[Title]
203_損益算・時計算

[displaystyle]
OFF

[Problem]
次の問いに答えよ。

[FontSize]
5

[Level1]
損益算の基本（定価と原価）
原価$1500円$の商品に3割の利益を見込んで定価をつけた。定価はいくらか。

process
$定価=原価\times (1+利益率) $\\
$定価=1500\times (1+0.3)=1950円$

$1950円$

原価$1000円$の商品に3割の利益を見込んで定価をつけた。定価はいくらか。

process
$定価=原価\times (1+利益率) $\\
$定価=1000\times (1+0.3)=1300円$

$1300円$

原価$500円$の商品に3割の利益を見込んで定価をつけた。この商品の定価はいくらか。

process
$定価=原価\times (1+利益率) $\\
$定価=500\times (1+0.3)=650円$

650円

ある品物を定価の３割引の4200円で売った。この品物の定価はいくらか。

process
$売価=定価\times (1-割引率)$ \\
$売価4200=定価\times (1-0.3) $\\
定価=6000円

6000円

ある品物を定価の３割引の3500円で売った。この品物の定価はいくらか。

process
$売価=定価\times (1-割引率) $\\
$売価3500=定価\times (1-0.3) $\\
定価=5000円

5000円

ある品物の原価に1割5分の利益を見込んで1840円の定価をつけた。この品物の原価はいくらか。

process
$定価1840=原価\times (1+0.15)$ \\
$原価= \displaystyle\frac{1840}{1.15}$

1600円

ある品物の原価に2割の利益を見込んで1440円の定価をつけた。この品物の原価はいくらか。

process
$定価1440=原価\times (1+0.2) $\\
$原価= \displaystyle\frac{1440}{1.2}$

1200円

ある商品に2割の利益を見込んで7200円の定価をつけた。この商品の原価はいくらか。

process
${7200=x\times (1+0.2)=x\times \displaystyle\frac{12}{10}} $\\
$原価x=7200\times \displaystyle\frac{10}{12}=6000$

6000円

ある商品に2割の利益を見込んで8400円の定価をつけた。この商品の原価はいくらか。

process
${8400=x\times (1+0.2)=x\times \displaystyle\frac{12}{10}} $\\
$原価x=8400\times \displaystyle\frac{10}{12}=7000$

7000円

原価250円の品物に2割の利益を見込んで定価をつけた。
この品物の定価はいくらか。

process
$250\times(1+0.2)=250\times 1.2=300$

300円

ある商品に原価の3割の利益があるように，定価を5200円にした。原価はいくらか。

process
原価を$x$とすると \\
$5200=x\times(1+0.3)=x \displaystyle\frac{13}{10}$

4000円

900円の2割増しはいくらですか？

process
$900 \times (1+0.2)=900 \times 1.2=1080$

1080円

$7500$円の3割引きはいくらになるか。

process
$7500\times (1-0.3)=7500\times 0.7=5250$円

$5250$円






[Level2]
損益算の基本（売値と定価）
ある商品を定価の3割引で買って280円を支払った。この商品の定価を求めなさい。

process
$280=x \times (1-0.3)=x \times 0.7$

400円

定価1200円の商品を2割引で買うといくらになりますか？

process
$売値=1200\times(1-0.2)=1200 \times 0.8\\
=1200 \times \displaystyle \frac{8}{10}=960$

960円

定価1400円の商品を3割引で買うといくらになりますか。

process
$1400\times(1-0.3)=1400 \times 0.7=1400 \times \displaystyle \frac{7}{10}=140 \times 7$

980円

定価1600円の商品を2割引で買うといくらになりますか？

process
$売値=1600\times(1-0.2)=1600 \times 0.8\\
=1600 \times \displaystyle \frac{8}{10}=1280$

1280円

ある商品を定価の2割引で買って640円を支払った。
この商品の定価を求めなさい。

process
$売値=定価 \times (1-割引率)$\\
$640=x\times(1-0.2)$。$640=x \times 0.8=x \times \displaystyle \frac{8}{10}。$\\
$x=640 \times \displaystyle \frac{10}{8}=800$

800円

原価の3割の利益を見込んで定価をつけた品物を500円値下げしても原価の1割の利益となった。この品物の原価を求めなさい。

process
原価を$x$とすると，\\
$(1.3x-500)-x=0.1x$

2500円








[Level3]
損益算の応用
ある品物の原価は800円である。この品物を2割の利益を見込んで定価をつけたが，売れないので1割引で売ることにした。売価はいくらか。

process
$定価=原価\times (1+利益率) $より\\
$定価=800\times (1+0.2)=960円$ \\
$売価=定価\times (1-割引率) $より\\
$定価=960\times (1-0.1)=864$

