% %以下の文をコメント文としたいのですが，現時点ではまだできません。
% 問題のタイトル
[Title]
402_円と扇形

% 問題文
% 何も書かなければ，[Level1]等に書いたものがそのまま問題文となる。
[Problem]
次の問いに答えよ。
% フォントの大きさ。1〜10，またはTeXのコマンドを指定する。
% デフォルトは，5（\normalsize）
% 1は\tiny， は\scriptsize，3は\footnotesize，4は\small， 5は\normalsize
% 6は\large，7は\Large，     8は\LARGE，       9は\huge， 10は\Huge
[FontSize]
5

% プリアンブルに追加したいパッケージファイルを指定する。
[usepackage]
\usepackage{color}

% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付ける場合は，　ON または1
% それぞれの問題や解答に$\displaystyle $を付けない場合は，OFFまたは0
% 「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の下にある設定を
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　無視する場合に指定してください。
% 何も記述しなければ，「問題用紙の編集」−「ユーザー設定問題」の
% 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　下にある設定が優先されます。
[displaystyle]
OFF


% Level1の問題を書く。以下Level7まで同様。
% 1行目には詳細設定のタイトルを書く。
% 2行目以降に問題とその解答を書く。
% 問題と解答，解答と問題は１行ずつあけて書く。
% 計算過程がある場合は，問題と解答の間に１行ずつ間隔をあけ，
% 最初にprocessという行を作り，その次の行から計算過程を書いていく。
[Level1]
基本
次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic98.tex}
\end{center}

78°

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic99.tex}
\end{center}

62°

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic100.tex}
\end{center}

100°

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic101.tex}
\end{center}

process
接弦定理により，$\angle x=40$°

40°

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic102.tex}
\end{center}

188°

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic103.tex}
\end{center}

58°

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic104.tex}
\end{center}

85°

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic105.tex}
\end{center}

process
接弦定理により，$\angle x=46$°

46°

図の∠$x$の大きさを求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic91.tex}
\end{center}

150°

図の∠$x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic92.tex}
\end{center}

32°

図の∠$x$の大きさを求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic93.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic93p.tex}
\end{center}
$96+x=110$。

14°

図の∠$x$の大きさを求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic94.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic94p.tex}
\end{center}
$28+50=78$。

78°

図の∠$x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic95.tex}
\end{center}

94°

図の∠$x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic96.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic96p.tex}
\end{center}
$72+x=90$。

18°

図の∠$x$の大きさを求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic97.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic97p.tex}
\end{center}

58°

図の∠$x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic01.tex}
\end{center}

process
接弦定理より∠ACB=45°。\\
$60+45+x=180$

75°

図の∠$x$の大きさを求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic02.tex}
\end{center}

process
$\angle $ ACB=円周角=中心角 $ \div 2=50°$ \\
弧AB=孤BEより，$ \angle $ ACB $ = \angle$  BDE

50°

次の図の$\angle x$，$\angle y$を求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic03.tex}
\end{center}

process
$y=85°$。$z+85=180° $より，$z=95°$。\\
$x=180-95=85$°
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic03k.tex}
\end{center}

$x=85°，y=85°$

図のPQは円の接線である。$\angle x$の大きさを求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic04.tex}
\end{center} 

$108°$

図において，点Oは円の中心であり，P，Q，Rはそれぞれ円周上の点である。このとき，$\angle x$の大きさを求めよ。
ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic05.tex}
\end{center}

process
下の孤PRに対する中心角は\\
$360-120=240°$。
$x=240 \div 2=120$°

$120°$

図において，a，bの角度を求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic06.tex}
\end{center}

process
$\angle $OAC $=18°$。$\angle $ ACOは $=90°$なので，$\angle $ COAは $72°$。したがって，$\angle $ COB　$=144°$。

a$=108°$，b$=216°$

図で，４点A，B，C，Dが円Oの円周上にあり，$\angle $ AOC $=130°$のとき，$\angle x$，$\angle y$を求めよ。
ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic07.tex}
\end{center}

process
孤ADCに対する中心角$\angle$ AOC $=130°$　，
円周角$\angle x=65°$。$y+65=180$より，$y=115°$

$x=65°，y=115°$

図で，４点A，B，C，Dが円Oの円周上にある。ACが円Oの直径で，$\angle$ ACB $=55°$のとき，$\angle x$の大きさを求めよ。
ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic08.tex}
\end{center}

process
$\angle CAB =90°-55°=35°$。∴$\angle x=35°$

$\angle x=35°$

図で，４点A，B，C，Dは円Oの円周上にある。STは円Oの接線である。$\angle$ CAD $=40°$のとき，$\angle x$の大きさを求めよ。
ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic09.tex}
\end{center}

process
円周角の定理より，$\angle$ DBC $=40°$。\\
接弦定理より，$\angle$ BDC$=x$。したがって，\\
$x+40+90=180$

$\angle x=50°$

図の$\angle b$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic10.tex}
\end{center}

process
円周角の定理より，$\angle$ ABD $=50°$。\\
$b=30+50$

$\angle b=80°$

図の$\angle d$，$\angle e$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic11.tex}
\end{center}

process
$d=180°-95°=85°，e=110°$

$d=85°，e=110°$

図で，$\angle x$の値を求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic13.tex}
\end{center}

$40°$

図で，$\angle x$の値を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic14.tex}
\end{center}

$27°$

図で，$\angle x$の値を求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic15.tex}
\end{center}

$140°$

図で，$\angle x$の値を求めよ。ただし，点A，点Bは円Oの接点である。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic16.tex}
\end{center}

