{5}により，$a=-1，b=-2$\\
よって，求める２次関数は
$y=-x^2-2x+1$

$y=-x^2-2x+1$

ある２次関数が３点$(-1，-6)$，$（1，2）$，$（2，0）$を通る。

process
求める２次関数を$y=ax^2+bx+c$とおくと，\\
$\left\{ 
\begin{array}{l}
 -6=a-b+c\cdots \textcircled{1}\\
 2=a+b+c\cdots \textcircled{2}\\
 0=4a+2b+c\cdots \textcircled{3}
\end{array} \right.$ \\
\textcircled{2} $-$ \textcircled{1}：$8=2b\hspace{8pt} b=4\cdots$\textcircled{4}\\
\textcircled{3} $-$ \textcircled{2}：$-2=3a+b\hspace{8pt} $\textcircled{4}とにより，$a=-2\cdots$\textcircled{5}\\
\textcircled{2}，\textcircled{4}，\textcircled{5}により，$c=0$\\
よって，求める２次関数は
$y=-2x^2+4x$

$y=-2x^2+4x$














































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