864円

原価に2割5分の利益を見込んで1500円の定価をつけた。原価はいくらか。

process
原価を$x$とする。 \\
$定価=原価\times (1+利益率)$ \\
$1500=x\times (1+0.25) $\\
$\displaystyle\frac{1500}{1.25} =1500\times \displaystyle\frac{100}{125}$

1200円

原価4000円の品物に，3割5分の利益を見込んで定価をつけたが，売れないので定価の2割引で売った。売価はいくらか。

process
$定価=原価\times (1+利益率) $\\
$売価=定価\times (1-割引率) $\\
$定価=4000\times (1+0.35)$ \\
$売価=4000\times (1+0.35)\times (1-0.2)=4320円$

4320円

原価1200円の商品に3割の利益があるように定価をつけたが，安売りセールで1割引きで売った。売価はいくらか。

process
$定価=1200\times (1+0.3)=1200 \times\displaystyle\frac{13}{10} $\\
$売価=1200 \times\displaystyle\frac{13}{10}\times(1-0.1)$

1404円

原価5000円の商品に3割の利益を見込んで定価をつけたが，売れないので2割引で売った。このときの販売価格はいくらか。

process
$定価=5000\times (1+0.3)=5000+1500=6500 $\\
$売価=6500\times (1-0.2)=6500-1300=5200$

5200

原価に12.5\%の利益を見込んだら定価が900円になった。
原価はいくらか。

process
$900=x \times (1+1.125)$，$x=\displaystyle\frac{900}{1.125}=800$

800円

原価に2割5分の利益を見込んで定価をつけたら，
利益が500円となった。
定価はいくらか。

process
$定価y=原価x\times (1+0.25)$，\\
$利益500=x \times 0.25$，∴$x=2000$円，\\
$定価=原価+利益=2000+500=2500円$

2500円

原価600円で仕入れた商品に3割の利益を見込んで定価をつけたが，
売れなかったので定価の2割引にして売った。
利益はいくらか。

process
$定価=600\times 1.3$，\\
$売値=(600\times 1.3)\times (1-0.2)=600\times 1.04=624$，\\
$利益=売値-原価=624-600=24$

24円

原価に2割の利益を見込んで定価をつけたが，
売れなかったので定価の1割引にして売ったら，利益が100円だった。
原価はいくらか。

process
原価を$x$とすると，\\
定価$=x \times 1.2$\\
売値$=(x \times 1.2)\times 0.9=x \times 1.08$\\
利益$=x\times 1.08-x$より，
$100=x\times 0.08$\\
∴$x=\displaystyle\frac{100}{0.08}=1250$

1250円

ある商品に原価の2割をみこんで定価をつけたが，売れなかったので，
定価の10\% 引きにしたら800円の利益となった。
この原価を求めよ。

process
原価を$x$とすると，
$1.2x-x=800$

$10,000$円

定価6,000円の品物を30\% 引きで売っても，なお20\% の利益がある。原価を求めよ。

process
原価を$x$とすると，売値$=6000\times 0.7$\\
$6000\times 0.7-x=0.20x$

3,500円

ある商品を原価の2割の利益を見込んで定価をつけたが，
売れなかったので定価の2割引きで売ったら100円損をした。
この商品の原価を求めなさい。

process
原価を$x$とおくと，\\
定価$=x(1+0.2)=1.2x$\\
売値$=1.2x(1-0.2)=1.2\times 0.8x$\\
$1.2\times 0.8 x-x=-100$\\
$x=\displaystyle\frac{100}{0.4}=2500$

2,500円






[Level4]
損益算の難問
ある商品を定価の3割引で売り，消費税の5\%を加えたところ4410円になりました。
この商品の定価はいくらですか。

process
消費税を引くと，$4410 \div 1.05=4200円$。
4200円が0.7にあたるので，定価は$4200円 \div 0.7=6000円$

6000円

トマトを100個入れ，仕入れ値の5割増しの定価をつけたが，
そのうち10個が売れ残り，利益は1750円となった。
トマト1個当たりの仕入れ値はいくらか。

process
仕入れ値を$x$円とすると，定価は$1.5x$円。
題意より，\\
$\displaystyle\frac{3}{2} \times 90x-100x=1750$\\
$135x-100x=1750$，∴$x=50$

50円

定価2500円の商品を，売れないので2000円で売ることにした。割引率はいくらか。

process
$割引額=2500-2000=500$  \\
$\displaystyle\frac{500}{2500}= \displaystyle\frac{20}{100} $ \\
（別） \\
$2000=2500(1-x)$