$50°$

図で，$\angle x$の値を求めよ。ただし，AC//OBであり，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic17.tex}
\end{center}

$96°$

図で，$\angle x$の値を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic18.tex}
\end{center}

process
$x+(x+20)=76$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic18p.tex}
\end{center}

$28°$

図は，ABを直径とする半円Oである。$\angle$ ACD $=15°$，$\angle$ COB$=70°$のとき，$\angle$ CADの大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic19.tex}
\end{center}

process
図より，$x+35+90+15=180$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic19p.tex}
\end{center}

$40°$

図で，CPはCで円に接している。$\angle$ BPC $=25°$，$\angle$ BAC $=30°$のとき，$\angle$ ACBの大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic20.tex}
\end{center}

process
接弦定理より，$\angle$ BCP = $\angle$ BAC $=30°$。三角形の内角の和は$180°$なので，
$(x+30)+30+25=180$ 

$95°$

図の四角形ABCDは，円に内接している。このとき，$\angle$ CADの大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic21.tex}
\end{center}

process
$\angle $CDA $=180-73=107°$。$x+41+107=180$

$32°$

図の$\angle x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic22.tex}
\end{center}

process
$\angle $ BED $=95°$。$x+15=95$

$80°$

図において，点Oは円の中心であり，PQRSはそれぞれ円周上の点である。
$\angle x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic26.tex}
\end{center}

process
$\angle$ QPS $=190°\div 2=95°$。\\
$\angle$ QPS $+$ QRS $=180°$

$95°$

図のSTは円Oの接線である。$\angle x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic27.tex}
\end{center}

process
外角の定理より，$\angle$ PQS $+49°=75°$。\\
∴$\angle$ PQS $=26°$。
接弦定理より，\\
$\angle$ PRQ $=26°$

79°

図において，点Oは円の中心であり，A，B，Cはそれぞれ円周上の点である。
このとき，$\angle x$の大きさはいくらか。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic131.tex}
\end{center}

$38°$

図において，点Oは円の中心であり，A，B，C，Dはそれぞれ円周上の点である。
このとき，$\angle x$の大きさはいくらか。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic132.tex}
\end{center}

$40°$

図において，四角形ABCDは円に内接している。
このとき，$\angle x$の大きさはいくらか。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic133.tex}
\end{center}

$102°$

図において，点Oは円の中心であり，A，B，C，Dはそれぞれ円周上の点である。
このとき，$\angle x$の大きさはいくらか。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic134.tex}
\end{center}

24°

図において，PA，PCは接線である。
$\angle x$の大きさはいくらか。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic135.tex}
\end{center}

$66°$

図の$\angle x$の大きさを求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic141.tex}
\end{center}

$60°$

図の$\angle x$の大きさを求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic142.tex}
\end{center}

$20°$

図の$\angle x$の大きさを求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic143.tex}
\end{center}

$110°$

図の$\angle x$，$\angle y$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic144.tex}
\end{center}

$x=110°$，$y=92°$

図の$\angle x$，$\angle y$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic145.tex}
\end{center}

$x=103°$，$y=77°$

図の$\angle x$，$\angle y$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic146.tex}
\end{center}

$x=73°$，$y=80°$

図の$\angle x$，$\angle y$の大きさを求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic147.tex}
\end{center}

$x=35°$，$y=55°$

図の$\angle x$，$\angle y$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic148.tex}
\end{center}

$x=62°$，$y=40°$

図の$\angle x$の大きさを求めよ。
なお，点Oは円の中心である。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic149.tex}
\end{center}

process
$29+45=x+58$

$16°$

図の$\angle x$の大きさを求めよ。なお，点Oは円の中心である。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic150.tex}
\end{center}

process
$90-15$

$75°$

図の$\angle x$の大きさを求めよ。なお，点Oは円の中心である。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic151.tex}
\end{center}

$154°$

図の$\angle x$の大きさを求めよ。なお，点Oは円の中心である。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic152.tex}
\end{center}

$74°$

図のように，$\triangle $ABCがあり，その内接円と辺AB，
BC，CAとの接点をP，Q，Rとする。
$\angle$ BAC $ =56°$，$\angle$ QPR $ =54°$のとき，
$\angle $ABCの大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic153.tex}
\end{center}

process
接弦定理より，$\angle $ RQC $=54°$，\\
$\angle $ QRC $=54°$。
∴$\angle $ ACB $=180°-54° \times 2=72°$。\\
∴$\angle $ ABC $=180°-(56°+72°)=52°$

$52°$

図において，$\angle x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic154.tex}
\end{center}

process
図において，$\angle$ABD$=\angle$ACDであることから，A，B，C，Dの4つの点は同一円周上にあることになる。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic154p.tex}
\end{center}

$32°$

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。
ただし，$\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{AC}}=\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{AD}}$
であり，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic201.tex}
\end{center}

process
$\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{AC}}=\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{AD}}$より，
$\angle ADC=60°$となり$\triangle $ACDは正三角形。
また，$\angle BAD=90°$であるから，
$x=90°-60°=30°$

$30°$

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。
ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic202.tex}
\end{center}

process
AEを引くと，\\
$x+70°=90°$∴$x=20°$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic202p.tex}
\end{center}

$20°$

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。
ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic203.tex}
\end{center}

process
$\triangle $OBCは二等辺三角形であるから，$\angle OCB=30°$。
$\angle DCB=80°$であるから，
$x+30°=80°$

$50°$

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。
ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic204.tex}
\end{center}

process
$\angle BOC（Aと反対側）=220°$，$x=360°-220°=140°$

140°

図で，$\angle x$の大きさを求めよ。
ただし，A，Bは円の接点，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic207.tex}
\end{center}

process
図により，$\angle DOA=180°-90°-75°=15°$，\\
∴$x=2 \times 15°=30°$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic207p.tex}
\end{center}
（別）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic207pp.tex}
\end{center}
弧ABに対する円周角$\angle APB$をCと反対側に作ると，\\
$\angle APB=180°-105°=75°$\\
$\angle AOB=2 \times \angle APB=150°$\\
四角形AOBDについて\\
$150°+90°+90°+x=360°$

$30°$

図で，$\angle x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic209.tex}
\end{center}

process
$\angle$BCD$=x+25°$。
また，接弦定理により$\angle$BCD$=60°$であるから，
$x+25°=60°$，∴$x=35°$

$35°$

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic401.tex}
\end{center}

process
図より，$60+25+x=130$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic401p.tex}
\end{center}

40°

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic402.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic402p.tex}
\end{center}

70°

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic403.tex}
\end{center}

67°

次の図の$\angle x$の大きさを求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic404.tex}
\end{center}

220



[Level2]
応用
次の図の$\angle x$と$\angle y$の大きさを求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic162.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic162p.tex}
\end{center}
線分BDを引くと，円周角の定理により$\angle$ABD$=68°$。
∴$x=90°-68°=22°$。
外角の定理により$x+40=y$。∴$y=62°$

$x=22°,\,y=62°$

図で，直線ATは点Aにおける円の接線で，△ ABC は円に内接している。
$\angle$ BAT$=40°$，弧AB:孤AC$=2:3$であるとき，$\angle$ BACの大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic12.tex}
\end{center}

process
$\angle$ C: $\angle$ B$=2:3$。また，接弦定理より$\angle$ C$=40°$。
したがって，$\angle$ B=$60°$。\\
$\angle$ BAC$=180°-(40+60)=80°$

$80°$

図で $\angle$ $x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic25.tex}
\end{center}

process
円に内接する四角形より，$\angle$ CDA $=(180-x)$°。∴$\angle$ CDE $=x$°。
$\triangle $ FBCを考えると，\\
$\angle$ FCE $=(x+35)$°。\\
$\triangle $ DCEにおいて，$x+(x+35)+30=180$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic25p.tex}
\end{center}

$57.5°$

図で，$\angle x$の大きさを求めよ。ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic205.tex}
\end{center}

process
$\angle FAD=50°+35°=85°$\\
$x+85°=\angle ADC$であるが，
$\angle ADC=130°$であるから，\\
$x+85°=130°$。∴$x=45°$

$45°$

図で，$\angle x$の大きさを求めよ。
ただし，点Cは円と直線$l$の接点であり，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic206.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic206p.tex}
\end{center}
BCを引くと，$\angle ACB=90°$。接弦定理により$\angle ABC=x$。したがって$\angle OAC=90°-x$。
図により，\\
$40°+(90°-x)=x$，∴$x=65°$

$65°$

図で，$\angle x$の大きさを求めよ。
ただし，点Bは円と直線$l$と円の接点で，
$\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{AB}}=2\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{AD}}$
であり，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic208.tex}
\end{center}

process
BDを引く。接弦定理より，$\angle$ADB$=x$\\
$\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{AB}}=2\stackrel{\textstyle\frown}{\mathrm{AD}}$
より，
$\angle$ABD$=\displaystyle \frac{1}{2} \angle $ADB$=\displaystyle\frac{1}{2}x$\\
$\triangle $ABDの内角の和より，\\
$75°+x+\displaystyle \frac{1}{2}x=180°$，∴$x=70°$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic208p.tex}
\end{center}

$70°$

図で，$\angle x$の大きさを求めよ。
ただし，AB$=$BC，点Cは接点である。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic210.tex}
\end{center}

process
$\angle$ADC$=180°-115°=65°$。
AB $=$ BCより，$\angle$ ADB $=\angle$ BDC。
よって，\\
$\angle$BDC$=65°\times \displaystyle\frac{1}{2}=32.5°$\\
接弦定理より，
$\angle$BCE$=32.5°$\\
$x=180°-(50°+32.5°)=97.5°$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic210p.tex}
\end{center}

$97.5°$

$\triangle$ ABCは点Cで円Oに接している。ABは円Oの直径で，CPは円Oの接線である。
$\angle$ BCP$=30°$，円Oの半径が$4cm$のとき，$\triangle$ ABCの面積を求めよ。
ただし，Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic23.tex}
\end{center}

process
接弦定理より，$\angle$ BAC $=30°$。$\triangle$ ABCは$1:2:\sqrt{3}$の直角三角形であり，
ただし，Oは円の中心とする。
BC$=4$，BA$=8$，AC$=4 \sqrt{3}$。よって，
$\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times 4 \sqrt{3}$

$8 \sqrt{3}$






[Level3]
内接円など
図で，円Oは直角三角形ABCに点D，E，Fで接している。このとき，円Oの半径を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic31.tex}
\end{center}

process
面積に着目して，
$ \displaystyle \frac{1}{2} \times 3 \times 4  = \displaystyle \frac{1}{2} x (4+3+5)$

$ x=1 $

図において，三角形ABCの面積が$72 cm^2$のとき，各辺の点D，E，Fで接する円Oの半径を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic32.tex}
\end{center}

process
CD $=$ CE $ =6 cm $， AF $=$ AE $ =5 cm $ \\
∴ BF $=7 cm=$ BD。∴ BC $=6+7=13cm$。\\
$ \displaystyle \frac{1}{2}r(11+12+13)=72 $