2割

ある商品の原価の4割の利益があるように定価をつけたが，売れ残ったので，15\%引きで売ったところ988円の利益があった。
この商品の原価はいくらか。

process
原価を1000円とすると， \\
$定価=1000\times (1+0.4)=1400$ \\
$売価=1400\times (1-0.15)=1400\times \displaystyle\frac{85}{100}=1190$ \\
$利益=1190-1000=190 $\\
原価が$x$のとき利益が988とすると，$\displaystyle\frac{1000}{190}= \displaystyle\frac{x}{988}$ \\
$x=988\times \displaystyle\frac{1000}{190} =5200$ \\
（別）
原価を$x$とすると，定価は \\
$定価=x\times (1+0.4)=x \displaystyle\frac{14}{10}$ \\
$売価=x \times\displaystyle\frac{14}{10}\times (1-0.15)=x \times\displaystyle\frac{14}{10} \times\displaystyle\frac{85}{100}$ \\
$利益=988=x \times\displaystyle\frac{14}{10} \times\displaystyle\frac{85}{100}-x= \displaystyle\frac{190}{1000}x$

5200円










[Level5]
時計算の基本
時計の長針は，1分間に何度動くか。

process
長針は1時間（60分）でひと回り（360°）動くので，\\
$360 °\div 60=6°$

$6°$

時計の短針は，1分間に何度動くか。

process
短針は1時間（60分）で$360°\div 12=30°$動くので，1分間では，\\
$30°\div 60=0.5°$

$0.5°$

時計の長針と短針は，1分間に何度近づくか（または離れるか）。

process
1分間に短針は0.5°，長針は6°ずつ動く。
長針が短針を追いかけているとみれば，1分間に$6°-0.5°=5.5°$近づく。
長針が短針から離れていくとみれば，同様に$6°-0.5°=5.5°$ずつ離れていく。

$5.5°$

時計の短針と長針が重なってから，再び重なるのは何分後か。

process
1分間に短針は0.5°，長針は6°ずつ動く。
長針と短針は1分間に$6°-0.5°=5.5°$離れていく。
360°離れている長針が再び重なるのだから，\\
$360°\div 5.5°=\displaystyle \frac{360}{5.5}=\displaystyle \frac{720}{11}=65\displaystyle \frac{5}{11}分後$

$65\displaystyle \frac{5}{11}分後$

3時を示した状態から時計の長針が短針に重なるまでの時間は何分後か。

process
1分間に短針は0.5°，長針は6°ずつ動く。
長針が短針を追いかけているとき，1分間に$6°-0.5°=5.5°$近づく。
3時のときは長針と短針は90°離れている。
よって，重なるまでの時間は，\\
$90°\div 5.5°= \displaystyle \frac{90}{5.5}= \displaystyle \frac{180}{11}=16 \displaystyle \frac{4}{11}$

$16 \displaystyle \frac{4}{11}$分後






[Level6]
時計算の応用
2時間から3時の間で，長針と短針が反対方向に一直線になるのはいつですか。

process
求める時刻を2時$t$分とする。
まず，12時の位置を$0°$とすると，$2時$の位置は$360\times \displaystyle \frac{2}{12}=60°$\\
$60+0.5t+180=6t$\\
∴$t=\displaystyle \frac{240}{5.5}=\displaystyle \frac{480}{11}=43\displaystyle \frac{7}{11}分$\\
$\displaystyle \frac{7}{11}分=\displaystyle \frac{7\times 60}{11}秒=\displaystyle \frac{420}{11}秒
=38\displaystyle \frac{2}{11}秒$

$4時43分38\displaystyle \frac{2}{11}秒$

4時間から5時の間で，長針と短針が反対方向に一直線になるのはいつですか。

process
求める時刻を4時$t$分とする。
まず，12時の位置を$0°$とすると，$4時$の位置は$360\times \displaystyle \frac{4}{12}=120°$\\
$120+0.5t+180=6t$\\
∴$t=\displaystyle \frac{300}{5.5}=\displaystyle \frac{600}{11}=54\displaystyle \frac{6}{11}分$\\
$\displaystyle \frac{6}{11}分=\displaystyle \frac{6\times 60}{11}秒=32\displaystyle \frac{8}{11}秒$

$4時54分32\displaystyle \frac{8}{11}秒$

4時間から5時の間で，長針と短針が直角になるのはいつですか。

process
求める時刻を4時$t$分とする。
まず，12時の位置を$0°$とすると，$4時$の位置は$360\times \displaystyle \frac{4}{12}=120°$\\
$120+0.5t\pm 90=6t$\\
∴$t=\displaystyle \frac{210}{5.5}=\displaystyle \frac{420}{11}=38\displaystyle \frac{2}{11}分
=38分\displaystyle \frac{2\times 60}{11}秒=38分10\displaystyle \frac{10}{11}秒$\\，また，
$t=\displaystyle \frac{30}{5.5}=\displaystyle \frac{60}{11}=5\displaystyle \frac{5}{11}分
=5分\displaystyle \frac{5\times 60}{11}秒=5分27\displaystyle \frac{3}{11}秒$\\

$4時5分27\displaystyle \frac{3}{11}秒，4時38分10\displaystyle \frac{10}{11}秒$






[Level7]


[EOF]