$4 cm$

図のような直角三角形に半円が内接している。この半円の半径を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic48.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic48p.tex}
\end{center}
直角三角形ABCの面積は
$\displaystyle \frac{1}{2} \times 6 \times 8=24 cm^2$ \\
$\triangle $ ABO $+\triangle$ACO $=\triangle$ABC。\\
$\displaystyle \frac{1}{2}\times 6 \times r+\displaystyle \frac{1}{2} \times 8 \times r = 24$

$\displaystyle \frac{24}{7}$

次の図は円の内接する図形である。$x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic33.tex}
\end{center}

$4 cm$

次の図は円の内接する図形である。$x$の大きさを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic34.tex}
\end{center}

5





[Level4]
面積
図の斜線部分の面積を求めよ。\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic305.tex}
\end{center}

process
問題の図は下図のように考えることができる。\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic305p.tex}
\end{center}
$\displaystyle\frac{1}{2} \times 8\times 4=16\,{\rm cm^2}$

$16\,{\rm cm^2}$

次の図形の斜線部分の面積を求めなさい。ただし，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic82.tex}
\end{center}

process
$2 \left( \displaystyle \frac{1}{4} \times \pi \,4^2-\displaystyle \frac{1}{2} \times 4^2 \right)=2(4 \pi-8)$

$8 \pi -16$

図の斜線部の面積（単位$cm^2$）を求めよ。ただし，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic41.tex}
\end{center}

process
$2 \left( \displaystyle \frac{1}{4} \times 円の面積 -三角形の面積 \right)\\ 
=2 \left( \displaystyle \frac{1}{4} \times \pi ・5^2-\displaystyle \frac{1}{2} \times 5^2 \right)$　

$\displaystyle \frac{25}{2} \pi -25 $

図の斜線部の面積（単位$cm^2$）を求めよ。ただし，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic111.tex}
\end{center}

process
$2 \left( \displaystyle \frac{1}{4} \times 円の面積 -三角形の面積 \right)\\ 
=2 \left( \displaystyle \frac{1}{4} \times \pi ・8^2-\displaystyle \frac{1}{2} \times 8^2 \right)$　

$32 \pi -64 $

図の斜線部の面積（単位$cm^2$）を求めよ。ただし，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic54.tex}
\end{center}

process
$2 \left( \displaystyle \frac{1}{4} \times 円の面積 -三角形の面積 \right)\\ 
=2 \left( \displaystyle \frac{1}{4} \times \pi ・6^2-\displaystyle \frac{1}{2} \times 6^2 \right)$　　

$18 \pi -36 $

斜線部の面積を求めよ。（円周率には$\pi$を用いよ）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic44.tex}
\end{center}

process
（直径ACの半円）$-$（直径BCの半円）$+$（直径ABの半円）
$=\pi・5^2 \times \displaystyle \frac{1}{2}-\pi・2^2 \times \displaystyle \frac{1}{2}+ \pi・3^2 \times \displaystyle \frac{1}{2}$

$15 \pi cm^2$

斜線部の面積を求めよ。（円周率には$\pi$を用いよ）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic306.tex}
\end{center}

process
（直径ACの半円）$-$（直径BCの半円）$+$（直径ABの半円）
$=\pi・15^2 \times \displaystyle \frac{1}{2}-\pi・10^2 \times \displaystyle \frac{1}{2}+ \pi・5^2 \times \displaystyle \frac{1}{2}\\
=\displaystyle \frac{\pi}{2}\,(15^2-10^2+5^2)=\displaystyle \frac{\pi}{2}\times 150$

$75 \pi \,cm^2$

斜線部の面積を求めよ。（円周率には$\pi$を用いよ）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic45.tex}
\end{center}

process
正方形ABCDは菱形と考えると計算が速い。ABCDの面積=AC $ \times $ DB $ \times \displaystyle \frac{1}{2}
=10 \times 10 \times \displaystyle \frac{1}{2}$ 。\\
斜線部の面積 $=\pi・5^2-10^2\times \displaystyle \frac{1}{2}$

$25(\pi-2) =25\pi-50 \,cm^2$

斜線部の面積を求めよ。（円周率には$\pi$を用いよ）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic114.tex}
\end{center}

process
正方形ABCDは菱形と考えると計算が速い。ABCDの面積=AC $ \times $ DB $ \times \displaystyle \frac{1}{2}
=6 \times 6 \times \displaystyle \frac{1}{2}$ 。\\
斜線部の面積 $=\pi・3^2-6^2\times \displaystyle \frac{1}{2}$

$9(\pi-2) =9\pi-18\, cm^2$

斜線部の面積を求めよ。（円周率には$\pi$を用いよ）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic115.tex}
\end{center}

process
正方形ABCDは菱形と考えると計算が速い。ABCDの面積=AC $ \times $ DB $ \times \displaystyle \frac{1}{2}
=8 \times 8 \times \displaystyle \frac{1}{2}$ 。\\
斜線部の面積 $=\pi・4^2-8^2\times \displaystyle \frac{1}{2}$

$16\pi-32 cm^2$

斜線部の面積を求めよ。（円周率には$\pi$を用いよ）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic53.tex}
\end{center}

process
正方形ABCDは菱形と考えると計算が速い。ABCDの面積=AC $ \times $ DB $ \times \displaystyle \frac{1}{2}
=20 \times 20 \times \displaystyle \frac{1}{2}=200$ 。\\
斜線部の面積 $=\pi・10^2-200$

$100(\pi-2)=100\pi-200 cm^2$

斜線部の面積を求めよ。（円周率には$\pi$を用いよ）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic46.tex}
\end{center}

process
$\left( \displaystyle\frac{1}{4} \times \pi \cdot 5^2-\displaystyle\frac{1}{2} \times 5^2 \right)\times 8 $

$50\pi-100\, cm^2$

斜線部の面積を求めよ。（円周率には$\pi$を用いよ）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic118.tex}
\end{center}

process
$\left( \displaystyle\frac{1}{4} \times \pi \cdot 4^2-\displaystyle\frac{1}{2} \times 4^2 \right)\times 8 $

$32\pi-64\, cm^2$

斜線部の面積を求めよ。（円周率には$\pi$を用いよ）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic119.tex}
\end{center}

process
$\left( \displaystyle\frac{1}{4} \times \pi \cdot 6^2-\displaystyle\frac{1}{2} \times 6^2 \right)\times 8 $

$72(\pi-2)=72\pi-144\, cm^2$

斜線部の面積を求めよ。（円周率には$\pi$を用いよ）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic52.tex}
\end{center}

process
$\left\{ \displaystyle\frac{1}{4} \times \pi \cdot \left(  \displaystyle \frac{1}{2}\right)^2-\displaystyle\frac{1}{2} \times \left(  \displaystyle \frac{1}{2}\right)^2 \right\}\times 8 $

$\displaystyle \frac{1}{2}\pi-1$

図の斜線部の面積を求めよ。ただし，円周率は$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic49.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{1}{4} \pi ・4^2-\displaystyle \frac{1}{2} \pi ・2^2 $

$ 2 \pi (cm^2)$

図の斜線部の面積を求めよ。ただし，円周率は$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic112.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{1}{4} \pi ・8^2-\displaystyle \frac{1}{2} \pi ・4^2 $

$ 8 \pi (cm^2)$

図の斜線部の面積を求めよ。ただし，円周率は$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic113.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{1}{4} \pi ・12^2-\displaystyle \frac{1}{2} \pi ・6^2 $

$ 18 \pi (cm^2)$

図の斜線部の面積を求めよ。ただし，円周率は$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic50.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{1}{4} \pi ・16^2-\displaystyle \frac{1}{2} \pi ・8^2 $

$ 32 \pi (cm^2)$

図の斜線部の面積を求めよ。ただし，円周率は$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic51.tex}
\end{center}

process
$2 \times \left( \displaystyle \frac{1}{4} \times \pi ・14^2-\displaystyle \frac{1}{2} \times 14 \times 14 \right)  \\
=2 (49\pi -98)$

$98 (\pi-2)=98 \pi-196 (cm^2)$

次の図は直径を4とする半円である。
その斜線部の面積を求めなさい。
ただし，円周率を$\pi$，点Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic85.tex}
\end{center}

process
半円$=\displaystyle \frac{1}{2} \times \pi \cdot 2^2=2 \pi$\\
三角形$=\displaystyle \frac{1}{2} \times 4 \times 2 =4$\\
半円$-$三角形$=2 \pi-4$

$2 \pi-4$

次の図は直径を8とする半円である。
その斜線部の面積を求めなさい。
ただし，円周率を$\pi$，点Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic84.tex}
\end{center}

process
半円$=\displaystyle \frac{1}{2} \times \pi \cdot 4^2=8 \pi$\\
三角形$=\displaystyle \frac{1}{2} \times 8 \times 4 =16$\\
半円$-$三角形$=8 \pi-16$

$8 \pi-16$

次の図は直径を12とする半円である。
その斜線部の面積を求めなさい。
ただし，円周率を$\pi$，点Oは円の中心とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic83.tex}
\end{center}

process
半円$=\displaystyle \frac{1}{2} \times \pi \times 6^2=18 \pi$\\
三角形$=\displaystyle \frac{1}{2} \times 12 \times 6 =36$\\
半円$-$三角形$=18 \pi-36$

$18 \pi-36$

図の斜線部の面積を求めよ。ただし，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic106.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{\pi \times 6^2}{2}-\left( \displaystyle \frac{\pi \times 4^2}{2} 
+\displaystyle \frac{\pi \times 2^2}{2}\right)\\
=18\pi -(8\pi +2\pi)=8 \pi$

$8 \pi \, cm^2$

図の斜線部の面積を求めよ。ただし，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic120.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{\pi \times 7^2}{2}-\left( \displaystyle \frac{\pi \times 4^2}{2} 
+\displaystyle \frac{\pi \times 3^2}{2}\right)\\
=\displaystyle \frac{1}{2} \{ 49\pi -(16\pi +9\pi) \}=12 \pi$

$12 \pi \, cm^2$

図の斜線部の面積を求めよ。ただし，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic121.tex}
\end{center}

process
$\displaystyle \frac{\pi \times 5^2}{2}-\left( \displaystyle \frac{\pi \times 3^2}{2} 
+\displaystyle \frac{\pi \times 2^2}{2}\right)\\
=\displaystyle \frac{1}{2} \{25\pi -(9\pi +4\pi) \}=6 \pi$

$6 \pi \, cm^2$

図の斜線部の面積を求めよ。ただし，\\
AB $=4$cm，BC $=$ CD $=2$cm，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic108.tex}
\end{center}

process
$\left( \displaystyle \frac{\pi \times 3^2}{2}-\displaystyle \frac{\pi \times 2^2}{2} \right)
+\left( \displaystyle \frac{\pi \times 2^2}{2}-\displaystyle \frac{\pi \times 1^2}{2} \right)\\
=\displaystyle \frac{1}{2} (9 \pi-4 \pi)+\displaystyle \frac{1}{2} (4 \pi- \pi)\\
=\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 5 \pi+\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 3 \pi=4\pi$

$4\pi \, cm^2$

図の4つの円は同じ半径である。
斜線部の面積を求めよ。ただし，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic107.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic107p.tex}
\end{center}
$4^2-\pi \cdot 2^2$

$16-4 \pi \, cm^2$

図の4つの円は同じ半径である。
斜線部の面積を求めよ。ただし，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic116.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic116p.tex}
\end{center}
$8^2-\pi \cdot 4^2$

$64-16 \pi \, cm^2$

図の4つの円は同じ半径である。
斜線部の面積を求めよ。ただし，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic117.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic117p.tex}
\end{center}
$6^2-\pi \cdot 3^2$

$36-9 \pi \, cm^2$

図の斜線部の面積を求めよ。ただし，\\
AB $=20$cm，BC $=40$cm，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic110.tex}
\end{center}

process
$\left( \displaystyle \frac{\pi \times 30^2}{2} -\displaystyle \frac{\pi \times 20^2}{2} \right)
+\displaystyle \frac{\pi \times 10^2}{2}\\
=\displaystyle \frac{\pi}{2} \times(900-400)+\displaystyle \frac{\pi}{2} \times 100
=\displaystyle \frac{\pi}{2}\times (500+100)\\
=300 \pi $

$300 \pi \, cm^2$

図の斜線部の面積を求めよ。ただし，円周率は$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic307.tex}
\end{center}

process
$\pi \cdot 3^2+12^2-6^2=\pi \cdot 3^2+(12-6)(12+6)\\ =9\pi+108$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic307p.tex}
\end{center}

$9\pi+108\,cm^2$

図の斜線部の面積を求めよ。ただし，円周率は$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic308.tex}
\end{center}

process
$\pi \cdot 1^2+4^2-2^2=\pi +12$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic308p.tex}
\end{center}

$\pi +12\,cm^2$

図の斜線部の面積を求めよ。ただし，円周率は$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic309.tex}
\end{center}

process
$\pi \cdot 2^2+8^2-4^2=4\pi +48$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic309p.tex}
\end{center}

$4\pi +48\,cm^2$

次の図形の斜線部分の面積を求めなさい。ただし，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic311.tex}
\end{center}

process
$4^2-\pi\cdot 2^2$

$16-4 \pi\,cm^2$

次の図形の斜線部分の面積を求めなさい。ただし，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic312.tex}
\end{center}

process
$2^2-\pi\cdot 1^2$

$4- \pi\,cm^2$

次の図形の斜線部分の面積を求めなさい。ただし，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic313.tex}
\end{center}

process
$8^2-\pi\cdot 4^2$

$64- 16\pi\,cm^2$

次の図形の斜線部分の面積を求めなさい。ただし，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic314.tex}
\end{center}

process
$\left(\displaystyle\frac{1}{4}\times \pi\cdot 2^2-\displaystyle\frac{1}{2}\times2^2\right)\times 8\\
=(\pi-2)\times 8$

$8\pi- 16\,cm^2$

次の図形の斜線部分の面積を求めなさい。ただし，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic315.tex}
\end{center}

process
$\left(\displaystyle\frac{1}{4}\times \pi\cdot 3^2-\displaystyle\frac{1}{2}\times3^2\right)\times 8\\
=\left(\displaystyle\frac{9}{4}\pi-\displaystyle\frac{9}{2} \right)\times 8$

$18\pi- 36\,cm^2$

次の図形の斜線部分の面積を求めなさい。ただし，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic316.tex}
\end{center}

process
$\left(\displaystyle\frac{1}{4}\times \pi\cdot 2^2-\displaystyle\frac{1}{2}\times2^2\right)\times 8\\
=\left(\pi-2 \right)\times 8$

$8\pi- 16\,cm^2$

次の図形の斜線部分の面積を求めなさい。ただし，円周率を$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic317.tex}
\end{center}

process
$\left(\displaystyle\frac{1}{4}\times \pi\cdot 4^2-\displaystyle\frac{1}{2}\times4^2\right)\times 8\\
=\left(4\pi-8 \right)\times 8$

$32\pi- 64\,cm^2$



[Level5]
扇形の面積
図の斜線部分の面積を求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic264.tex}
\end{center}

process
面積$S=\pi \times 6^2\times \displaystyle\frac{60}{360}-\pi \times 3^2\times \displaystyle\frac{60}{360}
=\displaystyle\frac{9}{2}\pi$

$\displaystyle\frac{9}{2}\pi \ cm^2$

半径の長さが$8 cm$で，中心角45°の扇形の面積を求めよ。（円周率は$\pi$とする）

process
$\pi \times 8^2 \times \displaystyle \frac{45}{360}=8 \pi$

$8 \pi cm^2$

半径の長さが$6 cm$で，中心角120°の扇形の面積を求めよ。（円周率は$\pi$とする）

process
$\pi \times 6^2 \times \displaystyle \frac{120}{360}=12 \pi$

$12 \pi cm^2$

図のような扇形の面積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic62.tex}
\end{center}

process
$\pi ・5^2 \times \displaystyle \frac{288}{360}=\pi ・5^2 \times \displaystyle \frac{4}{5}$

$20 \pi cm^2$

図の扇形の面積を求めよ。\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic302.tex}
\end{center}

process
$\pi\times 12^2 \times \displaystyle\frac{70}{360}$

$28\pi\,{\rm cm^2}$

図の扇形の面積を求めよ。\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic303.tex}
\end{center}

process
$\pi\times 9^2 \times \displaystyle\frac{240}{360}$

$54\pi\,{\rm cm^2}$









[Level6]
円すい
図のような円すいがある。この円すいの側面を平面上に展開してできる扇形の中心角は何度か？
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic61.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic61p.tex}
\end{center}
求める中心角を$a$とおくと，\\
扇形の孤の長さ=底面の円の円周$=2 \times \pi \times 10=20 \pi$。
半径$40 cm$の円の円周は，$2 \times \pi \times 40=80 \pi$。\\
$\displaystyle \frac{20 \pi}{80 \pi}=\displaystyle \frac{a}{360}$。∴$a =90°$

$90°$

図のような円すいの表面積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic63.tex}
\end{center}

process
$\pi \times 4^2+\pi \times 12^2 \times \displaystyle \frac{2 \pi \times 4}{2 \pi \times 12}
=16 \pi + \pi \times 12 \times 4\\
=16 \pi + 48 \pi$\\
（参考）半径$r$，母線$l$の円錐の側面積は\\
$S=\pi\times l^2\times\displaystyle\frac{2\pi r}{2\pi l}=\pi rl$であるから，\\
この問題では，側面積$=\pi \times 12 \times 4$

$64\pi cm^2$

図の円すいの表面積はいくらか。ただし，円周率は $\pi$ とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic64.tex}
\end{center}

process
$\pi ・8^2 \times \displaystyle \frac{2 \pi ・4}{2 \pi ・8}+\pi・4^2$\\
（別解）
半径$r$，母線$l$の円錐の側面積は\\
$S=\pi\times l^2\times\displaystyle\frac{2\pi r}{2\pi l}=\pi rl$であるから，\\
この問題では，側面積$=\pi \times 4 \times 8=32\pi$。\\
求める表面積$=32 \pi+\pi \times 4^2$

$48 \pi(cm^2)$

図の円すいの表面積はいくらか。ただし，円周率は $\pi$ とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic265.tex}
\end{center}

process
$\pi ・5^2 \times \displaystyle \frac{2 \pi ・2}{2 \pi ・5}+\pi・2^2$\\
（別解）
半径$r$，母線$l$の円錐の側面積は\\
$S=\pi\times l^2\times\displaystyle\frac{2\pi r}{2\pi l}=\pi rl$であるから，\\
この問題では，側面積$=\pi \times 2 \times 5=10\pi$。\\
求める表面積$=10 \pi+\pi \times 2^2$

$14 \pi(cm^2)$

図は底面の半径$3 cm$，高さ$9 cm$の直円柱の平面図と立面図である。円柱の側面上を１周してAからBに至る最短の線上にある点Pの，
底面からの高さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic65.tex}
\end{center}

process
平面図より，孤AP$'=2 \pi \times 3 \times \displaystyle \frac{120}{360}=2 \pi$。
したがって，展開図の線分AP$'=2 \pi$。$\displaystyle \frac{PP'}{AP'}=\displaystyle \frac{BC}{AC}$。
$\displaystyle \frac{PP'}{2 \pi}=\displaystyle \frac{9}{6 \pi}$。∴PP$'=3$ cm
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic65p.tex}
\end{center}

$3$ cm

円すいの展開図が，中心角120°，半径5cmの扇形であるとき，
底面の半径を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic171.tex}
\end{center}

process
求める底面の半径の長さを$r$とすると，\\
$2\pi \times 5 \times \displaystyle\frac{120°}{360°}=2\pi r$\\
$2\pi \times 5 \times \displaystyle\frac{1}{3}=2\pi r$，
∴$r=\displaystyle\frac{5}{3}$

$\displaystyle\frac{5}{3}$

図は，円すいの展開図である。
側面のおうぎ形の中心角$x$は何°か。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic172.tex}
\end{center}

process
$2\pi \times 9\times \displaystyle\frac{x°}{360°}=2\pi \times 3$\\
∴$x=120°$

$120°$

底面の半径が$5 {\rm cm}$，母線の長さが$13 {\rm cm}$の円すいがある。この円すいの表面積を求めよ。
ただし，円周率は$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic266.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic266p.tex}
\end{center}
$\pi \times 13^2 \times \displaystyle\frac{2\pi \times 5}{2\pi \times 13}+\pi \times 5^2\\
=\pi \times 13 \times 5+\pi \times 5^2=65\pi+25\pi=90\pi$

$90\pi\, {\rm cm^2}$















[Level7]
円周
半径の長さが$4cm$の円の周の長さを求めよ。（円周率は$\pi$とする）

process
$2 \times \pi \times 4=8 \pi$

$8 \pi cm$

半径の長さが$3cm$の円の周の長さを求めよ。（円周率は$\pi$とする）

process
$2 \times \pi \times 3=6 \pi$

$6 \pi cm$

次の図は直径が$10 cm$の円が集まったものをひもで縛ったものである。
結び目を考えないとき，このひもの長さはいくら必要か？\, ただし，円周率は$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic81.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic81p.tex}
\end{center}
$10 \times 4+2 \pi \times 5=40+10 \pi$

$40+10\pi$

次の図は直径が$8 cm$の円が集まったものをひもで縛ったものである。
結び目を考えないとき，このひもの長さはいくら必要か？\, ただし，円周率は$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic81c.tex}
\end{center}

process
$8 \times 4+2 \pi \times 4=32+8 \pi$

$32+8\pi$

次の図は直径が$4 cm$の円が集まったものをひもで縛ったものである。
結び目を考えないとき，このひもの長さはいくら必要か？\, ただし，円周率は$\pi$とする。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic81c.tex}
\end{center}

process
$4 \times 4+2 \pi \times 2=16+4 \pi$

$16+4\pi$

図は，底面の半径が$5 cm$，高さが$10 cm$である円柱である。
この表面積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic155.tex}
\end{center}

process
$(\pi \cdot 5^2) \times 2+2 \pi \times 5 \times 10=150 \pi$

$150\pi(cm^2)$

図は，底面の半径が$4 cm$，高さが$8 cm$である円柱である。
この表面積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic155c.tex}
\end{center}

process
$(\pi \cdot 4^2) \times 2+2 \pi \times 4 \times 8=96 \pi$

$96\pi(cm^2)$

図は，底面の半径が$2 cm$，高さが$4 cm$である円柱である。
この表面積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic155d.tex}
\end{center}

process
$(\pi \cdot 2^2) \times 2+2 \pi \times 2 \times 4=24 \pi$

$24\pi(cm^2)$

図は，底面の半径が$3 cm$，高さが$6 cm$である円柱である。
この表面積を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic155e.tex}
\end{center}

process
$(\pi \cdot 3^2) \times 2+(2 \pi \times 3) \times 6=54 \pi$

$54\pi(cm^2)$

図の斜線部分の周の長さを求めなさい。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic264.tex}
\end{center}

process
周の長さ$l=2\times \pi\times 3\times\displaystyle\frac{60}{360}+\\
2\times \pi\times 6\times\displaystyle\frac{60}{360}+3\times 2=3\pi +6$

$(3\pi +6) \ cm$

図の扇形の弧の長さを求めよ。\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic302.tex}
\end{center}

process
$2\pi\times 12 \times \displaystyle\frac{70}{360}$

$\displaystyle\frac{14}{3}\,\pi$cm

図の扇形の弧の長さを求めよ。\\
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic303.tex}
\end{center}

process
$2\pi\times 9 \times \displaystyle\frac{240}{360}$

$12\pi\,{\rm cm}$

底面の半径が3cm，高さが4cmの円柱の表面積を求めなさい。ただし，円周率を$\pi$とする。

process
$2(\pi \times 3^2)+(2\pi \times 3)\times 4=42 \pi$

$42\pi\,cm^2$

底面の半径が2cm，高さが3cmの円柱の表面積を求めなさい。ただし，円周率を$\pi$とする。

process
$2\,(\pi \times 2^2)+(2\pi \times 2)\times 3=20 \pi$

$20\pi\,cm^2$

底面の半径が4cm，高さが5cmの円柱の表面積を求めなさい。ただし，円周率を$\pi$とする。

process
$2\,(\pi \times 4^2)+(2\pi \times 4)\times 5=72 \pi$

$72\pi\,cm^2$







[Level8]
方べきの定理，円と相似
図の$x$を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic251.tex}
\end{center}

process
$x \times 8=5 \times 6$，∴$x=\displaystyle \frac{15}{4}$

$\displaystyle \frac{15}{4}$

図の$x$を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic252.tex}
\end{center}

process
$2 \times 6=3 \times (3+x)$，∴$x=1$

$1$

図の$x$を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic253.tex}
\end{center}

process
$3 \times (3+x)=5^2$，∴$x=\displaystyle \frac{16}{3}$

$\displaystyle \frac{16}{3}$

図で，$\triangle$ ABCが円に内接している。点Bにおけるこの円の接線とACの延長との交点をPとする。
BC $=$ BP $=7cm$，AP $=4cm$のとき，ACの長さを求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic24.tex}
\end{center}

process
AC$=x$とおくと，方べきの定理より，\\
$4 \times (x+4)=7^2$，$x=\displaystyle\frac{33}{4}=8.25$\\
（別）接弦定理より，$\angle$ ABP $= \angle$ ACB。また，BC=BPより，$\angle$ BCA = $\angle$ BPA。\\
∴ $\angle$ ABP = $\angle$ APB。\\
∴$\triangle $APB ∽ $\triangle $BCP。AC$=x$とすると，\\
$\displaystyle \frac{4+x}{7}=\frac{7}{4}$
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic24p.tex}
\end{center}

$8.25$

次の図において，$x$の値を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic261.tex}
\end{center}

process
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic261p.tex}
\end{center}
$\triangle$ABE$∽ \triangle$DCEより，\\
$6:4=3:x$，∴$x=2$

$x=2$

次の図において，$x$の値を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic262.tex}
\end{center}

process
方べきの定理より，\\
$x\times (x+5)=4\times 6$，$x^2+5x-24=0$，\\
$(x+8)(x-3)=0$，$x=3$（∵$x>0$）\\
（別）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic262p.tex}
\end{center}
$\triangle$ABC∽ $\triangle$ADEより，\\
$(4+2):x=(x+5):4$

$3$

次の図において，$x$の値を求めよ。
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic263.tex}
\end{center}

process
方べきの定理より，\\
$3\times (3+x)=4^2$，$x=\displaystyle\frac{7}{3}$\\
（別）
\begin{center}
\input{D:/texlive/2018/bin/win32/mathtex/402_円と扇形/pic263p.tex}
\end{center}
$\triangle$ABC∽ $\triangle$BDCより，\\
$(x+3):4=4:3$，$3(x+3)=16$

$x=\displaystyle\frac{7}{3}$




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